上海交通大学管理科学-运筹学课件第七章存贮论

第7章存贮论
在企业的生产经营或人们的日常生活中，通常需要把一定数量的物质，用品或食品暂时储存起来，以备将来使用和消费，这就是所谓的存贮现象。

存贮的存在主要基于社会经济现象的不确定性。

例如考虑产品的供给和需求系统，人们无法确定消费者在今后一个时期内对产品的确切需求，为了应付未来需求的不确定性，就必须要有存贮，否则企业就会失去赢利的机会，消费者的利益也难以得到保证。

同时维持企业正常生产的原材料或在制品的供应也具有不确定性。

若供应商不能按时履约或发生了某些不确定事件，就可能导致企业因停工待料而遭受经济损失。

为了保证企业的生产持续均衡地进行，也需要有一定数量的存贮。

存贮缓和了供给和需求之间的矛盾。

不论是供不应求还是供过于求，都可以通过存贮来缓和矛盾，达到供求平衡。

但是存贮也不是多多益善。

存贮是要支付成本的，存贮过多，不仅占用了大量资金，影响资金的周转，而且长期积压会使存贮物资损坏变质，造成浪费。

因此到底需要多少存贮是一个很值得探讨的问题。

在长期的实践中人们已经摸索到了一些规律，积累了一些经验，但把这类问题作为一门优化经营理论来研究还是近几十年的事，并且逐步形成了运筹学的一个分支，叫做存贮论（Inventory Theory）。

存贮论主要研究如何用数学方法对企业的存储系统运营成本进行数量分析，以确定最优的存储水平，使总的运营费用达到最小。

7．1存贮论基本概念：
7．1．1存贮系统：
企业为了生产必须贮存一定数量的原材料或在制品，通常把这些贮存物简称为存贮。

企业生产时从存贮中取出一部分消耗掉，使存贮减少。

随着生产的进行，存贮不断减少，到了一定时刻必须对存贮加以补充，否则存贮用完了生产就无法进行。

因此企业的存贮系统由补充，存贮和需求三个环节紧密构成，并且以存贮为中心环节。

其一般结构如表7—1所示：
图7—1
以下就上述结构图的三个环节分别加以说明：
（1）需求：存贮系统的需求通常是企业为了维持正常生产对原材料或在制品的需求，或是顾客对某种成品的需求。

不论是何种需求都使企业存贮量减少，因此需求就是存贮的输出。

建立存贮系统的目的是为了尽可能地满足需求，了解需求的各种不同形式是非常重要的。

①间断的或连续的需求。

如商业企业的存贮系统中，顾客对某些时令商品的需求是间断的。

但对一般日用消费品的需求则是连续的。

②均匀的或非均匀的需求：工厂的自动装配线对另部件的需求是均匀的，即单位时间内对另部件数量的需求是固定不变的；而一个城市对用电量的需求则是不均匀的，每年冬季和夏季常常是城市的用电高峰期。

