北师大版九下数学2019河南中考数学复习专题四 特殊四边形的动态探究(共32张ppt)

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理由:连接OF,AF,CF.
∵AO=CO,∠CAB=30°,
∴∠ACO=∠CAB=30°,∴∠AOC=120°.
︵
∵F是 AC
的中点,∴∠AOF=∠FOC= 1 ∠AOC=60°,
2
∵AO=FO=CO,∴△AOF,△FOC均为等边三角形,
∴AO=AF=FC=CO,
∴四边形AOCF是菱形.
专题训练栏目ຫໍສະໝຸດ 引解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥ED. ∴∠FCG=∠EDG, ∵G是CD的中点,∴CG=DG, 在△FCG和△EDG中,
FCG EDG,
CG DG, CGF DGE,
∴△FCG≌△EDG(ASA). ∴FG=EG. 又∵CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形. (2)①3.5.②2.
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解析 (1)证明:∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠FDC=∠ECD. 又∵DF=t=CE,DC=CD, ∴△DFC≌△ECD(SAS). (2)①4.②2.
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解答题 1.(2017河南濮阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直 径的☉O与斜边AB交于点D,E为BC边的中点,连接DE. (1)求证:DE是☉O的切线; (2)填空:①若∠B=30°,AC=2 3,则DE= 3 ; ②当∠B= 45° 时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.
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专题四 特殊四边形的动态探究
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特殊四边形的动态探究题目,是近几年全国各地中考命题的 常见题,近三年成了有些省中考中的必考题.呈现类型均为解答题,分 值一般为9分或10分.内容涉及三角形的全等与相似,等腰三角 形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、正方形的 判定定理和性质以及圆的知识.
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AOPD底边AO上的高最大,即当OP⊥OA时面积最大; ②易得四边 形BPDO是平行四边形,当BP=BO时,根据菱形的判定定理可得四 边形BPDO是菱形,此时,由PO=BO可得△PBO是等边三角形,即可 得∠PBA的度数.
解析 (1)证明:∵D是AC的中点,且PC=PB,
∴DP∥AB,DP= 1 AB.
的四边形是什么特殊四边形?并说明理由.
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解析 (1)证明:连接OC, ∵CD是☉O的切线,OC为半径, ∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∴∠DCA+∠OCA = 90°. ∵PE⊥AB, ∴∠DEA=90°,∴∠OAC+∠APE=90°. ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. ∴∠DCA=∠APE. 又∵∠DPC=∠APE,∴∠DCA=∠DPC. ∴DC=DP. (2)四边形AOCF是菱形.
∵OE=OF,
∴∠OEF=∠OFE=30°,
cos∠OEF= EP
=
1 2
EF
= 3
,
OE OE 2
∴ EF = 3 .
OE
(2)当AD平分∠BAC时,四边形OEDF是菱形,
理由:∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,∠BAD=30°, ∵AD是☉O的直径, ∴∠DEA=90°, ∴∠EDA=60°, ∵OE=OD, ∴△OED是等边三角形,即ED=OE, ∴OE=OF=DE=DF, ∴四边形OEDF是菱形. (3)5 3 .
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3.(2018河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心, AC为半径作☉A,交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作AB的 平行线交☉A于点F,连接AF,BF,DF. (1)求证:△ABC≌△ABF; (2)填空: ①当∠CAB= 60 °时,四边形ADFE为菱形; ②在①的条件下,BC= 6 cm时,四边形ADFE的面积是6 3cm2.
2
∴∠CPD=∠PBO.
∵OB= 1 AB,∴DP=OB.
2
∴△CDP≌△POB.
(2)①4.②60°.
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变式训练1-1 (2018河南三门峡二模、开封二模)如图,在△ABC 中,AB=10 2 ,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC边上一动点,连接AD, 以AD为直径作☉O交边AB、AC于点E、F,连接OE、OF、DE、 DF、EF.
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思路导引 (1)已知一组对应边CP=PB,结合已知条件易得DP
是△ACB的中位线,得到DP∥AB,DP= 1 AB,根据SAS即可得证.
2
(2) ①由DP∥AB,DP= 1 AB=AO可得四边形AOPD是平行四边形,
2
由于AO是定值,要使四边形AOPD的面积最大,就要使四边形
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②当△ACE的形状为 等腰直角三角形 时,四边形ABCD为正
方形.
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解析 (1)∵ D︵F = B︵C ,∴∠BAC=∠DCE, ∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角,∴∠CDE=∠ABC,
在△CDE和△ABC中,
CDE ABC,
DCE BAC, AC CE,
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特殊四边形的动态探究题,一般分为两类:一是通过探究线段 长度或角的度数来判定特殊四边形,二是通过探究动点运动时间 来判定特殊四边形.解决此类题的关键是要熟练掌握几种特殊四 边形的判定定理及性质.在做题过程中要用到转化和建立数学模 型两种数学思想.一般的解题步骤为(1)证明三角形全等或四边形 为平行四边形;(2)根据全等三角形的性质或特殊平行四边形的性 质建立数学模型,列出方程进行求解;(3)检验所求线段的长度或 角的度数是否符合题意,确定结果.
