概率论与数理统计超全公式总结

Cov(aX , bY ) = abCo若v(UX~,Yχ)2(n1),
F 分布 正态总体条件下 样本均值的分布：
V ~ χ 2 (n2 ),
则 U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
σ2 X ~ N(µ, )
n
X − µ ~ N (0,1) σ/ n
样本方差的分布：
(n −1)S 2 σ2
k =1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} 联合密度与边缘密度
+∞
∫ fX (x) = −∞ f (x, y)dy
+∞
∫ fY (y) = −∞ f (x, y)dx
P(X =k)=Cnkpk(1−p)n−k，(k=0,1,...n, )
泊松分布——X~P(λ)
P( X = k) = λk e−λ， (k = 0,1,...) k!
概率密度函数
+∞
∫ f (x)dx = 1 −∞
怎样计算概率 P(a ≤ X ≤ b)
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫a f (x)dx
均匀分布 X~U(a,b)
1
f (x) =
(a ≤ x ≤ b)
b−a
n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
⎜⎛ x ± zα / 2 ⎝
σ ⎟⎞ n⎠
(3) H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 右边检验
单正态总体均值的 Z 检验
小样本、正态总体、标 准差σ已知
（大样本情形σ未知时用SZ代=替X）− µ 0 σ/ n
拒绝域的代数表示
∑ 若Y ~ N (µ,σ 2 ),
( ) 则 1
σ2
n i =1
Yi − µ
2
~ χ 2 (n)
t 分布
X
若X ~ N (0,1), Y ~ χ 2 (n),则
~ t(n)
Y /n
Cov( X + Y , Z ) = Cov( X , Z ) + Cov(Y , Z )
独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立
小样本、正态总体、标准差σ未知
双边检验
Z ≥ Zα /2
左边检验
⎛ ⎜
x
±
tα
/
2
(n
−
1)
⎝
s⎞ ⎟
n⎠
右边检验
Z ≥ Zα
Z ≤ −Zα
比例——特殊的均值的 Z Fra bibliotek验tα /2 (n −1) —自由度为n −1的t分布的分位点
( , ) (n−1)S 2 (n−1)S 2
χα2 / 2
χ12−α / 2
P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a)
∫ D(X ) =
(+∞
x
−
E(X
))2
⋅
f
( x)dx
−∞
常用计算式 D( X ) = E( X 2 ) − [E( X )] 2
常用公式
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2E{( X − E( X ))(Y − E(Y ))}
≤
χ2 1−α / 2
左边检验
χ2
≤
χ2 1−α / 2
右边检验
χ2
≥
χ2 α /2
均值的区间估计——大样本结果
⎛ ⎜
x
±
zα
/2
⎝
σ⎞ ⎟
n⎠
x — 样本均值 σ — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知
( ) ⎛
⎜ ⎜
� 正态总体小样本、方差未知—— t 检验
� 单正态总体方差的检验
� 正态总体、均值未知——卡方检验
单正态总体均值的显著性检验
统计假设的形式
⎛
⎜ ⎜
p
±
zα
/
2
⎝
p(1
−
p)
⎞ ⎟
n ⎟⎠
p — 样本比例
(1) H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 双边检验 (2) H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 左边检验
当X与Y独立时, E(XY ) = E(X )E(Y )
E(X ) = µ, D(X ) = σ 2 标准正态分布的概率计算 Φ(a) = 1− Φ(−a)
标准正态分布的概率计算公式
P(Z ≤ a) = P(Z < a) = Φ(a)
P(Z ≥ a) = P(Z > a) = 1− Φ(a)
方差 定义式
−
µ
)
σ
P( X
≥
a)
=
P( X
>
a)
a =1− Φ(
−µ )
σ
P(a
≤
X
≤
b)
=
b− Φ(
µ )−
a− Φ(
µ
)
σ
σ
第五章
卡方分布
n
∑ 若X ~ N (0,1)，则 X i2 ~ χ 2 (n)
i =1
Cov(X,Y) ρXY = D(X)D(Y)
协方差的性质
Cov( X , X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2 = D( X )
k =−∞
∫ 连续型随机变量，数学期望定义
+∞
E( X ) = x ⋅ f (x)dx
−∞
� E(a)=a，其中 a 为常数
� E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、b 为常数
� E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y 为任意随机变量