均匀的需求可以用线性函数来表示，而非均匀需求则可以用非线性函数表示。

③确定性或随机性的需求。

若供应商和用户签定了供货合同，按合同规定每月提供一定数量的产品给用户，那么这种需求是确定的；但是在一般的销售活动中，顾客对商品需求都是
随机的。

书报厅每天售出的报纸可能是一千份，也可能是八百份。

但是通过大量的统计观察，可能会发现每天售出报纸数量的统计规律，此时称之为具有某种概率分布特征的随机性需求。

（2）补充：存贮由于需求而不断减少，必须加以补充，否则最终将无法满足需求，因此补充就是存贮的输入。

对一个存贮系统而言，补充有外部订购和内部生产两种方式。

① 外部订购：指向其它工厂购买。

从订购到货物进入“存贮”往往需要一段时间，称这段时间为拖后时间。

拖后时间可能是确定性的，也可能是随机性的。

为了保证存贮在必要的时刻得到及时补充，必须提前一段时间订货，称这段时间为定货提前期。

若拖后时间是确定的常数，那么订货提前期取作拖后时间即可保证货物按时入库；若拖后时间是随机性的，则订货提前期一般可取拖后时间的期望值。

因此外部订购必须掌握拖后时间的统计规律性。

同时订购多少也是外部订购的重要内容。

为了保持最优的存贮水平，一定存在一个最佳的订购数量。

所谓最佳是指既能满足需求，又能使存贮系统运营费用达到最小。

② 内部生产：指企业自行生产产品以补充库存。

与外部订购的主要不同点在于：
1) 外部订购可以是原材料，在制品或成品的补充，而内部生产则通常是在制品或成品的补
充。

2) 外部订购对存贮的补充一般是一次到货，而内部生产对存贮的补充往往是连续和均匀的。

3) 外部订购要确定最佳订购时间和最佳订购数量，而内部生产则需要确定最佳生产时间和
最佳生产数量。

目的都是为了使运营总费用达到最小。

4) 由于补充的方式不同，因此运营总费用的构成也存在差异，外部订购有一项订购费用，
而内部生产则有一项对应的生产准备费用。

为了满足需求，企业内部生产的生产速度P （即单位时间的生产量），一般不能低于需 求速度R （即单位时间的需求量）， 否则存贮必将出现短缺而影响需求。

（3）存贮：企业把补充得到的原料，在制品或成品存入仓库，可以保证企业持续均衡地生产，满足用户的需求，因此存贮是存贮系统的中心环节。

企业存贮数量随时间的推移而发生变化，随时间变化的存储数量也称为存贮状态。

存贮状态随需求过程而减少，随补充过程而增加。

存贮论研究的目标是确定最合理的存贮水平，使总的运营费用达到最小。

由于存贮状态是影响运营费用的主要因素，因此研究和了解存贮状态的变化规律是非常重要的。

对一个存贮问题而言，通常首先要画出存贮状态随时间变化的曲线，这是构造存贮模型，确定最佳补充时间和补充数量的前提。

图7—2（a ）和（b ）从需求角度给出了t 时间内存贮状态从S 减少到W 的变化规律。

但两者的需求形式不同，（a ）表示需求是间断的，而（b ）的需求则是连续和均匀的。

图7—2
图7—3（a ）和（b ）从补充角度给出了t 时间内存贮状态由w 增加到S 的变化规律。

（a ）表示补充按一次到货方式完成，而（b ）则按一定的供应率均匀入库。

图7—3
由于存贮系统的需求和补充过程会同时进行，因此关于存贮状态的变化曲线常常是上述两类曲线的组合，对此将在7。

2加以讨论。

7．1．2 存贮系统运营费用
存贮论要解决的主要问题是：确定什么时间补充库存，和每次补充的数量应该是多少？我们称多少时间补充一次以及每次补充多少的策略为存贮策略。

