学而思八年级数学下1-14讲

第一讲不等式基本性质
第二讲不等式应用题
第三讲不等式与一次函数应用第四讲不等式专题
第五讲分解因式专题
第六讲因式分解专题1
第七讲因式分解(完全平方) 第八讲因式分解(十字相乘法) 第九讲分式的基本性质
第十讲分式的运算
第十一讲分式(计算)专题
第十二讲分式方程应用题
第十三讲期中考试计算专题
第十四讲期中考试应用专题
第一讲 不等式基本性质
【知识要点:】
1．不等式基本性质：
①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。

若a ＞b, 则 a+c______b+c ；若a ＞b, 则 a-c______b-c 。

②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。

若a ＞b 且c ＞0,则ac________bc ； 若a ＞b 且c ＞0,则____________。

③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。

若a ＞b 且c ＜0则ac_________bc ； 若a ＞b 且c ＜0，则___________。

2. 不等式常用结论性质：
①．不等式的互逆性: 若a ＞b, 则b ＜a ；
②．不等式的传递性: 若a ＞b, b ＞c ，则a ＞c ；
③．不等式的同号合并性: 若 ,a b c d >>，则a c b d +>+；
若,a b c d <<，则a c b d +<+。

3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a<b ）。

（1）⎩⎨⎧〉〉b x a
x 的解集为x ＞b 同大取大
（2）⎩⎨⎧〈〈b x a
x 的解集为x ＜a 同小取小
（3）⎩⎨⎧〈〉b x a
x 的解集为a ＜x ＜b 大小小大取中间
（4）⎩
⎨⎧〉〈b x a x 无解。

大大小小解不见
【经典例题：】
例1.用不等号填空题：
（1）.若a b >，则12
a - 1
2b -，21a + 21b +；（2）.若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0；
（3）.若a b >，则43a -+ 43b -+； （4）.若3
62x ->，则x －4；
（5）.若,0a b c >>，则ac c + bc c +。

例2．解下列不等式： (1)||≤4； (2)
<0； (3)(3x-6)(2x-1)>0。

例3．解下列不等式组，并将解集标在数轴上：
a
b
x
b
a
x
b
a
x
a
b
x
①.
②.
的正整数解
③.
④.
例4．比较大小：
（1）223x x -+与22x -+ （2）若1,10a b >-<<，2,,,b
ab ab a a -的大小
例5.已知32y -<<，化简233924y y y y -++----
例6．已知21,34x y -<<<<，求（1）x y -；（2）2x y +；（3）32x y -的取值范围。

【课堂练习题：】
一>填空题：
1.不等式)1(32+≤-x x 的解集为 。

2.x 的53
与12的差不小于6，用不等式表示为__________________。

3.不等式21)1(10≤++x x 的正整数解为 。

4.关于x 的不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧+++012
34a ＜x x
＞x 的解集是2x ＜，则a 的取值范围是 。

5.若不等式组⎩
⎨⎧--321
2b ＞x a ＜x 的解集为12＜x＜-那么)1)(2(-+b a 的值等于 。

6.已知一个三角形中两条边的长分别a 、b 。

且b a 〉，那么这个三角形周长l 的取值范围是 。

7.若0〈a ，0〈ab 则化简=---+-64b a a b 。

8.若不等式(a-b)x>a-b 的解集是x<1，则a 与b 的大小关系是________
9.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共25道题，每题给出四个答案，其中只有一个答案正确。

要求学生把正确答案选出来，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分。

那么他至少选对了 道题。

二>选择题:
1.如果2〈-a ，那么下列各式中正确的是（ ）
A 、2〈-a
B 、2〉a
C 、31〈+-a
D 、11〉--a 2.如果m ＜n ＜0，那么下列结论错误的是（ ）
A.m －9＜n －9
B.－m ＞—n
C.n
1＞
m 1 D.n
m
＞1 3．x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ）。

A ．()32142-<+x x
B ．32124-≤⨯+x x
C ．()32142-≤+x x
D ．()()32
1
42-≤+x x 4．下列按要求列出的不等式中错误的是（ ）。

