等腰三角形培优辅导课件
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（延长BD至点E，使得DE=CD.连接 AD,AE.）
① △ABE是等边三角形 ② △ADC≌△ADE
③∠ACD=60°
④∠BCD=110度
解题方法
作 辅 助 图 ---- 等 边 三 角 形
截长补短构造等边三角形
1.如图在△ABC内，∠BAC=60°， ∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA 上，并且AP、BQ分别为∠BAC、 ∠ABC的角平分线，求证： BQ+AQ=AB+BP
且AB+BD=DC，则∠C的大小是（
A）
A、20 ° B、25 ° C、30 ° D、45 °
4、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以 D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结 EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（ B ）
A、 ∠AED> ∠AGF
B、 ∠ AED=∠AGF
5、如图，四边形ABDC中，△EDC是 由△ABC绕顶点C旋转40度所得，顶 点A恰好转到AB上一点E的位置，则 ∠1+∠2= 110° 。 6、一个等腰三角形的一条高等于腰长 的一半，则这个等腰三角形的底角度 为 15°或30 °或75 °。
如图所示，△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，且AD=CE ，BE和CD相交于F。求证： △ADC≌△CEB
求∠DFB的度数
A
D B
E F
C
如图所示：在△ABC中,∠BAC=∠BCA=44° M为△ABC 内一点，使得∠MCA=30°, ∠MAC =16°.求证： AB=AM
以AC为边作等边△ADC,再 连接DB
∴BD是∠ABC的角平分 线
∴AF=BD
∵AE=0.5BD
∴AE=0.5AF=EF
∵ BE=BE， ∠ AEB=∠FEB=90 °
∴△AEB≌△FEB（SAS）
2、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在 MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则 ∠MAC= 60 度。
设∠BAM=∠CAN= x, ∠C=y,则∠B=180-2y, ∠AMN=180+x-2y, ∠ANM=x+y,MN=NA, ∠MAN=∠AMN=180+x-2y, ∠MAN+∠AMN+∠ANM=180
∠ABC=2∠C ∴ ∠C= ∠E
∴AC=AE ∵AD ⊥BC
∴CD=DE=DB+BE
∴ AB+BD=CD
AB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样
性质的点P有（ D
）个。
A、1 B、4
C、7
D、10
3、已知△ABC的三边的长分别为a、b、 c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则△ABC 一定是（ B ）。
2是用“垂直平分线”构造等腰三 角形，4利用“三角形中角的2倍
1、如图，在△ABC中，AB=7， AC=11，点M是BC的中点，AD 是∠BAC的平分线，MF∥AD， 则FC的长为 9 。
分析：用“角平分线+平行线” 构造等腰三角形AEF和等腰 三角形BPE，则AE=AF=11x,BP=x=BE=11-x+7,x=9
角平分线。
证明：延长AE、BC交于点F。 ∵∠ACB=90 ° ∴∠ACF=180 ° -∠ACB=90 ° ∠CBD+∠CDB=90 ° ∵ AE⊥BD ∴ ∠AEB=90 ° ∴ ∠EAD+ ∠EDA=90 °
∵ ∠ADE= ∠BDC
∴ ∠EAD= ∠CBD
∴ ∠ ABE= ∠ FBE
∵AC=BC ∠ ACF=∠BCD=90 ° ∴△ACF≌△BCD（ASA）
延长AB至M，使BM=BP，连结MP。
∠BAC=60°，∠ACB=40°， ∠ABC=80°，BQ 平分∠ABC， ∠QBC=40°= ∠C，BQ=CQ， AQ+BQ=AQ+CQ=AC
AM=AB+BM=AB+BP，BM=BP， ∠ ABP=∠M+ ∠BPM=2 ∠M， ∠M=40°= ∠C
△AMP ≌△ACP,AM=AC
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE， BC=BF，则∠ECF=（ B ）。
A、60 ° B、45 ° C、30 ° D、不确定