存贮策略优劣的评价标准是单位时间内的平均运营费用，因此有必要对运营费用的构成进行分析。

对企业的存贮系统而言，运营费用包括下列各项费用：
（1）订购费用，指企业对外采购所花费的费用。

包括采购人员的旅差费，手续费，检验 费和电讯费等。

订购费用属于一次性费用，与订购次数有关而与订购数量无关。

订购费用产生于原材料或在制品的补充。

（2）生产准备费用，是企业自行生产补足库存所需支出的费用。

主要包括生产前的装配费用，更换模，夹具所需工时或添置某些专用设备所花费的费用。

生产准备费用也属一次性费用，与生产的批次有关而与生产数量无关。

生产准备费用产生于在制品或成品的补充。

（3）保管费用，与存贮状态和存贮时间直接有关的费用，也称存贮费用。

包括货物占用资金应付利息，使用仓库建筑的租金或折旧，货物管理费用，货物保管期间物品的流失，变质和保险费等。

保管费用与存贮量的多少，存贮时间的长短有关。

（4）缺货费用，是存贮物品供不应求所引起的损失费用。

如失去销售机会的损失，停工待料的损失，以及不能履行合同而交纳的罚款等。

在不允许缺货的情形下，可以设定缺货损失费用无穷大。

（5）物品成本费用，指对外订购或内部生产时直接和物品本身有关的费用。

如对外订购时货物本身的价格，运费；内部生产时产品的材料费，加工费等。

物品成本费用是可变费用，与订购数量或生产数量有直接关系。

最佳的存贮策略应确定最佳的订购（生产准备）次数，和最佳的订购（生产）数量，使上述5种费用在单位时间内的平均总费用达到最小。

但是由以上分析可知，次数和数量是一对矛盾。

一般情况下，订货（生产准备）次数减少，必然使每次订购（生产）数量增加。

减少次数固然可以降低订购（生产准备）费用，但是订购（生产）数量的增加却使存贮量增多，从而导致更多的物品保管费用。

因此最优存贮策略应在次数和数量之间寻求某种平衡，使存贮系统运营总费用达到最小。

7．1．3 存贮策略
如前所述，所谓存贮策略是决定一个存贮系统何时补充和补充多少数量。

何时补充是一个“期”的问题，而补充多少则是一个“量”的问题。

管理者可以通过控制补充的期和量这两个决策变量，来调节存贮系统的运行，以达到最优的运行效果。

在实际库存理论中，常用的存贮策略有以下几种类型：
(1) t循环策略，每隔t时间补充存贮量Q。

这里t称为运营周期，Q称为补充批量，它们都是重要的决策变量。

本策略也称经济批量策略，适用于需求确定的存贮系统。

(2)（s，S）策略，每当存贮量x≥s时不补充，x <s时补充存贮，补充量Q=S – x。

其中s是判断补充与否的临界值，S是存贮上限，或称最大存贮量。

本策略适用于需求随机的存贮系统，需要随时对存贮状态进行监控，一旦存贮量小于临界点s就进货，并将存贮量补充到存贮上限S。

这里s和S都是需要决策的变量。

（3）（t，s，S）混合策略，每隔t时间检查存贮量x，当x≥s时不补充，x <s时补充,补充量Q=S – x。

本策略也适用于需求随机的存贮系统，但无需对存贮状态进行连续监控，只需每隔一个固定周期检查一次。

固定周期可取作一年，一月或一周等。

最小存贮费用条件下的存贮策略是本章研究的重点。

确定存贮策略时，首先要把实际问题归纳为一个数学模型，通过对模型的研究得出数量结论，当然结论的正确与否还需通过实践的检验。

存贮模型大致可以分为两类。

一类是确定性模型，即模型中的有关变量都是确定性数值；另一类是随机性模型，模型中含有随机变量。

本章将主要讨论确定性存贮模型，同时对需求为随机变量的模型也作较详细的介绍。

7．2 确定性存贮模型
在讨论确定性模型前，首先对一些常用符号的含义作必要的说明。

C：单位时间平均运营费用（或称单位时间平均总费用），
R：单位时间物品需求量（或称需求速度），
P：单位时间物品生产量（或称生产速度），
K：物品单价（外部订购）或单位物品成本费用（内部生产），
Q：订货量（外部订购）或生产量（内部生产），
C1：单位物品单位时间保管费用（简称单位保管费用），
C2：单位物品单位时间缺货损失（简称单位缺货损失），
C3：订购费用（外部订购）或生产准备费用（内部生产），
以上定货量（生产量）Q和订购费用（生产准备费用）C3，都是对应于一次订购（一次生产）而言的。

7．2，1 模型1，不允许缺货，且一次到货。

建立模型前，需要作一些假设：
①缺货损失无穷大（即不允许缺货），
②当存贮量降至零时，可以瞬间得到补充（即一次到货），
③需求是连续和均匀的，需求速度R是固定的常数，
④每次订货量（生产量）Q不变，订购费用（生产准备费用）C3不变。