A ．a 是负数：a ＜0
B ．a 是非负数：a ≥0
C ．a 不是负数：a ＞0
D ．a 不大于零：a ≤0。

5.设“●、▲、■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A ．■ ● ▲ B ．■ ▲ ● C ．▲ ● ■ D ．▲ ■ ●
●●● ▲● （2）
■■
■▲ （1）
6.不等式组⎩⎨⎧〈-〉-0
30
2x x 的解集是（ ）
A 、2〉x
B 、3〈x
C 、32〈〈x
D 、无解 7.不等式8〈x 的解集是（ ）
A 、8〈x
B 、8〉x
C 、88〈〈-x
D 、88〉〈-x x 或
8.如果关于x 的方程5
432b
x a x +=
+的解不是负数，那么a 与b 的关系是（ ） A 、b a 53〉 B 、a b 35
≥ C 、b a 35= D 、b a 35≥
9.不等式组⎩⎨⎧+〉+〈+1
1
59m x x x 的解集是2〉x ，则m 的取值范围是（ ）
A 、2≤m
B 、2≥m
C 、1≤m
D 、1〉m 10.若不等式组
的解集是x>3，则m 的取值范围是（ ）
A 、m ≥3
B 、m=3
C 、m<3
D 、m ≤3 11.若不等式组
的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_____。

12.已知关于x 的不等式(1-a)x>2的解集为
，则a 的取值范围是（ ）。

A 、a>0
B 、a>1
C 、a<0
D 、a<1 13.若不等式组
的解集是x>a ，则a 的取值范围是（ ）。

A 、a<3
B 、a=3
C 、a>3
D 、a ≥3 三>解答题:
1.解下列不等式（组）,并把解集用数轴表示出来。

(1) 5（x －2）＞4（2x －1） (2) 1＋3
x ＞5－22
-x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤--03128)2(3x x x x （4）⎪⎩⎪⎨⎧++〈+--≤-37616
2
316)3(4)5(2x x x x
2.x 取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8
3.已知不等式7)1(68)2(5+-〈+-x x 的最小正整数解为关于a 的方程32=-ax x 的解，求代数
式a
a 14
4-的值。

4.如果不等式组⎩⎨⎧〈-〈-a
x b b
a x 536732的解是225〈〈x 。

求a 、
b 的值
第二讲 不等式应用题
【经典例题：】
例1.某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可处 理垃圾55吨，每吨需费用10元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，每吨需费用11元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需多少小时？
例2.某车间有2 0名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这20名工人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙种零件．已知每加工甲种零件可获利16元，每加工乙种零件可获利24元．（1）写出此车间每天所获利润y（元）与生产甲种零件人数x（人）之间的函数关系式（用x表示y ）．（2）若要使车间每天获利不少于1800元，问最多派多少人加工甲种零件？
例3.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克。

计划利用这两种材料生产A、B两种产品共50件。

已知生产一件A种产品用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700 元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来。

（2）设生产A、B两种产品总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试用含x的代数式表示y，并说明（1）中哪种生产方案获总利润最大，最大总利润是多少？
例4.小明家的鱼塘养了某种鱼2000条，现准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中打捞三次，得到的数据如下表：
捕捞次数鱼的条数平均每条鱼的质量
第一次捕捞15 1.6千克
第二次捕捞15 2.0千克
第三次捕捞10 1.8千克
（1）鱼塘中这种鱼平均每条质量约是千克，鱼塘中所有这种鱼的总质量约是千克。

若将这些鱼不分大小，按7.5元/千克的价格售出，小明家可收元；
（2）若鱼塘中这种鱼的总质量就是（1）估计的值，现将鱼塘中鱼分大鱼和小鱼两类出售，大鱼10元/千克，小鱼6元/千克，要使小明家此项收入不低于（1）中估计到的收入，问：鱼塘中大鱼总质量应至少有多少千克？
【课堂练习题:】
1．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？
2．某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克，生产成本是120元；生产一件B产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，生产成本是200元。

(1)该化工厂现有原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请设计出来。

（2）试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？
3．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾处理厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用490元。

（1）甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要几小时完成？（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
4．某城市为开发旅游景点，需要对古运河重新设计，加以改造，现需要A、B两种花砖共50万块，全部由某砖瓦厂完成此项任务。

该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克，已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产
1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元。

（1）利用现有原料，该厂能否按要求完成任务？若能，按A、B两种花砖的生产块数，有哪几种生产方案？请你设计出来（以万块为单位且取整数）；（2）试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？
5．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂在A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。

（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x 节，试定出用车厢节数x表示总费用y的公式。

（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
6．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每
A型B型
价格（万元／台）12 10
处理污水量（吨／月）240 200
年消耗费（万元／台） 1 1
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
7．为了增加农民收入，村委会成立了蘑菇产销联合公司，小明家是公司成员之一，他家五月份收获干蘑菇42．5kg ，干香菇35．5kg 。

