浙江省诸暨中学2018~2019学年高二数学下学期期中试题(平行班)及答案

诸暨中学2018学年第二学期高二期中考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知x e x f x
ln )(-=，则=')1(f （ ▲ ）
e A . 1.-e B 0.C 11
.-e
D
2.若复数i
i
z +-=11，则=2z （ ▲ ）
i A . i B -. 1.C 1.-D
3.将5个相同名额分给3个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ▲ ）
60.A 50.B 10.C 6.D
4.已知正数y x ,满足
44
1=+y
x ，则y x +的最小值是（ ▲ ） .A 9 .B 6 49.C .D 2
5
5.已知函数a x x x x f +--=2
3
)(，若曲线)(x f y =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）
)2711,.(-
-∞A ),1.(+∞B )1,275.(-C )1,27
11
.(-D 6.用数学归纳法证明不等式n n <-++++121
...31211,2(≥n 且)*N n ∈时，在证明从
k n =到1+=k n 时，左边增加的项数是（ ▲ ）
k A 2. 12.-k B 12.-k C k D .
7.从9...4,3,2,1这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ▲ ）
A ．60
B ．66
C ．72
D ．126
8.已知x
x
x f ln )(=
,则下列结论中错误的是（ ▲ ） .A )(x f 在),0(e 上单调递增 )4()2(.f f B = .C 当10<<<b a 时，a b b a < 2019
2020
2020log .2019>
D 9.已知x x x f cos 4
1)(2
+=
，)(x f '为)(x f 的导函数，则)(x f '的图像是（ ▲ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知定义在R 上的可导函数)(x f ，对于任意实数x ，都有2
)()(x x f x f =+-成立，且当),0(+∞∈x 时，都有x x f >')(成立，若a a f a f -+≥-2
1
)()1(，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）
A ．]21,(-∞
B ．),2
1
[+∞ C ．]2,(-∞
D ．),2[+∞
二、填空题（本大题7个小题，单空题每题3分，多空题每题4分，共25分）
11.杨辉在《详解九章算法》中给出了三角垛垛积公式：
)2)(1(6
1
2)1(...631++=++
+++n n n n n （其中n 为正整数）。

据此公式，则=++++++28211510631 ▲ ；=+++22210...21 ▲ .
12.已知复数),(R y x yi x z ∈+=满足x z =-1，那么z 在复平面上对应的点),(y x 的轨迹方程为 ▲ ；min z = ▲ ． 13.①经过原点且与曲线5
9
++=
x x y 相切的切线方程为 ▲ ； ②点P 是曲线x
e y =上任意一点，则点P 到直线x y =的最小距离为 ▲ ．
14.已知6
65522105)1()1(...)1()1()23()12(-+-++-+-+=--x a x a x a x a a x x ，则=5a
▲ ;=+++++65432165432a a a a a a ▲ ． 15.
已
知
等
差
数
列
}
{n a 中，若
9=a ，则有等式
),17(......*172121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-成立；类比上述性质，相应地：在等
比数列}{n b 中，若,18=b 则有等式 ▲ 成立． 16.将编号为7,6,5,4,3,2,1的七个小球放入编号为1,2,3,4,5,6,7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为 ▲ ． 17.设函数b ax x x x f --+
=1)(，若对任意的实数b a ,，总存在]2,2
1
[0∈x ，使得m x f ≥)(0，则实数m 的取值范围为 ▲ ．
三、解答题（本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.（本题满分12分）已知函数())0(33
>+-=a b ax x x f 的极大值为6，极小值为2．
求（1）实数b a ,的值；
（2）求)(x f 在]2,2[-上的单调区间.
19.（本题满分12分）现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？.求（1）甲、乙不能相邻；
（2）甲、乙相邻且都不站在两端； （3）甲、乙之间仅相隔1人；
（4) 按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列。

20.（本题满分13分）设正数数列}{n a 的前n 项和为n s ，且)1
(21n
n n a a s +=)(*N n ∈， 试求n a ，并用数学归纳法证明你的结论．
21. （本题满分13分）.已知n x
x )21(4-的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求n ；
（2）求第三项的二项式系数及展开式中x 的系数； （3）求展开式中系数最大的项。

22. （本题满分15）已知函数()R a x ax x x f ∈++=,ln 2
（1）若函数()x f 存在两个极值，
①求a 的取值范围；②证明：函数()x f 存在唯一零点.
（2）若存在实数,,21x x 使()(),0''21=+x f x f 且,2212x x x <<求()()21x f x f -的取值范围.
诸暨中学2018学年第二学期高二平行班数学答题卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 诸暨中学王屠军
二、填空题（本大题7个小题，单空题每题3分，多空题每题4分，共25分）
11. 84 ； 385
12.)21(122
≥-=x x y ； 2
1
13. 0=+y x 或025=+y x ； 2
2
14. 272； 3969
15. ),15(*
152121N n n b b b b b b n n ∈<⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-
16. 315 17. 4
1≤
m
三、简答题（本大题5个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 18.（本题满分12分）
解：（1）)0(33)(2
>-='a a x x f ，
由a x x f -<⇒>'0)(或a x >)(x f ∴在),(),,(+∞--∞a a 上单调递增；
由0)(<'x f a x a <
<-⇒)(x f ∴在),(a a -上单调递减，
即a x -=时，)(x f 取到极大值；a x =
时，)(x f 取到极小值。

⎪⎩⎪⎨⎧==-2)(6)(a f a f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+---2
36)(3b a a a a b a a a a ⇒⎩⎨
⎧==41b a （2）43)(3
+-=x x x f
题号 1 2 3 4 5 答案 B D D C C 题号 6 7 8 9 10 答案 A A D A A
则33)(2
-='x x f ；由10)(-<⇒>'x x f ，或1>x 又]2,2[-∈x
)(x f ∴在]1,2[--上单调递增；在]1,1[-上单调递减；在]2,1[上单调递增。

19.（本题满分12分）
解：（1）先将除甲、乙外三人全排列，有3
3A 种；再将甲、乙插入4个空档中的2个，有2
4A 种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为
721262
433=⨯=⋅=A A N ；
(2) 将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有
1
222A A ⋅种；再将其余3人全排列有33A 种，
243
31222=⋅⋅=A A A N (3) 363
31322=⋅⋅=A C A N
(4) 62
22411=⋅⋅=C C C N
20.（本题满分13分）
解：当1=n 时，由)1
(211
11a a a +=
，得11=a )0(>n a 当2=n 时，由)1
(212
221a a a a +=
+，得122-=a 当3=n 时，由)1
(213
3321a a a a a +=++，得233-=a ... ...
猜想：.1--=n n a n 下面用数学归纳法证明。

证明：（1）当1=n 时，已证；
（2）假设)1(≥=k k n 时，1--=k k a k 成立； 则1+=k n 时，k k k s s a -=++11 )1
(21)1(2111k
k k k a a a a +-+=
++ 即k k k k k a a a a k k k k 2)1
1
1()1(111-=--+---=+-=-
++ k k a k -+=∴+11也成立
由（1），（2)可得，对*
N n ∈，总有1--=n n a n 成立。

21.（本题满分13分） 解：（1）易得8=n ；
(2) 第三项的二项式系数为282
8=C
431681)21(r
r r r x C T -+-=，令14316=-r 得4=r x x C T 8
35
)21(4845=-=∴
展开式中含x 的系数为8
35。

（3）2
537x T =
22.
（本题满分15分）
（2）()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈-0,432ln 21x f x f。