由于是一次到货，所以模型1比较适用于外部订购的情形。

确定本模型的决策变量是订购量Q和运营周期（或称订购周期）t。

在已知拖后时间的条件下还可以确定订货提前期。

在内部生产的场合，若供给也是一次到货，那么相应的存贮策略同样成立。

为了进行最优决策，首先必须确定决策变量和运营费用之间的关系，即列出以决策变量Q 和t 为自变量的运营费用函数。

并利用求函数极值的方法求出最优的订购数量Q 0和最佳的订购周期t 0，使单位时间的平均运营费用达到最小。

模型1存贮状态的变化情况可用图7—4表示：
图7—4
由图7—4可知，在需求速度R 已知的情况下，订购量Q 必须和运营周期t 内的需求量相等，因此有关系式Q=Rt 。

由于不允许缺货，因此建立本模型时可以不考虑缺货费用。

根据7．1．2 关于运营费用的分析可知，模型1的运营费用包括了保管费用，订购费用和物品成本费用三项。

若考虑一个运营周期t ，那么在一个运营周期t 内：
运营费用=保管费用+订购费用+物品成本费用
运营周期t 的时间单位可以取年，季，月或天等。

若将上述等式两端都除以运营周期t ，则各项费用成为单位时间的平均费用。

即在单位时间内：
平均运营费用C=平均保管费用+平均订购费用+平均物品成本费用
易知：平均保管费用=平均存贮量×单位保管费用111122QC RtC =
=， 平均订购费用3C t
=， 平均物品成本费用QK RK t t ⨯=
==订购量单价。

由此可以推得模型1的单位时间平均运营费用函数：
311()2C C t RtC RK t
=++ （7．1） 上述函数为决策变量t 的函数，其中 R,K,C 1,C 3都是已知常数。

当t 取何值时，可使平均运营费用()C t 达到最小？利用微积分求极值的方法即可解出。

令 312102C dC t RC dt t =-=（），可以推得
0t = （7．2） 即每隔t 0订购一次可使平均运营费用达到最小。

同时可得最佳订购数量
00Q Rt == 。

（7．3） （7．3）式称为最优经济批量公式。

由（7．2）（7．3）可知，最佳订购周期t 0和最优订购数量Q 0与单价K 无关，这是因为在公式（7．1）中平均成本费用RK 为常数，因此在存贮模型的讨论中常常把该项略去。

公式（7．1）可改写成
311()2C C t RtC t
=+ （7．4） 公式（7．4）可用图7—5表示。

平均运营费用曲线()C t 在最佳订购周期t 0处达到最小值C 0。

当t < t 0时，平均保管费用小于平均订购费用；当t > t 0时，平均保管费用大于平均订购费用；当t = t 0时，平均保管费用等于平均订购费用，且使平均存贮费用达到最小。

图7—5
将t 0代入（7．4），可得
012C RC C === 即最低平均运营费用
0C = （7．5）
在平均运营费用函数（7．1）的讨论中，我们把各项费用锁定在一个运营周期t 内，由此推出以决策变量t 为自变量的平均运营费用函数()C t 。

如果我们改换一种思路，把各项费用直接限定在一个单位时间（比如一年或一月等）内，那么在单位时间内：.
平均保管费用=平均存贮量×单位保管费用112
QC =， 平均订购费用=单位时间订购次数×订购费用3R C Q
=⋅， 平均物品成本费用=单位时间需求量×单价RK =。

由此可以推得单位时间平均运营费用函数：
11()2R C Q QC C RK Q
=++３（7．6） 这是以决策变量Q 为自变量的函数，同样以R,K,C 1,C 3为已知常数。

令 12()102dC Q C C dQ =-=３R Q
，可以推得最佳订购批量0Q =
同时可得最佳订购周期00Q t R ===，结果与由公式（7．1）得出的相同。