按公司收购要求，需将两种蘑菇包装成简装和精装两种型号的盒式装蘑菇共60盒卖给公司。

设包装简装型的盒数为x 盒，两种型号的盒装蘑菇品种及利润 型号 装入干蘑菇重量（kg ） 装入干香菇重量（kg ）
每盒利润（元）
简装型（每盒） 0．9 0．3 14
精装型（每盒） 0．4 1 24 (1)写出用含x 的代数式表示y 的式子。

（2）为满足公司的收购要求，问有哪几种包装方案可供选择？
第3讲 不等式与一次函数应用
【知识要点:】
1．一次函数y ax b =+与一元一次不等式0(0)ax b ax b +>+<的关系：
（1）当一次函数0y >时，自变量x 的取值就是一元一次不等式0ax b +>的解集； （2）当一次函数0y <时，自变量x 的取值就是一元一次不等式0ax b +<的解集； 2.如何利用一次函数解决实际问题：
● 找出临界点
● 找准关键句子，列出关系式 ● 借助函数图像解决问题
3．解不等式组应用题的方法：
审题—设未知数—找出数量关系列出不等式组—解不等式组—检验—答
【经典例题：】
例1．①．已知方程组⎩⎨⎧=-=-25163ky x y x 的解都是负数，求：k 的取值范围；
②．求使代数式3
821++
-x x 的值不小于代数式63
4-x 的值的x 的正整数值。

例2.已知()03222
=--+-a y x x 中y 为正数，求：a 的取值范围.
例3.将一箱苹果分给若干名小朋友，若每名小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每名 小朋友分8个苹果，则有一名小朋友分不到8个苹果，求：这箱苹果的个数与小朋友的人数；
例4.白石二中八年级准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划 租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李；乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。

(1)设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计出所有可能的租车方案；(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。

例5．某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套.已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x(套)，用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y(元).(1)写出y(元)关于x(套)的代数式，并求出x 的取值范围.(2)该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？
【课堂练习题:】
一>填空题：
1.不等式－3x ＜15的所有负整数解的和是 ；
2.一个三角形的三边长分别为5，2x －2，3，则x 的取值范围是 ；
3.不等式2
9
514135+-≤--
x x 的解集是 ； 4.已知x 满足不等式()()1645253+-++x x x ，化简：=--+x x 311 ； 5.若关于x 的方程4x －a=3的解是负数，则a 的取值范围是 ；
6.若不等式组⎩⎨⎧+-a b x b
a x 2的解集为51 x -，则a= ，b= ;
7.若不等式组⎩⎨⎧-+5
23
m x m x 无解，则m 的取值范围是 ；
8.关于x 的不等式组⎩⎨⎧>->-0230
x a x 的整数解共有6个，则a 的取值范围是 。

二>选择题：
A.b －a ＜0
B.ac ＜bc
C.1 b a
D.－b ＜－a
2.已知a ＜0，且⎩⎨
⎧b x a x 的解集为x ＞a ，则⎩⎨
⎧-b
x a
x 的解集是（ ） A.－b ＜x ＜a B.x ＞b 或x ＜a C.x ＜a D.无解 3.若不等式643
2+≥-x a
x 的解集是
x ≤－4，则a 的值是（ ）
A.34
B.22
C.－3
D.0 4.已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 5.函数1
3-+=
x x y
自变量的取值范围是（ ）
A.x ≥－3
B.x ≠1
C.x ≥－3且x ≠1
D.全体实数 6.若不等式()m m x --23
1 的解集是x ＞2，则m 的值为（ ）
A.
2
1 B.31
C.2
D.4
7.不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧-≤---x x x x 323
1
4
315 的整数解的和是（ ）
A.1
B.0
C.－1
D.－2 8.若（a ＋1）x ＞a ＋1的解集是x ＜1,则a 的取值是（ ）
A.a ＞－1
B.a 是任意实数
C.a ＜－1
D.a ＜0
9.已知关于x 的不等式组 的解集是3≤x ＜5，则
a b
的值为（ ） A.－21 B.－4 D.－4
1
10.一家服装商场，以1000元/件的价格进一批高档服装，出售时标价为1500元/件，后来换
季需降价处理，商场准备打折出售，但仍希望利润率不低于5%，那么商场至多可以打 A.9折 B.8折 C.7折 D.6折 三>解答题：
1.某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用
到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A 型、B 型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（m 2/个） A 型 3 20 48 B 型 2 3 6
x －a ≥b 2x －a ＜2b ＋1
（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案
第四讲 不等式专题
【知识要点:】
1．不等式基本性质：
①．不等式两边都_________同一个整式，不等号的方向__________。

