高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002
21x x y y
a b +=. 6.
若000(,)P x y 在椭圆
22
22
1x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b +=. 7.
椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上随意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为
122tan
2
F PF S b γ
∆=.
8.
椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9.
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，
则MF ⊥NF. 11.
AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2
2
OM AB b k k a ⋅=-，
即020
2y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b +=
+. 双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0
P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的
直线方程是
00221x x y y
a b -=. 7.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上随意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦
点角形的面积为1
2
2t
2
F PF
S b co γ
∆=.
8.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10
||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q
交于点N ，则MF ⊥NF. 11.
AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0
2
02y a x b K K AB OM =⋅，
即0
2
02y a x b K AB
=。

12.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002
222x x y y x y a b a b -=-.
13.
若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b -=
-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1.
椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、
P 2时A 1P 1与A 2P 2
交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2.
过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 随意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有
定向且20
20
BC b x k a y =（常数）.
3. 若P
为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ-=+.
4.
设椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上随意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,
12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5.
若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点
P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆
22
22
1x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内肯定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7.
椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线
Ax By C ++=有公共点的充要条件是
2222200()A a B b Ax By C +≥++.
8.
已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ
⊥.（1）
2222
1111||||OP OQ a b
+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 9.
过椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2
PF e
MN =.
10.
已知椭圆22
221x y a b +=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段
AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则
22220a b a b x a a
---<<.
11. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ
∠=，则
(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=
+.(2)
122tan
2
PF F S b γ
∆=.
12.
设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，
c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2222
2|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ∆=-.
13.
已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,
点C 在右准线l 上，且BC
x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
1.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、
P 2时
A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
2.
过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 随意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则
直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =-（常数）.
3. 若P
为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α
∠=,
21PF F β∠=，则
tan t 22
c a co c a αβ
-=+（或
tan t 22
c a co c a βα
-=+）.
4.
设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上随意一点，在△PF 1F 2中，
记12
F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5.
若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲
线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为双曲线
22
22
1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内肯定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
A a
B b
C -≤.
8. 已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）2222
1111||||OP OQ a b
+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 9.
过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x
轴于P ，则
||||2
PF e
MN =.
10.
已知双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,
则220a b x a
+≥或22
0a b x a +≤-.
11.
设P 点是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 12
2
cot 2PF F S b γ∆=.
12.
设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)222
22|cos |
|||s |
ab PA a c co αγ=-. (2)
2
tan tan 1e
αβ=-.(3)
2222
2cot PAB
a b S b a γ∆=+.
13.
已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于
A 、
B 两点,点
C 在右准线l 上，且BC
x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。