随机变量 g(X)的数学期望 常用公式
∑ E(g(X )) = g(xk ) pk
3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则
拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
不可避免的两类错误
第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设
第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设
单个正态总体的显著性检验
� 单正态总体均值的检验
� 大样本情形——Z 检验
� 正态总体小样本、方差已知——Z 检验
Cov( X ,Y ) = E(XY ) − E( X )E(Y )
P(−a ≤ Z ≤ a) = Φ(a) − Φ(−a) = 2Φ(a) −1
一般正态分布的概率计算
X ~ N (µ,σ 2 ) ⇔ Z = X − µ ~ N (0,1) σ
一般正态分布的概率计算公式
P(
X
≤
a)
=
P(
X
<
a)
=
a Φ(
k
∑∑ E(X)= xipij
ij
E( X ) = ∫ ∫ xf (x, y)dxdy
不相关不一定独立 第四章
正态分布 X ~ N (µ,σ 2 )
∑∑ E(XY) = xi yj pij
ij
f (x) =
1
e−
(
x−µ ) 2σ 2
2
2π σ
E( X + Y ) = E(X ) + E(Y )
E( XY ) = ∫ ∫ xyf (x, y)dxdy
x1 − x2
± zα / 2
⎝
σ
2 1
n1
+
σ
2 2
n2
⎞ ⎟ ⎟⎠
两个正态总体方差比的置信区间
⎜⎜⎝⎛
Fα
/2
S12 / S22 (n1 −1, n2
−1)
,
Fα
/2
S12
/
S
2 2
(n1 −1, n2
−1)
⎟⎟⎠⎞
第七章
假设检验的步骤
1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1
2 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值
F '(x) = f (x)
概率论与数理统计公式总结
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当 A、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
分布函数
∑ F (x) = P( X ≤ x) = P( X = k) 对离散型随机变量
k≤x
x
∫ 对连续型随机变量
F (x) = P(X ≤ x) = f (t)dt −∞
指数分布 X~Exp (θ)
f (x) = 1 e−x/θ (x ≥ 0) θ
离散型随机变量的独立性
P{X = i,Y = j} = P{X = i}P{Y = j}
连续型随机变量的独立性
f (x, y) = f X (x) fY ( y)
第三章
数学期望 离散型随机变量，数学期望定义
+∞
∑ E(X) = xk ⋅ Pk
~
χ 2 (n −1)
X − µ ~ t(n −1) s/ n
两个正态总体的方差之比
S12
σ
2 1
/ S22
/
σ
2 2
~
F (n1 −1,
n2 −1)
第六章 点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计
n
Π Π n
L = f (xi ;θ )
i =1
L = p(xi ;θ )
i =1
似然函数
分布函数与密度函数的重要关系：
P( A | B) = P(AB) P(B)
概率的乘法公式
P( AB) = P(B)P(A | B) = P( A)P(B | A)
x
∫ F (x) = P(X ≤ x) = f (t)dt −∞
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
全概率公式：从原因计算结果
n
∑ P( A) = P(Bk )P( A | Bk )
S 2 — 样本方差
χ2 α /2
— 卡方分布的分位点
Z=
p − p0
p0 — —总体比例
p0 (1− p0 ) / n p — —样本比例
单正态总体均值的 t 检验
t = X − µ0 S/ n
单正态总体方差的卡方检验
χ 2 = (n −1)S 2
σ
2 0
拒绝域
双边检验
χ2
≥
χα2 / 2或χ 2
当 X、Y 相互独立时：
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y )
方差的性质 D(a)=0，其中 a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数 当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数
E{[X − E(X )][Y − E(Y )]}= E(XY ) − E(X )E(Y )
k =1
Bayes 公式：从结果找原因
联合密度函数 f (x, y) 联合分布函数 F (x, y)
f (x, y) ≥ 0
+∞ +∞
∫ ∫ f (x, y)dxdy = 1
−∞0 ≤−∞F (x, y) ≤ 1
P(Bk | A) =
P(Bi )P( A | Bi )
n
∑ P(Bk )P( A | Bk )