若a ＞b, 则 a+c______b+c ；若a ＞b, 则 a-c______b-c 。

②．不等式两边都_________同一个正数，不等号的方向__________。

若a ＞b 且c ＞0,则ac________bc ； 若a ＞b 且c ＞0,则____________。

③．不等式两边都____________同一个负数，不等号方向____________。

若a ＞b 且c ＜0则ac_________bc ； 若a ＞b 且c ＜0，则___________。

2. 不等式常用结论性质：
①．不等式的互逆性. 若a ＞b, 则b ＜a ；
②．不等式的传递性. 若a ＞b, b ＞c ，则a ＞c ；
③．不等式的同号合并性. 若 ,a b c d >>，则a c b d +>+；
若,a b c d <<，则a c b d +<+。

3.不等式解集的表示方法与取值（若已知a<b ）。

（1）⎩⎨⎧〉〉b x a
x 的解集为x ＞b 同大取大
（2）⎩⎨⎧〈〈b x a
x 的解集为x ＜a 同小取小
（3）⎩⎨⎧〈〉b x a
x 的解集为a ＜x ＜b 大小小大取中间
（4）⎩
⎨⎧〉〈b x a x 无解。

大大小小解不见
【课堂练习题：】
一>填空题：
⑴用恰当的不等号表示下列关系：
①x 的3倍与8的和比y 的2倍小： ； ②老师的年龄a 不小于你的年龄b ： . ⑵不等式35)1(3-≥+x x 的正整数解是 ⑶当a 时，不等式()11>-x a 的解集是1
1-<a x . ⑷已知x ＝3是方程
12-=--x a x 的解，那么不等式1
)2(<-x a 的解集是 a
x b
a
x
b
a
x
a
b x
⑹若不等式组 ⎩
⎨⎧>-<+m x x x 1
48的解集是x ＞3，则m 的取值范围是
⑺已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-1230
x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是
⑻若不等式组⎩⎨⎧>-<-3
21
2b x a x 的解集为11<<-x ，那么)1)(1(--b a 的值等于
⑼小明用100元钱购得笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每只钢笔5元.那么小明最多能买 只钢笔.
⑽2001年某省体育事业成绩显著，据统计，在有关大赛中获得奖牌数如右表所示(单位：枚)如果只获得1枚奖牌的选手有57人，那么荣获3枚奖牌的选手最多 有 人. 二>选择题：
⑾已知“①1=+y x ；②y x >；③y x 2+；④12≥-y x ；⑤0<x ”属于不等式的有 个. A.2； B. 3； C.4； D. 5. ⑿如果0<<n m ，那么下列结论错误的是
A.99-<-n m ；
B.n m ->-；
C.m n 11>；
D.1>n
m
.
(13)设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天 平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质 量从大到小的顺序排列为
A.■、●、▲。

B.■、▲、●。

C.▲、●、■。

D.▲、■、●。

⒁已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，设M=a+b,N=—a+b, H=a —b ，则下列各式正确的是
A.M>N>H ；
B.H>M>N ；
C.H>M>N ；
D.M>H>N. ⒂不等式组⎩⎨
⎧>≤3
5
x x 的解集在数轴上表示，正确的是 ．
A. B. C. D
⒃已知()0332
=++++m y x x 中，y 为负数，则m 的取值范围是
A.m 〉9
B.m 〈9
C.m 〉－9
D.m 〈－9 ⒄观察下列图像，可以得出不等式组
⎩⎨
⎧>+->+0
15.00
13x x 的解集是 A.31<
x B.031<<-x C.20<<x D.23
1
<<-x ⒅某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶的距离不超过3千米都需付7元车费）,超过3千米，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计算）某人乘这种出租车从 金牌 银牌 铜牌 亚洲锦标赛 10 1 0 国内重大比赛 29 21 10
第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售.你在购
买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买 块肥皂.
A.5
B.4
C.3
D.2
⒇韩日“世界杯” 期间，重庆球迷一行若干人从旅馆乘车到球场为中国队加油，现有某个车队，若全部安排乘该车队的车，每辆坐4人则多16人无车坐，若每辆坐6人，则坐最后一辆车的人数不足一半.这个车队有 辆车
A.11
B.10
C.9
D.12 三>解答题：
（21）解下列不等式（组）：（每题8分，共计24分）
（1）)1(21)2(5--≥+x x （2）12
732)1(2-≤-++x
x x
（3）解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧>-+<+02)8(21042x x
（22）若方程组⎩⎨⎧-=-=+323
a y x y x 的解x 、y 都是正数，求a 的取值范围. （6分）
（23）如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图像．根据图像解答下列问题：（6分）（1）在轮船快艇中，哪一个的速度较大？
（2）当时间x在什么范围内时，快艇在轮船的后面？当时间x在什么范围内时，快艇在轮船的前面？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？
四>实际应用题（每题8分，共计24分）
（24）某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠.”若全票价为240元，两家旅行社的服务质量相同，根据“三好学生”的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算？
（25）某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆0.5元，一般车的保管费是每辆0.3元.（1）一般车停放的辆次数为x，总的保管费为y 元，试写出y与x的关系式；（2）若估计前来停放的3500辆自行车中，变速车的辆次不小于25﹪，但不大于40﹪，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
（26）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。