例1：某仪表厂今年拟生产某种仪表30000个。

该仪表中有个元件需向仪表元件厂订购。

每次订购费用50元，该元件购价为每只0.5元，全年保管费用为购价的20%。

（1） 试求仪表厂今年对该元件的最佳存贮策略及费用，
（2） 如明年拟将这种仪表产量提高一倍，则所需元件的订购批量应比今年增加多少？
订购次数又为多少？
解：（1）确定以一年为时间单位，且知
R=30000只/年；C 3=50元/次；K=0.5元/只；C 1=0.2K=0.1元/只,年。

由此可得最佳经济批量05477Q =
=（只） 最佳订购周期0054770.183()30000Q t R =
==年
今年最低运营费用0548(C ==元)。

（2） 明年仪表产量提高一倍，则R=60000只/年，其它已知条件不变，可得
07746Q ==（只） 因此所需元件订购批量比今年增加7746 - 5477=2269（只） 全年订购次数 0600007.75()7746R n Q =
==次。

比较n = 7和n = 8时的全年运营费用：
n =7时，订购周期t=1/7，年运营费用3116000001507779(227
C C RtC t ⨯=+=+⨯=⨯.元） n =8时，订购周期t=1/8，年运营费用6000001508775(28C ⨯=
+⨯=⨯.元）， 比较两者的年运营费用，取n = 8，即全年订购8次，每次订购批量60000/8=7500只。

7．2，2 模型2，不允许缺货，且分批到货。

模型1有一个假定条件是一次到货，即每次进货时能瞬时全部入库。

但实际的存贮系统常常存在这样一种情形，即所需货物分批到货，并按一定的速度入库。

因此模型2的假设条件与模型1相比，只需改写第二条，即：
② 当库存降至零时，以一定的供给率P 得到补充（或称分批到货）。

其它假设条件与模型1相同。

模型2比较适合通过内部生产补充存贮的情况，当企业以内部生产作为补充手段时，通常是按一定的生产速度P 来补充库存的，因此以下的讨论将以内部生产为主。

在外部订购的场合，若供给也是连续均匀进行的，那么相应的存贮策略同样适用。

由于不允许缺货，所以模型2的供给率（或生产速度）P 一定大于需求速度R ，否则必 将出现供不应求而造成重大损失。

若仍以t 为运营周期，以T 为进货周期（或称入库期），那么生产批量Q=T × P ，且T ×P=t ×R 。

由于P > R ，所以T < t.。

考虑一个运营周期t ，从库存为零开始进货为起点，存贮量以P – R 的速度连续均匀地增加，至入库期T 结束为止，存贮量达到最大值S 0=（P – R ）×T ，此时进货过程结束，但需求过程则仍将持续下去，因此存贮量开始以需求速度R 连续均匀地减少，直至库存为零，完成一个运营周期。

模型2的存贮状态的变化规律如图7—6所示。

图7—6
仍以一个运营周期t 内各项费用为研究对象（略去物品成本费用），易知在单位时间内：平均运营费用C=平均保管费用+平均生产准备费用
即，311
())2C C t P R TC t
=-+( 其中1
)2
P R T -(为运营周期t 内的平均存贮量。

由TP = tR ，可以推得： 311())2C Rt C t P R C P t
=-+(（7．7） 此即模型2的单位时间平均运营费用函数。

令2331212()1)0,2C C dC t R P P R C t dt P t C R P R
=--==⋅-(
可以推得最佳运营周期
0t =7．8） 最佳生产批量
00Q Rt ==7．9） 将t 0代入（7．7
）可得最低运营费用0C =
7．10）
与模型1的最优存贮策略公式（7．2）（7．3）相比，模型2的（7．8）（7．9）式多
P →+∞时，1P P R →-，此时模型2拓变成模型1，两组公式完全相同。