2、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点， BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ A ）。
A、90 °-0.5 ∠ A C、180 °- ∠ A
5、已知等腰△ABC中，AB=AC， D为BC边上一点，连接AD，若 △ACD和△ABD都是等腰三角形， 则∠C的度数是 45或36度 。
6、在一个房间内，有一个梯子斜 靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直 距离MA为a米，此时梯子的倾斜角 为75度，如果梯子底端不动，顶端 靠在对面墙上，此时梯子顶端距离 NB为b米，梯子的倾斜角为45度， 则这间房子的宽AB是 a米 。
7、如图，∠ABC=50°，AD垂直 平分线段BC于点D，∠ABC的角平 分线BE交AD于点E，连结EC，则 ∠AEC的度数是 115° 。
8、如图，△ABC中，AB=AC， ∠B=36 °，D、E是BC上两点，使 ∠ ADE=∠AED=2 ∠BAD，则图中 等腰三角形共有 6 个。
9、如图， △ABC中，AD平分 ∠BAC，AB+BD=AC，则∠ B： ∠C的值 2：1 。
等腰三角形培优辅导课件
一、等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：
1、 三边＿，三角＿＿，每个角等于＿＿度； 2、等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线 ＿＿合一。
二、判定等边三角形的基本方法有： 1、从边入手，证明＿＿相等； 2、从角入手，证明＿＿相等或证明两个角都为60度； 3、从边角入手，有一个角为＿＿度的＿＿三角形是 等边三角形。
角平分线。
证明：延长AE、BC交于点F。 ∵∠ACB=90 ° ∴∠ACF=180 ° -∠ACB=90 ° ∠CBD+∠CDB=90 ° ∵ AE⊥BD ∴ ∠AEB=90 ° ∴ ∠EAD+ ∠EDA=90 °
∵ ∠ADE= ∠BDC
∴ ∠EAD= ∠CBD
∴ ∠ ABE= ∠ FBE
∵AC=BC ∠ ACF=∠BCD=90 ° ∴△ACF≌△BCD（ASA）
∠BDM+∠NDC=60， ∠NDE=∠NDC+∠CDE=60
△MDN ≌△EDN，MN=NE
AM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE +AN+NC=AB+AC=2
1、如图，在△ABC中，AC=BC，
∠ACB=90°，D是AC上一点，
AE⊥BD交BD的延长线于E，且
AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的
即BQ+AQ=AB+BP
2、如图，已知在△ABC中， AD是BC边上的中线，E是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC于F，求证：AF=EF
延长AD至G，使AD=DG，连结 BG △BGD≌△CAD
BG=AC=BE
∠CAD=∠G=∠BEG=∠AEF
AF=EF
3、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角 板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上， 边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断 △EMC的形状，并说明理由。
的P点有（
）个。
A、2
BC、4
C、6 D、8
2、如图，四边形ABDC中，△EDC是 由△ABC绕顶点C旋转40度所得，顶 点A恰好转到AB上一点E的位置，则 ∠1+∠2= 110° 。 3、一个等腰三角形的一条高等于腰长 的一半，则这个等腰三角形的底角度 为 15°或30 °或75 °。
4、有一个等腰三角形纸片，若能从一 个底角的顶点出发，将其剪成两个等 腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片 的顶角为 36 °或180/7 ° 度。
C、 ∠ AED <∠AGF
D、 不能确定
∠ADE+∠AED= 135, ∠AFE+∠DFC= 135, ∠AED=∠DFC, ∠ADE=∠AFE,
延长DB使DE=DC，则AB=BE，设∠E= ∠EAB=x, 得 ∠ABD=2x, ∠BAD=90-2x, ∠EAD=90-x,所以 ∠AED=∠AGF 2(90-x)=120+x,x=20, ∠C=20
连结MA
△ADE≌△ABC可得 △ABD是等腰直角三角形， 再证△MDE≌△MAC可得 △EMC是等腰直角三角形