要求在8天之内（含8天）生产A 型和B 型两种型号的口罩共5万只，其中A 型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A 型口罩每天能生产0.6万只，若生产B 型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A 型口罩可获利0.5元，生产一只B 型口罩可获利0.3元。

设该厂在这次任务中生产了A 型口罩x 万只。

问：（1）该厂生产A 型口罩可获利润_____万元，生产B 型口罩可获利润_ ___万元；（2）设该厂这次生产口罩的总利润是y 万元，试写出y 关于x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围;（3）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下,你如何安排生产A 型和B 型口罩的只数,使获得的总利润最大?最大利润是多少?②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A 型和B 型口罩的只数?最短时间是多少?
第五讲分解因式专题
一>选择题:
1.多项式
32223
15520m n m n m n +-的公因式是( ) A.5mn B.225m n C.25m n D.2
5mn
2.下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是( )
A.(
)()2
339
a a a +-=- B.
()()
2
2
a b a b a b -=+- C.
()
2
4545a a a a --=-- D.
2
3232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 3.下列多项式能分解因式的是（ ）
A.x 2-y
B.x 2+1
C.x 2+y+y 2
D.x 2-4x+4 4.把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式彻底后等于（ ）
A.))(2(2m m a +-
B.))(2(2m m a --
C.m(a －2)(m －1)
D.m(a －2)(m+1) 5.下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ）
A.21x +-
B.22y x +
C.42--x
D.()22
b a ---
A.4
B.8
C.16
D.32 7.下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A.)34(391222xyz xyz y x xyz -=-
B.)2(363322+-=+-a a y y ay y a
C.)(22z y x x xz xy x -+-=-+-
D.)5(522a a b b ab b a +=-+ 8.下列各式不能继续因式分解的是（ ）
A.31x -
B.22y x -
C.2)(y x +
D.a a 22+ 10.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A.22)(b a -+
B.mn m 2052-
C.22y x --
D.92+-x 11.能用完全平方公式分解的是（ ）
A.2242x ax a ++
B.2244x ax a +--
C.2412x x ++-
D.2444x x ++ 12.将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） A.ab 3- B.223b a - C.b a 23- D.333b a - 13.满足0106222=+-++n m n m 的是（ ）
A.3,1==n m
B.3,1-==n m
C.3,1=-=n m
D.3,1-=-=n m 14.20062+3×20062–5×20072的值不能．．
被下列哪个数整除（ ） A.3 B.5 C.20062 D.20052 15.下列各个分解因式中正确的是（ ）
A.)35(22610222c b ac ac ac c ab +=++
B.)1()()()(222+--=---b a b a a b b a
C.)1)(()()(-+-+=-+------y x a c b c b a c b a y a c b x
D.)211)(2()2(5)3)(2(2a b b a a b b a b a --=--+- 16.c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
17.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ）
A.4
B.8
C.4或－4
D.8的倍数 二>填空题:
1.分解因式：23xy x -= 。

2()x y - = _________2()y x - 4.（－2）2001＋（－2）2002等于
5.若211
(2)22
a b M ab N b +=+，M ,N 都是单项式，则M =______，N = _____。

