cramer法则
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不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x2
D2 D
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
35 3 1
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 ,,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 ,,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
在把 n 个方程依次相加，得
n
ak1 Akj x1
n
akj Akj x j
n
akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2,,n.
一克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零即nn22211211那么线性方程组有解并且解是唯一的解可以表为其中是把系数行列式列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式即二重要定理定理1如果线性方程组的系数行列式定理2如果线性方程组无解或有两个不同的解则它的系数行列式必为零
非齐次与齐次线性方程组的概念
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
n
n , j1
nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,, Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理 如果齐次线性方程组2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
也是方程组的 1 解.
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 பைடு நூலகம் 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克拉默法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a a b a a 11
1, j1
1
1, j1
1n
Dj
a a b a a n1
n , j1
35 2 3
0 D3 1
3 1
4 11 6
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x2
D2 D
0 67
0,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 问 取何值时，齐次方程组
1
2
4, x4
11
6,
x1 x2 3 x3 2 x4 5 6.
35 21
解
03 D
0 4 67 0,
11 11
1 1 3 2
3 5 21
3 3 21
43 D1 11 6 1
0 1
4 67 , 13
04 D2 1 11 6
0 1
4 0, 1
5 6 1 3 2
1 5 6 3 2
35 3 1
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 ,,bn不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 ,,bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
在把 n 个方程依次相加，得
n
ak1 Akj x1
n
akj Akj x j
n
akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2,,n.
一克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零即nn22211211那么线性方程组有解并且解是唯一的解可以表为其中是把系数行列式列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式即二重要定理定理1如果线性方程组的系数行列式定理2如果线性方程组无解或有两个不同的解则它的系数行列式必为零
非齐次与齐次线性方程组的概念
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r1 2r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
n
n , j1
nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j ,, Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理 如果齐次线性方程组2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,, xn
Dn D
.
也是方程组的 1 解.
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 பைடு நூலகம் 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
D4 D
27 27
1.
例2 用克拉默法则解方程组
3 x1 5 x2 2 x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3