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5.(2017河南检测)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC 的延长线交于点F,连接CE,DF. (1)求证:四边形CEDF是平行四边形; (2)①当AE= 3.5 cm时,四边形CEDF是矩形; ②当AE= 2 cm时,四边形CEDF是菱形. (直接写出答案,不需要说明理由)
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(1)求 EF 的值;
OE
(2)当AD运动到什么位置时,四边形OEDF是菱形,请说明理由;
(3)点D运动过程中,线段EF的最小值为 5 3 (直接写出结果).
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解析 (1)作OP⊥EF交EF于点P,则PE=PF= 1 EF,
2
∵∠BAC=60°,
∴∠EOF=120°,
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类型二 利用动点运动时间判定特殊四边形
例2 (2017河南商丘名校统一模拟联考)如图,☉O的半径为4 cm, 正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形,点P,Q同时分别从A,D 两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE, PE,BQ,设运动时间为t(s). (1)求证:四边形PEQB为平行四边形; (2)填空: ①当t= 2 s时,四边形PBQE为菱形; ②当t= 0或4 s时,四边形PBQE为矩形.
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解析 (1)证明:∵正六边形ABCDEF内接于☉O, ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F, ∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终 点F,C运动,运动时间为t(s), ∴AP=DQ=t,则PF=QC=4-t,
解析 (1)证明:∵EF∥AB, ∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB, 易知∠E=∠EFA,∴∠FAB=∠CAB, 在△ABC和△ABF中,
AC AF,
CAB FAB, ∴△ABC≌△ABF(SAS).
AB AB,
(2)①60°.②6.
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类型一 利用线段长度或角的度数判定特殊四边形
例1 如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一 个动点,连接BP并延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接 PD,PO. (1)求证:△CDP≌△POB; (2)填空: ①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 4 ; ②连接OD,当∠PBA的度数为 60° 时,四边形BPDO是菱形.
4.(2018河南周口沈丘一模)如图,在△ACE中,AC=CE,☉O经过点
︵
︵
︵
A,C,且与边AE,CE分别交于点D,F,点B是 AC上一点,且 DF = BC,连
接AB,BC,CD.
(1)求证:△CDE≌△ABC;
(2)填空:若AC为☉O的直径,则
①当△ACE的形状为 等边三角形 时,四边形OCFD为菱形;
此时四边形PBQE为矩形, 当t=4时,∠ABP=∠APB=30°, ∴∠BPE=120°-30°=90°, 此时四边形PBQE为矩形. 综上可知,当t=0或4时,四边形PBQE是矩形.
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变式训练2-1 (2017河南中招标准模拟(一))如图,在▱ABCD中, ∠B=60°,AB=4,AD=6,动点F从点D出发,以1个单位每秒的速度从 D向A运动,同时点E从点C出发,以相同速度沿BC方向在BC的延 长线上运动,设运动时间为t.连接DE、CF. (1)证明:△DFC≌△ECD; (2)探究:①当t= 4 s,四边形DFCE是菱形; ②当t= 2 s,四边形DFCE是矩形.
AB DE,
在△ABP和△DEQ中, A D,
AP DQ,
∴△ABP≌△DEQ(SAS). ∴BP=EQ. 同理可证PE=QB,
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∴四边形PEQB是平行四边形. (2)①2. 详解:当四边形PBQE为菱形时,PB=PE=EQ=QB, ∴△ABP≌△DEQ≌△FEP≌△CBQ. ∴AP=PF=DQ=QC, 即t=4-t,得t=2. ∴当t=2时,四边形PBQE是菱形. ②0或4. 详解:当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°, ∴∠BPE=120°-30°=90°,
解析 (1)证明:连接OD.
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∵AC是直径,∴∠ADC=90°. ∴∠CDB=90°. ∵E为BC边的中点,
∴DE为Rt△DCB斜边BC上的中线.∴DE=CE= 1 BC.∴∠DCE=∠
2
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CDE. ∵OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC.∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=9 0°,∴∠ODE=90°,∴DE是☉O的切线. (2)①3.②45°.
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2.(2017河南省实验中学二模)如图,AB是☉O的直径,点P是弦AC
上一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交
︵
AC 于点F,交过点C的切线于点D.
(1)求证:DC=DP; (2)若∠CAB=30°,当F是 A︵C 的中点时,判断以A、O、C、F为顶点
∴△CDE≌△ABC(AAS).
(2)①等边三角形.②等腰直角三角形.如图,
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①连接AF, ∵AC是直径,∴OA=OC,∠ADC=90°=∠AFC,∵四边形OCFD是菱 形,∴CF=OC=OA, ∴AC=2CF, 又∵∠AFC=90°,
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∴∠ACE=60°, ∵AC=CE, ∴△ACE是等边三角形. ②∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ACD=45 °, ∵AC=CE,CD⊥AE,∴∠DCE=∠ACD=45°,∴∠ACE=90°,∵AC= CE, ∴△ACE是等腰直角三角形.