1、如图， △ABC中，AD⊥BC于D， ∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD
证明：延长CB至E，使AB=BE， 连结AE ∵ AB=BE ∴ ∠E= ∠EAB
∵ ∠ABC= ∠E+∠EAB=2 ∠E
B、90 °- ∠ A D、 45 °-0.5 ∠ A
设∠B=x, ∠A=90-x, ∠BCF=90-0.5x, ∠ACE=45+0.5x, ∠ECF=∠ACE+∠B CF-∠ACB=45
△BDF≌△BDE,则 ∠EDF= ∠B=900.5 ∠A
3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，
可证明△ABD≌△CBD
再证明△ABD≌△AMC
所以， AB=AM
如图所示：在△ABC 中AB=AC,∠BAC=80° O为△ABC 内一点.且∠OBC=10 ° ∠0CA=20° 求： ∠BAO的度数
答案： ∠BAO=70°
如图所是，点E在AD上，△ABC和△BDE
都是等边三角形。 BD=7 ，CD=2。
求AD的长。
A
答案： AD=9
E
B
C
D
如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB 、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ
．
（1）若PB=2，求P点到Q点的距离．
A
P
B
C
Q
如图所示：D是△ABC 外一点，AB=AC=BD+CD， ∠ABD=60°,∠BAC=40°
A、等边三角形
（ac+ab)/bc=(b+c)/( b+c-a)
B、腰长为a的等腰三角形 a/bc=1/(b+c-a)
Bc=ab+ac-a2
C、底边长为a的等腰三角形 (a-b)a+c(b-a)=0
D、等腰直角三角形
(a-c)(a-b)=0 a=c或a=b
4、如图，在△ABC中，∠BAC=106度，EF、MN分别 是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于 （ B ）度。
A、58 B、32 C、36
D、34
5、如图，在△ABC中，∠B=2 ∠C，则AC与2AB之 间的关系是（ D ）。
A、AC＞2AB C、AC≤2AB
B、AC=2AB D、AC＜2AB
1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，
∠BAC=30，在直线BC或AC上取一点，
使得△PAB是等腰三角形，则符合条件
3、如图，△ABC是边长为1的等边 三角形，△BDC是顶角∠BDC=120 度的等腰三角形，以D为顶点作一个 60度角，角的两边分别交AB于M， 交AC于N，连结MN，形成一个三角 形，求证： △AMN的周长等于2。
延长AC使CE=BM，连结DE。 ∠CDE=∠MDB，∠BDC=120， ∠MDN=60
2、如图，已知等腰△ABC中，AB=AC， P、Q分别为AC、AB上的点，且 AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ的度数。
在PC上取点D使QP=QD。
∠A=x,AP=PQ ∠QPD=∠QDP=∠A+∠AQP=2x ∠BQD=∠A+∠ADP=3x,BQ=QD ∠QBD=90-1.5x ∠BDC=∠A+∠ABD=90-0.5x ∠A=x,AB=AC ∠ACB=90-0.5x, ∠ACB=∠BDC BD=BC=BQ=QD, △BDQ为等边三角形 ∠QBD=90-1.5x=60，x=20°, ∠ ACB= ∠ ABC=80°,∠BCQ=50°, ∠PCQ=30°
360+2x-4y+x+y=180,y-x=60, ∠MAC=∠MAN+∠NAC=180+2x-2y=180-120=60
3、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C 作CE⊥AB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则∠ ABC+∠ADC的度数是 180 度。
延长AD，过C作CF垂直AD的延长线于F， △AFC≌△AEC，CF=CE，AF=AE， AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=A F=AD+DF,EB=DF,△CDF≌△CBE，∠B=∠FDC, ∠ABC+∠ADC=180
∴BD是∠ABC的角平分 线
∴AF=BD
∵AE=0.5BD
∴AE=0.5AF=EF
∵ BE=BE， ∠ AEB=∠FEB=90 °
∴△AEB≌△FEB（SAS）
1、如图，在△ABC中，AC=BC，
∠ACB=90°，D是AC上一点，
AE⊥BD交BD的延长线于E，且
AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的
① △ABE是等边三角形 ② △ADC≌△ADE
③∠ACD=60°
④∠BCD=110度
解题方法
作 辅 助 图 ---- 等 边 三 角 形
截长补短构造等边三角形
1.如图在△ABC内，∠BAC=60°， ∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA 上，并且AP、BQ分别为∠BAC、 ∠ABC的角平分线，求证： BQ+AQ=AB+BP
且AB+BD=DC，则∠C的大小是（
A）
A、20 ° B、25 ° C、30 ° D、45 °
4、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以 D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结 EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（ B ）
A、 ∠AED> ∠AGF
B、 ∠ AED=∠AGF
5、如图，四边形ABDC中，△EDC是 由△ABC绕顶点C旋转40度所得，顶 点A恰好转到AB上一点E的位置，则 ∠1+∠2= 110° 。 6、一个等腰三角形的一条高等于腰长 的一半，则这个等腰三角形的底角度 为 15°或30 °或75 °。
如图所示，△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，且AD=CE ，BE和CD相交于F。求证： △ADC≌△CEB
求∠DFB的度数
A
D B
E F
C
如图所示：在△ABC中,∠BAC=∠BCA=44° M为△ABC 内一点，使得∠MCA=30°, ∠MAC =16°.求证： AB=AM
以AC为边作等边△ADC,再 连接DB
∴BD是∠ABC的角平分 线
∴AF=BD
∵AE=0.5BD
∴AE=0.5AF=EF
∵ BE=BE， ∠ AEB=∠FEB=90 °
∴△AEB≌△FEB（SAS）
2、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在 MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则 ∠MAC= 60 度。
设∠BAM=∠CAN= x, ∠C=y,则∠B=180-2y, ∠AMN=180+x-2y, ∠ANM=x+y,MN=NA, ∠MAN=∠AMN=180+x-2y, ∠MAN+∠AMN+∠ANM=180
∠ABC=2∠C ∴ ∠C= ∠E
∴AC=AE ∵AD ⊥BC
∴CD=DE=DB+BE
∴ AB+BD=CD
AB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样
性质的点P有（ D
）个。
A、1 B、4
C、7
D、10
3、已知△ABC的三边的长分别为a、b、 c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则△ABC 一定是（ B ）。
2是用“垂直平分线”构造等腰三 角形，4利用“三角形中角的2倍
1、如图，在△ABC中，AB=7， AC=11，点M是BC的中点，AD 是∠BAC的平分线，MF∥AD， 则FC的长为 9 。
分析：用“角平分线+平行线” 构造等腰三角形AEF和等腰 三角形BPE，则AE=AF=11x,BP=x=BE=11-x+7,x=9
角平分线。
证明：延长AE、BC交于点F。 ∵∠ACB=90 ° ∴∠ACF=180 ° -∠ACB=90 ° ∠CBD+∠CDB=90 ° ∵ AE⊥BD ∴ ∠AEB=90 ° ∴ ∠EAD+ ∠EDA=90 °
∵ ∠ADE= ∠BDC
∴ ∠EAD= ∠CBD
∴ ∠ ABE= ∠ FBE
∵AC=BC ∠ ACF=∠BCD=90 ° ∴△ACF≌△BCD（ASA）
延长AB至M，使BM=BP，连结MP。
∠BAC=60°，∠ACB=40°， ∠ABC=80°，BQ 平分∠ABC， ∠QBC=40°= ∠C，BQ=CQ， AQ+BQ=AQ+CQ=AC
AM=AB+BM=AB+BP，BM=BP， ∠ ABP=∠M+ ∠BPM=2 ∠M， ∠M=40°= ∠C
△AMP ≌△ACP,AM=AC
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE， BC=BF，则∠ECF=（ B ）。
A、60 ° B、45 ° C、30 ° D、不确定