6.分解因式：=---2222)()(a b y b a x 。

7.分解因式：=++224
1
24n mn m 。

8.计算：=⨯-⨯-⨯8002.08004.08131.0 。

9.分解因式：=-+222224)(b a b a 。

10.分解因式：=+----321963n n n y y y 。

三>解答题
1.将下列各式进行分解因式。

①.3123x x - ②.224520bxy bx a -
③.4x 2-4x+1 ④.ma ma ma 36322-+-
⑤.()()2
m n m n m mn --- ⑥.22363ay axy ax ++
⑦.2
2)(16)(9n m n m --+ ⑧.2412()9()x y x y --+-
2.已知22==+ab b a ，，求32232
1
21ab b a b a ++的值
3.对于任意自然数n ，()()2
2
57--+n n 是否能被24整除，为什么？
4.已知多项式(a 2+ka+25)–b 2，在给定k 的值的条件下可以分解因式．（1）写出常数k 可能给定的值；（2）针对其中一个给定的k 值，写出分解因式的过程．
5.阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
4332)1()1()1()1()1()1(1x x x x x x x x x x +=++=+++++++
是 。

(3)分解因式：).()1()1()1()1(112为正整数n x x x x x x x x x n n ++++++++++-
第六讲 因式分解专题1
【知识要点：】
Ⅰ.定义：
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式，也叫因式分解。

注意：①.分解后结果要以积的形式出现；②.每个因式都必须是整式；
③.必须分解到每个因式不能再分解为止。

Ⅱ.因式分解方法1：提取公因式法 如： ma+mb+mc=m(a+b+c)
注意：①.公式中的m 可以是单项式，也可以是多项式；
②. 多项式的第一项有“—”号，一般要提出“—”；
③.“1”作为某项系数，一般省略但作为数单独项时，不能漏掉。

Ⅲ.因式分解方法2：运用公式法（平方差）
平方差公式： 如：a 2—b 2=(a+b)(a —b) 注：①.两项差时，可考虑平方差公式；
②.其中公式中两个数a 、b 可以是单项式，也可以是多项式。

【经典例题：】
例1.确定下列代数式的公因式并分解因式
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例2．(1) 9-24
1
x
(2）2228b a - (3）2
222c a b a -
例3．（1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----
(3）()()2
2
429b a b a --+ (4）222
4)1(a a
-+
(5）2
2)(16)(4b a b a +-- (6）-22
)1(16)
2(-++x x
（7）32)2()2(2x y b y x a -+- （8）32)3(25)3(15a b b a b -+-
【课堂练习题：】
1.下列各式从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
①．12x 3y=4x 2·3xy ②.a 2–16+2a=（a+4)(a –4）+2a ③.a 3b 3–a 2b 2–ab=ab （a 2b 2–ab –1） ④.1–a 2=（1+a ）(1–a ）=1–a 2
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2.用提公因式法分解因式6a （x –y ）–9b （y –x ）的结果应为（ ） （A ）（x –y ）（6a –9b ） （B ）（x –y ）（6a+9b ） （C ）3（x –y ）（2a –3b ） （D ）3（x –y ）（2a+3b ） 3．多项式3322328714n m n m n m -+的公因式是（ ）
A.27mn
B.n m 27
C.227n m
D.327n m
4．下列各式的公因式是a 的是（ ）
A.5++ay ax
B.264ma ma +
C.ab a 1052+
D.ma a a +-42 5．将)()(3y x b y x a ---用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ） A.b a -3 B.)(3y x - C.y x -
D.b a +3 6.一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（
）
A.46-b
B.64b -
C.46+b
D.46--b
7．下列多项式，不能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A.42+-m
B.22y x --
C.122-y x
D.()()2
2
a m a m +--
8．把()()2
2
2516b a b a +--分解因式，得（ ）
A.-9ab
B.41ab
C.()()b a b a ++-9
D.()()b a b a 99++- 9．下列各式不能继续因式分解的是（ ）
A.31x -
B.22y x -
C.2)(y x +
D.a a 22+
11．分解因式14-x 得（
）
A.)1)(1(22-+x x
B.22)1()1(-+x x
C.)1)(1)(1(2++-x x x
D.3)1)(1(+-x x 11．用适当的方法分解下列各式：
（1）xy y x y x -+-3223 （2）212++--m m m a a a （3）8x 2－72
（4）()
22
2369a a -+ （5）()()2
2
169b a b a +-- （6）()
222
2
24b a b a -+
（7）()2
2324y x x -+- （8）()()2
2
z y x z y x ---++ （9）n n 212)2(2)2(-+-+
（10）()
2
2214+-a a （11）()()2
2
3232y x y x --+
【知识要点：】
Ⅰ.定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式，也叫因式分解。

