北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(九)数学文化及新定义型试题(练题型)课件

a ,其中a>0,b>0,当x
b
(x-3)=2时,x的值为
A. -1
解析 B
B. 4
(
C. 4和-1
)
D. 3
∵a b= ·
(x-3)= · =2,两边平方得,x
a ,其中a>0,b>0,∴x
b
x3
x
(x-3)=4,整理得x2-3x-4=0,
∴(x-4)(x+1)=0,∴x1=4,x2=-1,
刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出π
的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现,随着π小数部分位数的增加,0~9这10个
数字出现的频率趋于稳定,接近相同.
(1)从π的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为
.
(2)某校进行校园文化建设,拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅,求其中有
所以P(有一幅是祖冲之)=
6 1
= .
12 2
解法二:令祖冲之、刘徽、韦达、欧拉分别为A、B、C、D,画树状图如图所示:
一共有12种等可能的情况,其中符合题意的有6种,
所以P(有一幅是祖冲之)=
6 1
= .
12 2
类型二 新定义型试题
6. (2023湖南娄底新化期末,4,★☆☆)定义运算:a*b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+
丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10
寸),则竹竿的长为
A. 五丈
B. 四丈五尺
(
C. 一丈
B
)
D. 五尺
解析 B 设竹竿的长为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=
1.5尺,标杆的影长=五寸=0.5尺,根据题意有
尺,即四丈五尺.故选B.
x 1.5
专项素养巩固训练卷(九)
数学文化及新定义型试题(练题型)
类型一 数学文化
1. (★☆☆)我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.
“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公
共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,
它的俯视图是
(
)
解析 (1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下:如图1,连接AC、BD,∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上,∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴
直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形.
(2)AB2+CD2=AD2+BC2.证明:在题图①中,∵AC⊥BD,
∴AG=AC,AB=AE,∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即
∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,
AG AC ,

GAB CAE ,
AB AE ,

∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG=∠AEC,∵∠AEC+∠AME=90°,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+
CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,∴AD2+BC2=AB2+CD2.
(3)如图2,连接CG、BE,设AB与CE交于点M,CE与BC交于点N,∵四边形ACFG和
四边形ABDE都是正方形,
∴∠ABG+∠AME=90°,
∵∠AME=∠BMN,∴∠ABG+∠BMN=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB是垂美四边形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC= AB 2 AC 2 = 52 42 =3,∵CG=
2
2
2
2
AC 2 AG 2 = 42 42 =4 2 ,BE= AB 2 AE 2 = 52 52 =5 2 ,∴GE =CG +BE -CB
= ,解得x=45,∴竹竿的长为45
15 0.5
4. [情境题
数学文化](2023江西中考,11,★☆☆)《周髀算经》中记载了
“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃
矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平
线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40 cm,BD=20 cm,AQ=
c d
=5,∴(x+1)(x-1)-(x+1)×2=5,解得x1=4,x2=-2,
9. (2023湖南邵阳新邵期末,25,★★☆)对于任意两个非零实数a,b,定义运算如下:
a
(a 0),
a b= b 如:2 3=
a b(a 0),
2
,(-2) 3=(-2)+3=1.
=(4 2 )2+(5 2 )2-32=73,∴GE= 73 .
一幅是祖冲之的概率(用画树状图或列表的方法求解).
解析 (1)
1
.
10
(2)解法一:令祖冲之、刘徽、韦达、欧拉分别为A、B、C、D,列表如下:
A
A
B
C
D
(B,A)
(C,A)
(D,A)
(C,B)
(D,B)
B
(A,B)
C
(A,C)
(B,C)
D
(A,D)
(B,D)
(D,C)
(C,D)
一共有12种等可能的情况,其中符合题意的有6种,
(
)
A
D. 4+4 2
由三视图可得该“堑堵”的侧面积为2×2 2 ×4+4×4=16+16
,故选
2
3. (★☆☆)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,
其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长
五寸,问竿长几何?译文:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一
12 m,则树高PQ=
6
m.
答案
6
解析 由题意可得,BC∥PQ,
∴△ABD∽△AQP,
∴
AB AQ
=
,∵AB=40 cm,BD=20 cm,AQ=12 m,
BD QP
∴ 40 = 12 ,解得QP=6(m),
20
QP
∴树高PQ=6 m,
故答案为6.
5. (2021江苏盐城中考,22,★★☆)圆周率π是无限不循环小数.历史上,祖冲之、
3
根据上述定义,解决下列问题:
(1) 6
2=
,(- ) 5 =
(2)如果(x2+2) (x2-x)=1,那么x=
(3)如果(x2-4) x=(-2) x,求x的值.
.
5
.
6
2
解析 (1)∵ >0,∴
6 = 2 = .∵- <0,∴(6
3
5)
2
2 2+2=x2-x,
(2)∵x2+2>0,∴(x2+2) (x2-x)= x 2=1,∴x
∵x>0,x-3>0,∴x>3,∴x=4,故选B.
B
8. (2023湖南邵阳隆回期末,20,★★☆)将4个数a,b,c,d排成2行2列,记成
bc,若
答案
x 1 x 1
2
a b
4或-2
.
=5,则x=
x 1
4或-2
解析 ∵
a b
c d
=ad-bc,
故答案为4或-2.
x 1 x 1
2
x 1
=ad-
A
解析 A
该几何体的俯视图是
.故选A.
2. (★☆☆)我国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形,且侧棱与
底面垂直的三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个
小正方形的边长均为1),则该“堑堵”的侧面积为
A. 16+16 2
解析 A
A.
B. 16+8 2
C. 24+16 2
四边形吗?请说明理由.
(2)性质探究:如图①,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.猜想:AB2+CD2
与AD2+BC2有什么关系?证明你的猜想.
(3)解决问题:如图③,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.
1
m
4
=0(m<0)的两根,则b*b-a*a的值为
B
A. -1
B. 0
C. 1
(
)
D. ±1
1
4
解析 B ∵a,b是方程x2-x+ m=0(m<0)的两根,∴a+b=1,
∴b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.故选B.
7. (2024四川乐山期末,6,★★☆)定义一种新运算:a b= ·
2
经检验,x1= 2和x2=- 都是原方程的解,且符合x
-4<0.
2
综上所述,x的值为 2或- . 2=来自 5+ =0.5
5
5
10. (2021山东枣庄中考,24,★★★)(12分)如图①,对角线互相垂直的四边形叫做
垂美四边形.
(1)概念理解:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美
x x
解得x=-2,经检验,x=-2是原方程的解,故x=-2.
2
2
4
(3)当x2-4>0时, x =-2+x,即x
-4=-2x+x2,
x
解得x=2,经检验,x=2是原方程的解,但不符合x2-4>0,
∴x=2应舍去.
当x2-4<0时,(x2-4)+x=-2+x,
整理得x2-2=0,解得x1= 2,x2=- , 2