2、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点， BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（ A ）。
A、90 °-0.5 ∠ A C、180 °- ∠ A
5、已知等腰△ABC中，AB=AC， D为BC边上一点，连接AD，若 △ACD和△ABD都是等腰三角形， 则∠C的度数是 45或36度 。
6、在一个房间内，有一个梯子斜 靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直 距离MA为a米，此时梯子的倾斜角 为75度，如果梯子底端不动，顶端 靠在对面墙上，此时梯子顶端距离 NB为b米，梯子的倾斜角为45度， 则这间房子的宽AB是 a米 。
7、如图，∠ABC=50°，AD垂直 平分线段BC于点D，∠ABC的角平 分线BE交AD于点E，连结EC，则 ∠AEC的度数是 115° 。
8、如图，△ABC中，AB=AC， ∠B=36 °，D、E是BC上两点，使 ∠ ADE=∠AED=2 ∠BAD，则图中 等腰三角形共有 6 个。
9、如图， △ABC中，AD平分 ∠BAC，AB+BD=AC，则∠ B： ∠C的值 2：1 。
等腰三角形培优辅导课件
一、等边三角形是特殊的等腰三角形，有以下丰富的性质：
1、 三边＿，三角＿＿，每个角等于＿＿度； 2、等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线 ＿＿合一。
二、判定等边三角形的基本方法有： 1、从边入手，证明＿＿相等； 2、从角入手，证明＿＿相等或证明两个角都为60度； 3、从边角入手，有一个角为＿＿度的＿＿三角形是 等边三角形。
角平分线。
证明：延长AE、BC交于点F。 ∵∠ACB=90 ° ∴∠ACF=180 ° -∠ACB=90 ° ∠CBD+∠CDB=90 ° ∵ AE⊥BD ∴ ∠AEB=90 ° ∴ ∠EAD+ ∠EDA=90 °
∵ ∠ADE= ∠BDC
∴ ∠EAD= ∠CBD
∴ ∠ ABE= ∠ FBE
∵AC=BC ∠ ACF=∠BCD=90 ° ∴△ACF≌△BCD（ASA）
∠BDM+∠NDC=60， ∠NDE=∠NDC+∠CDE=60
△MDN ≌△EDN，MN=NE
AM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE +AN+NC=AB+AC=2
1、如图，在△ABC中，AC=BC，
∠ACB=90°，D是AC上一点，
AE⊥BD交BD的延长线于E，且
AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的
即BQ+AQ=AB+BP
2、如图，已知在△ABC中， AD是BC边上的中线，E是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC于F，求证：AF=EF
延长AD至G，使AD=DG，连结 BG △BGD≌△CAD
BG=AC=BE
∠CAD=∠G=∠BEG=∠AEF
AF=EF
3、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角 板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上， 边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断 △EMC的形状，并说明理由。
的P点有（
）个。
A、2
BC、4
C、6 D、8
2、如图，四边形ABDC中，△EDC是 由△ABC绕顶点C旋转40度所得，顶 点A恰好转到AB上一点E的位置，则 ∠1+∠2= 110° 。 3、一个等腰三角形的一条高等于腰长 的一半，则这个等腰三角形的底角度 为 15°或30 °或75 °。
4、有一个等腰三角形纸片，若能从一 个底角的顶点出发，将其剪成两个等 腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片 的顶角为 36 °或180/7 ° 度。
C、 ∠ AED <∠AGF
D、 不能确定
∠ADE+∠AED= 135, ∠AFE+∠DFC= 135, ∠AED=∠DFC, ∠ADE=∠AFE,
延长DB使DE=DC，则AB=BE，设∠E= ∠EAB=x, 得 ∠ABD=2x, ∠BAD=90-2x, ∠EAD=90-x,所以 ∠AED=∠AGF 2(90-x)=120+x,x=20, ∠C=20
连结MA
△ADE≌△ABC可得 △ABD是等腰直角三角形， 再证△MDE≌△MAC可得 △EMC是等腰直角三角形
1、如图， △ABC中，AD⊥BC于D， ∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD
证明：延长CB至E，使AB=BE， 连结AE ∵ AB=BE ∴ ∠E= ∠EAB
∵ ∠ABC= ∠E+∠EAB=2 ∠E
B、90 °- ∠ A D、 45 °-0.5 ∠ A
设∠B=x, ∠A=90-x, ∠BCF=90-0.5x, ∠ACE=45+0.5x, ∠ECF=∠ACE+∠B CF-∠ACB=45
△BDF≌△BDE,则 ∠EDF= ∠B=900.5 ∠A
3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，
可证明△ABD≌△CBD
再证明△ABD≌△AMC
所以， AB=AM
如图所示：在△ABC 中AB=AC,∠BAC=80° O为△ABC 内一点.且∠OBC=10 ° ∠0CA=20° 求： ∠BAO的度数
答案： ∠BAO=70°
如图所是，点E在AD上，△ABC和△BDE
都是等边三角形。 BD=7 ，CD=2。
求AD的长。
A
答案： AD=9
E
B
C
D
如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB 、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ
．
（1）若PB=2，求P点到Q点的距离．
A
P
B
C
Q
如图所示：D是△ABC 外一点，AB=AC=BD+CD， ∠ABD=60°,∠BAC=40°
A、等边三角形
（ac+ab)/bc=(b+c)/( b+c-a)
B、腰长为a的等腰三角形 a/bc=1/(b+c-a)
Bc=ab+ac-a2
C、底边长为a的等腰三角形 (a-b)a+c(b-a)=0
D、等腰直角三角形
(a-c)(a-b)=0 a=c或a=b
4、如图，在△ABC中，∠BAC=106度，EF、MN分别 是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于 （ B ）度。
A、58 B、32 C、36
D、34
5、如图，在△ABC中，∠B=2 ∠C，则AC与2AB之 间的关系是（ D ）。
A、AC＞2AB C、AC≤2AB
B、AC=2AB D、AC＜2AB
1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，
∠BAC=30，在直线BC或AC上取一点，
使得△PAB是等腰三角形，则符合条件
3、如图，△ABC是边长为1的等边 三角形，△BDC是顶角∠BDC=120 度的等腰三角形，以D为顶点作一个 60度角，角的两边分别交AB于M， 交AC于N，连结MN，形成一个三角 形，求证： △AMN的周长等于2。
延长AC使CE=BM，连结DE。 ∠CDE=∠MDB，∠BDC=120， ∠MDN=60
2、如图，已知等腰△ABC中，AB=AC， P、Q分别为AC、AB上的点，且 AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ的度数。
在PC上取点D使QP=QD。
∠A=x,AP=PQ ∠QPD=∠QDP=∠A+∠AQP=2x ∠BQD=∠A+∠ADP=3x,BQ=QD ∠QBD=90-1.5x ∠BDC=∠A+∠ABD=90-0.5x ∠A=x,AB=AC ∠ACB=90-0.5x, ∠ACB=∠BDC BD=BC=BQ=QD, △BDQ为等边三角形 ∠QBD=90-1.5x=60，x=20°, ∠ ACB= ∠ ABC=80°,∠BCQ=50°, ∠PCQ=30°
360+2x-4y+x+y=180,y-x=60, ∠MAC=∠MAN+∠NAC=180+2x-2y=180-120=60
3、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C 作CE⊥AB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则∠ ABC+∠ADC的度数是 180 度。
延长AD，过C作CF垂直AD的延长线于F， △AFC≌△AEC，CF=CE，AF=AE， AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=A F=AD+DF,EB=DF,△CDF≌△CBE，∠B=∠FDC, ∠ABC+∠ADC=180
∴BD是∠ABC的角平分 线
∴AF=BD
∵AE=0.5BD
∴AE=0.5AF=EF
∵ BE=BE， ∠ AEB=∠FEB=90 °
∴△AEB≌△FEB（SAS）
1、如图，在△ABC中，AC=BC，
∠ACB=90°，D是AC上一点，
AE⊥BD交BD的延长线于E，且
AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的