注：①.分解后结果要以积的形式出现；
②.每个因式都必须是整式；
③.必须分解到每个因式不能再分解为止。

Ⅱ.因式分解方法2：运用公式法（完全平方）
完全平方公式： 如：a 2+2ab+b 2=(a+b)2
a 2—2ab+
b 2 = (a —b)2
注：①.三项时，可考虑完全平方公式；
②.其中公式中两个数a 、b 可以是单项式，也可以是多项式。

【经典例题：】
例1．①.
22
4124n mn m ++ ②.229
162169b ab a +-
③.a ab a 9161312+- ④.mn n m 129422+--
例2．①．
4)(4)2++-+m a m a （; ②.（x －2）2+10（2－x ）+25;
③.()()110252
+-+-x y y x ; ④.()()y x y x +-++202542
;
⑤.()()49142
++-+y x y x ; ⑥)1(4)(2-+-+y x y x ;
例3．①.25672y x y x x +- ②. 43
222
1161y xy y x ++
③. －22222
1
yz xyz y x -+ ④.2222224)()(2a b x b a x -+--
⑤.22)34()43)(62()3(y x x y y x y x -+-+++ ⑥.)(4)(4)(2222y x y x y x ---++
例4．已知()0522
=++++b a a ，求()[]ab a b a ab b a b a -----22224223 的值。

【课堂练习题：】
一>选择题：
1．下列各式是完全平方式的是（
）
A.4
1
2+
-x x B.21x + C.1++xy x D.122-+x x 2．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）
A.2242b ab a +-
B.4
1
42+-m m C.269y y +- D.222y xy x --
3．如果x ab a 42--是一个完全平方式，那么x 等于（ ）
A.241b
B.281b -
C.216
1b D.2161b -
4．若2294y m x ++是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）
A.36xy
B.6xy
C.±12xy
D.±36xy 5．2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（
）
A.2)5(b a -
B.2)5(b a +
C.)23)(23(b a b a +-
D.2)25(b a - 6．若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）
A.6
B.±6
C.12
D.±12
二>填空填：
1．分解因式=+-442x x __________； ()()49142
++-+y x y x =__________；
a a a +-2344= ； 4422+--x y x = ；
( x 2 + 2x + 1 ) – y 2 = 2．当m= 时，224916y mxy x ++是一个完全平方式； 3．若244(2)()x x x x n ++=++，则_______n =
=+-_______1242x x （ ）2
4．把多项式b a ab a 2232-+分解因式的结果是 ； 5．已知：()2
2n x m x x -=++则m= ,n= 。

三>把下列各式分解因式：
③.()()110252
+-+-x y y x ④.22312123xy y x x +-
⑤.b b a ab 2242-- ⑥.234)(9)(6)(b a b a b a +++-+
⑦.()()()222
2
44y x y x y x ---++ ⑧.2346416x x x +-
第八讲 因式分解(十字相乘法)
【经典例题：】
例1.用十字相乘法分解下列各式：
（1）232++x x （2）232+-x x （3）4822--x x
（4）2762-+x x （5）3522-+x x （6）12522--x x
例2. 用十字相乘法分解下列各式：
（1）222y xy x -- （2）2242y xy x -+ （3）2232y xy x -+
（4）22158y xy x ++ （5）122252x xy y -- （6） －3x 3－12x 2＋36x
例3. 用十字相乘法分解下列各式：
（1）226y xy x -+ （2）226417y xy x -+
(3) ()
()
183222
22--+-b a b a (4) ()
()
2038322
2-+-+m m m m
【课堂练习题：】
4.1272+-x x
5.542-+y y
6.1522--p p
7.432-+x x 8.28112+-a a 9.16102++x x
10.4032--x x 11.4
3
2--a a 12.2082-+m m
13.42132+-y y 14.902-+x x 15.2092+-x x
16.3522--y y 17.3)2(4)2(2++++y x y x 18.x x x 86223--
19.361324+-x x 20.9)4(6)4(222+-+-x x x x 21.236)5(22--x x
22.3)2(2)2(222-+-+x x x x 23.()()2
2
169b a b a +-- 24.()()110252
+-+-x y y x
二>计算与解答题
1.利用因式分解说明：127636-能被140整除。

