2019年高三第二次模拟考试理科数学含答案

2019年高三第二次模拟考试理科数学含答案
本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要求的一项.
1.若﹁p∨q是假命题，则
A. p∧q是假命题
B. p∨q是假命题
C. p是假命题
D. ﹁q是假命题
2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A. B. C. D.
3.如图，是⊙O上的四个点，过点B的切线与的
延长线交于点E.若，则
A.
B.
C.
D.
4.设平面向量，若//，则等于
A. B.
C. D.
5.已知是不等式组
1,
1,
10,
6
x
y
x y
x y
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨
-+≥
⎪
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域内的两个不同的点，则的
最大值是
A. B.
C. D.
6.已知数列的前项和为,,,则
A. B. C. D.
7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A ． B. C. D.
8.定义运算 ，称 为将点映到点的
一次变换.若＝ 把直线上的各点映到这点本身，而把直线
上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值依次是 A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数对应的点的坐标为 .
10.直线的参数方程为（t 为参数），则直线的斜率为 . 11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是.，则 .
12.若展开式中的二项式系数和为，则等于 ，该展开式中的常数项为 . 13.抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为 ，若点在抛物线 上运动，点在直线上运动，则的最小值等于 . 14.在数列中，如果对任意的，都有（为常数），则称数列为
比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：
①若数列满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为，且图象过点
.
俯视图侧（左）视图
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求函数的单调递增区间.
16.（本小题满分14分）
如图, 是正方形， 平面， ，.
(Ⅰ) 求证：；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置， 使得平面，证明你的结论.
17.（本小题满分13分）
小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．
（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．
18.（本小题满分13分）
已知函数（）.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，取得极值.
① 若，求函数在上的最小值；
② 求证：对任意，都有.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆：的离心率为，且过点．直线 交椭圆于,（不与点重合）两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．
F E
D
C
B A
20.（本小题满分13分）
设，对于项数为的有穷数列，令为中的最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．
（Ⅰ）若，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列；
（Ⅱ）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．
房山区xx 高考第二次模拟考试参考答案
数 学 （理科） xx.05
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11. 12. 13. 14. ①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由最小正周期为可知 ， ………………2分
由得 ， 又，
所以 ， ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22
f x x x π
=+
=
所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242
g x x x x x π
π
=⋅-
+= …………………………………………………………………9分
解
得
(Z)2828
k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数的单调增区间为[,] (Z)2828
k k k ππππ
-+∈.
…………………………………………………13分
16（本小题满分14分） (Ⅰ)证明： 因为平面，
所以. ……………………1分 因为是正方形， 所以，
所以平面, …………………3分 从而 ……………………4分 (Ⅱ)解：因为两两垂直，
所以建立空间直角坐标系如图所示. …………5分 设，可知. ……………………6分 则 ,，，，，，
所以，， ………………7分
设平面的法向量为，则，即，
令，则. …………………8分 因为平面，所以为平面的法向量， ，
所以14
7
,cos =
=
>< ………………………………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. …………10分 (Ⅲ)解：点是线段上一个动点，设.
则，
因为平面，
所以， ……………11分 即，解得. ……………13分 此时，点坐标为，，符合题意. ……………14分
（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则
031
2331111()=()()2222
P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………2分
（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．
341
(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=，
34347
(=1)=(1)(1)454520
P X ⨯-+-⨯=
， ． ………………………………8分
随机变量的分布列为：
………………………………………………9分
17331
0122020520
EX =⨯+⨯+⨯=
． ………………10分 （Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为，则，
所以． ………………12分 因为，所以选择路线1上学最好． ………………13分
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）211
'()()(21)(12)x x x
a a a f x x x a e x e x x a e a a
=+-++=++ …………1分
当时， 解得或, 解得 ……………2分
所以单调增区间为和，单调减区间为………3分
（Ⅱ）①当时，取得极值， 所以1
'(5)(5)(512)0x
a f a e a
-=--++=
解得（经检验符合题意） ……………4分
所以函数在
，
递增，在递减. ……5分
当时，在单调递减，
12
min ()(1)(3)m f x f m m m e
+=+=+
………………6分
当时
在单调递减，在单调递增，
. ………………7分 当时，在单调递增，
2
min ()()(2)(1)m f x f m m m e
==+-
……………………8分
综上，在上的最小值
1
2
min 2(3),
51,()2,10,(2)(1),
0.m m
m m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪
=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩ ……………………9分
②令 得（舍）
因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,
()2
f x f x ==-
……………11分
所以，对任意，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-=
……………13分
19（本小题满分14分） （Ⅰ）， ，
，，
． ------------------------------------------3分
（Ⅱ）设 ， ，
由22
=+2142
y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪
⎩2220x m ⇒++-=
① ②----------------------5分
12BD x =-= --------------------8分 设为点到直线BD
：的距离，
--------------------10分
12ABD S BD d ∆=
=≤分 当且仅当时等号成立
∴当时，的面积最大，最大值为----------------14分
20（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列有6个，
3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；
3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列的创新数列为等比数列． 设数列的创新数列为，
因为为前个自然数中最大的一个，所以．若为等比数列，
设公比为，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以．……………7分 当时，为常数列满足条件，即为数列
当时，为增数列，符合条件的数列只能是，
又不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．
………………………………………………………………8分
（Ⅲ）存在数列，使它的创新数列为等差数列，
设数列的创新数列为，因为为前个自然数中最大的一个， 所以．若为等差数列，设公差为，
因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以．且
当时，为常数列满足条件，即为数列（或写通项公式）， 此时数列是首项为的任意一个排列，共有个数列；
………………………………………11分
当时，符合条件的数列只能是，此时数列是， 有1个；
当时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 又
这与矛盾，所以此时不存在.
综上满足条件的数列的个数为个（或回答个）．
……………………………………………13分 33133 816D
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