因此模型1是模型2当P →+∞时的特例。

例2，设某工厂生产某种零件，每年需求量为18000个。

该厂每月可生产3000个，每次生产准备费用为500元，每个零件每月的保管费用为0.15元。

求每次生产的最佳批量Q 0，和最低费用C 0。

解：将单位时间统一为月。

已知 R=18000个/年=1500个/月，P=3000个/月，
C 3=500元/次，C 1=0.15元/个.月。

由公式.（7．8）
最佳生产批量04472()Q ===个
最低费用0335()C ===元
例3，某厂为了满足生产需要，定期向外单位订购一种零件。

该零件平均日需求量为100个，每天零件保管费用为0.02元，订购一次费用为100元。

（1）假如不允许缺货，
（2）假如供货单位不能即时供应，而是按一定的速度均匀供给，设每天供给量P=200个， 试分别求经济批量Q 0，最佳订购周期t 0。

解（1）单位时间统一为天。

已知R=100个/天，C 1=0.02元/个.天，C 3=100元/次。

01000()Q ===个 00100010()100Q t R =
==天 （2）已知 P=200个
010001414()Q ===个
001414114.14()100
Q t R ===天
7．2，3 模型3，允许缺货，且一次到货
前两个模型都假设需求必须及时得到满足，换句话说，缺货费用为无限大，因此不允许缺货。

但是在某些情况下，缺一点货也不一定是坏事。

因为缺货可以使企业少支付订购费用，生产准备费用，或保管费用。

若缺货对客户的需求影响不大，除了支付少量缺货赔偿费之外，无其它损失，那么允许缺货是可取的。

一般情况下，若为了达到不允许缺货而增加的费用大于因缺货而造成的损失费用，那么就应该允许缺货。

当订购货物到达后，短缺部分可以得到补足。

模型3与模型1相比，只需把第1条假设改为：
① 允许缺货，单位缺货费用为C 2，即可，其它假设条件不变。

仍以t 为运营周期，运营周期t 可分为有货期t 1和无货期t 2两个阶段。

在运营周期初始 时刻，即所订购货物到达时，首先必须补足前一阶段无货期所短缺的货物，然后才能入库，因此真正入库部分S 并不是订购批量Q 的全部，即S<Q ，且S 为订货运到后的最大存贮量。

接下去是有货期t 1，存贮量随着需求过程均匀减少，直至库存为零，易知S=R t 1。

然后是无货期t 2，由于需求是连续和均匀的，因此至无货期结束，下一批订货到达时，共计短缺货物R t 2。

因为订购批量Q=R t =R(t 1+t 2)=R t 1 + R t 2=S +R t 2，所以最大存贮量S 为订购批量Q 补足短缺货物R t 2后的剩余部分。

模型3存贮状态变化规律如下图：
图7—7
由于本模型允许缺货，因此必须考虑缺货成本。

在运营周期t 的单位时间内： 平均运营费用C=平均保管费用+平均订购费用+平均缺货费用
即 3112221111(,)22C C S t SC t Rt C t t t t
=++（7．11）
所以模型3的单位时间平均运营费用函数为最大存贮量S 和运营周期t 的二元函数。

其中12S 为运营周期的有货期t 1内的平均存贮量，212Rt 为无货期t 2的平均缺货量。

利用
微积分求多元函数极值的方法，可求C(S ，t)的最小值 因为S=Rt 1，所以 121,S Rt S
t t t t R
R
-=
=-=
， 改写（7．11）得：2
2123()1(,)[
]22C S C Rt S C S t C t R R
-=++ 令：1222
1232
2()
1[]0()11[]()0
22C S C Rt S C S t R R
C S C Rt S C C C Rt S t
t R R t -∂⎧=-=⎪⎪∂⎨-∂⎪=-+++-=⎪∂⎩（7．12） 由（7．12）第1式，可得 212
C Rt
S C C =
+，
由（7．12）第2式，
22
1232()()22C S C Rt S C tC Rt S R R
-++=- 用212C Rt
S C C =
+代入上式，可得
0t =7．13） 同时可以推得：
00Q Rt ==
7．14）
0C =7．15）
和最大存贮量公式
20012C R t S C C =
+7．16）
与模型1的公式（7．2）（7．3）相比，模型3的（7．13）（7．14）
因子，当单位缺货损失C 2无穷大，即C 2→+∞时，12
2
1C C C +→，此时模型3拓变成模型1。