2.已知22==+ab b a ，，求32232ab b a b a ++的值
3.利用因式分解计算：
(1)4292-1712; (2)2022+2×202×98+982
【课外复习专题：】
1．762-+x x 2．4231212-+x x 3．623352-+x x
4．782---x x 5．2235244y xy x +- 6．277x x x -+-
7．2)(3)(2++-+y x y x 10．16)43)(23(22-++-+x x x x
第九讲 分式的基本性质
【经典例题：】
例1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）1a （2）1x x + （3）1()3x y + （4）2212x y - （5）x y x y +- （6）5a
（7）x π （8）0.3732a x y ++ （9）1
323y x +- （10）5(3)x y m x +- (11) 1a +3a+2 (12)392--x x
例2. 当x 取什么值时，下列分式有意义？
（1）18
-x （2）912-x （3）132+x x
(4)1222-+-x y xy x
(5)1110x +- (6)()()1
12x x -- （72
x -1
11x x x
+-
例3.x 取何值时，下列各式的值为零
（1）121x x -+ （2）()()125x x x -+ （3）242x x -- （4）211x x +- （5）55x x -+ （6）21
1
x x +-
例4．解下列分式方程:
1.132543297=-----x x x x 2．3
2421132+-=---x x x x 3．11222x x x -=---
4.23416242+-=---x x x
5.0)1(213=-+--x x x x
6. 2
163524245--+=--x x x x
7.x
x x +--=-1513112 8.41615171--
-=---x x x x
例5．化简下列分式，并求值：
（1）1272322+--+a a a a ，其中31-=a （2）()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-÷-+2222
y x xy y xy y y x ，其中x=0，y=1
【课堂练习题：】
一>选择题： 1. 若使式子6
23
1
2--+=
-x x x x 从左到右变形成立，应满足的条件是（ ）
A.02>+x
B.02=+x
C.02<+x
D.02≠+x 2. 化简分式：
x
y y x 11-
-等于（ ）
A.1
B.
x
y
C.y x
D.x y y x -
3. 下列等式成立的是（ ）
A.22m n m n =
B.)0(≠++=a a m a n m n
C.)0(≠--=a a m a n m n
D.)0(≠=a ma
na
m n 4. 下面三个式子：c b a c b a --=+-，c b a c b a --=--，c
b a
c b a +-
=+-，其中正确的是（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5. 下列等式成立的是（ ）
A.c b b a c b b a -+=--+-
B.b a b a b a +=++22
C.x y xy y x xy 22-=--
D.c
b a
c b a --=-- 6. 不改变分式的值，化下列个分式中的分子、分母的系数为整数，其结果不正确的为（ ）
A.b a b a b a b a 232331213121-+=-+
B.y x y x y x y x 7208137.028.03.1--=--
C.y x y x y x y x 726487414321+-=+-
D.x y x x y x 5355.0321-=- 7. 把分式
)0,0(≠≠+y x y
x x
中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A.都扩大2倍 B.都缩小2倍 C.改变原来的4
1
D.不改变 8. 已知：
3
3
332
-=-x x x x 成立，则（ ） A.0>x B.0<x C.3≠x D.0≠x 且3≠x 二>填空题：
9. )(;2)(2123
3222
y x y x y xy x a a a a -=-++--=--； 10. 不改变分式的值，使分子、分母都不含负号：
（1）
______32=-x ；（2）______=--yz z ；（3）_____2=---ab ；（4）______5=---x
y
； 11. 在下列横线上填上“=”或“≠”号：
（1）a
c b a c b )
(__
+--+ ； （2）y x z y x z 22___---；（3）y x x y x x --=--1____1 ；（4）x y y x y x y x 3223_____2332---- 12. 当a 、b 满足条件 时，)
(552
b a a ab a --=-；
13. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数化为整数：
（1）_______________6
52332=+-y x y
x ；（2）_______________7.0203=+--t a t x ；
14. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母的最高次项系数化为正数的形式：
（1）_____________3
32
=---a a
；（2）____________8)2(32=---x x ； 三>解答题：
15. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数化为整数：
（1）y x y x 31413121-+ （2）x y y x 415.02.021-+ （3）x y y x 5221-- （4）x y y x 415.02.021-+
16. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母按某一字母的降幂排列，并使最高次项的系数是正数：
（1）3
211
x
x x --- （2）32211a a a a -+-- （3）x x x x x +-+--32487153 （4）)2)(1(45x x x ----
17. 已知：311=-b a ，求分式b
ab a b ab a ---+232的值：。