因此模型1是模型3当C 2→+∞时的特例。

由于
12
2
1C C C +>，因此在允许缺货的情况下，两次订购的最佳时间t 0延长了，但同时每次订购的最佳数量增加了。

而且单位缺货损失越小，订购间隔时间越长，经济批量越大。

由（7．14）（7．16）还可以推出t 0时间内的最大缺货量B 0：
000B Q S =-==
=
例4，市场对某企业产品的年需求量为10000单位。

企业生产准备费用为150元，单位产品年保管费用为2元。

若企业不能按时供货，则单位产品年缺货费用为5元，产品重新生产出来以后可以补足。

求经济批量Q 0，最大存贮量S 0，最大缺货量B 0，和最佳生产间隔时间t 0。

解：单位时间确定为年。

已知 R=10000单位/年，C 3=150元/次，C 1=2元/单位.年， C 2=5元/单位.年
01445(Q =
==单位）
01035(S =
=单位）
00014451035410(B Q S =-=-=单位）
0014450.1455210000
Q t R =
===（年）（天）
7．2，4 模型4，允许缺货，且分批到货
本模型是模型2和3的综合，即同时对模型1的假设条件1和2进行修改: ① 允许缺货,单位缺货费用为C 2，
②分批到货,以一定的供应率P 补充库存。

其它条件不变。

模型4的存贮变化可用图7—8表示 ：
图7—8
以[0 t]为一个运营周期，则整个周期可以分为四个时间区间：
[0 t 1]：为缺货期。

该阶段没有生产，需求却仍在继续，因此最大缺货量B 0为Rt 1；
[t 1 t 2]：从t 1开始生产，尽管P > R ，但由于必须补足缺货，因此该阶段的存贮仍 保持为零。

该阶段生产的货物除了补缺以外，还满足了需求。

生产量为P(t 2 - t 1)=Rt 1 + R(t 2 - t 1)=Rt 2；
[t 2 t 3]：已补足缺货，存贮量开始以P – R 的速度增加。

t 3达到最大存贮量。

最大存贮量S 0=(P – R)(t 3–t 2) =R(t – t 3)；
[t 3 t]：t 3停止生产，存贮量以需求速度R 减少，至t 存贮恢复为零，又开始进入缺货期。

由上述分析，可建立单位时间平均运营费用函数：
平均运营费用C= 平均保管费用+平均生产准备费用+平均缺货费用
332121221111()()()22C P R t t C t t Rt C t t t t
=
---++
因为最大存贮量S 0=(P – R)(t 3–t 2) =R(t – t 3)，最大缺货量B 0=Rt 1=(P – R)(t 2–t 1)， 所以32212R P R
t t t t t t P P
--=-=
⋅（），。

代入平均存贮费用函数，得 22
21232222
3
12222
3
2112121()()(,)[()]
22()[()]2()[2()]2P R R P R R C t t C t t C C t t P P
C P R R C t t C t Pt t
C t P R R
C t C t C C P t t
--=-++-=-++-=-+++（7．17） 分别对时间参数t ，t 2求偏导数，并令偏导数为零，可得：
2
32
11222
21122
()[()]02()[22()]0
2C t C P R R C C C t P t t t C P R R C C C t P t ⎧∂-=-+-=⎪⎪∂⎨
∂-⎪=-++=⎪∂⎩（7．18） 由（7．18）第2式，得 1
212
C t t C C =
⋅+，代入（7．18）第2式，得
23111222123
12
212()[()]2()()2C C P R R
C C C P C C t C C C P R R P C C t
--+=+-⋅=+
所以，最佳运营周期
0t =
（7．19）
最优经济批量00Q Rt ==
7．20）。