沪科版七年级数学下册：8.4--提公因式法-(共23张PPT)
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当多项式的某一项和公 因式相同时，提取公因
式后剩余的项是1.
例2 .把2(a—b)2—a+b 分解因式.
解： 原式=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)〔 2(a-b)-1 〕 =(a-b)(2a-2b-1)
问：（a-b)2 - (b-a)3能因式分解吗？
原式=(a-b)2+(a-b)3 或者原式=(b-a)2-(b-a)3
(5) m n _—__(m n) (6) s2 t 2 _—__(s2 t 2 )
括号前面是“+”号,括到括号里 的各项都不变号;括号前面是“—” 号,括到括号里的各项都变号.
(1)2a b (2a b)2
(2)(x 3y)2 2x 6 y
(3)x y 6b( y x)
点例透视 运用新知
例1.把下列各式分解因式：
（1）2x3+6x2 解 ： 原式= 2x2(x+3) （2）3pq3+15p3q 解 ： 原式= 3pq(q2+5p2 ) （3）4x2-8ax+2x 解 ： 原式=2x(2x-4a+1) （4）-3ab+6abx-9aby 解 ： 原式=-3ab(1-2x+3y)
a
（2） 5x2 y3 10x2 y 5x2 y2 5x2 y
（3） m 2 n mn 2
mn
（4） 3xx y2 5y(x y) x - y
下列各多项式中的各项有没有共同的
因式？
a c+ b c
c
3 x2 +x
x
30 m b2 + 5n b
5b
3x+6
3
a2 b – 2a b2 + ab
练习 ：把下列各式分解因式.
7x2 – 21x
8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
7(x–3)–x(3–x) 7x 3y2 –42x2y 3
比一比、看谁会订正
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)
分解因式前有几项，提取
应为: 原式=x(2x +3x2+1) 公因式后括号内仍为几项.
①确定应提取的公因式: ②用公因式去除这个多项式,把所得的商 作为另一个因式:
③把多项式写成这两个因式的积的形式.
下面的解法对吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab =ab•8a2 b-ab • 12 b2 c+ab • 1 =ab(8a2 b-12 b2 c+1) =ab(8a2 b- 12 b2 c)
因式分解
• 讨论 640能被哪些数整除？说说你是怎样想的。
640=64×10 =8×8×2×5 =2×2×2×2×2×2×2×5
探究
请把下列多项式写成整式的乘积 的形式:
(1)x2+x=__x_(_x_+_1_)____;
(2)x2 – 1=_(_x_+_1_)(_x_-1_)__ .
上面我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式,像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解,也叫做把这个多项式 分解因式.
练一练：
多项式
公因式 因式分解结果
2a2b 4abc 2ab 2ab( a 2c ) 5ab2c 15b3c2 5b2c 5b2c( a 3bc )
4a3b2 10a2b3c 2a2b2 2a2b2 (2a 5bc)
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.
=(a-b)2(1+a-b)
=(b-a)2〔1-(b-a)〕
=(b-a)2(1-b+a)
做一做:
在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成 立:
(1)2 a __—_(a 2) (2) y x _—__(x y)
(3)b a _+__(a b) (4)(b a)2 _+__(a b)2
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法互为逆运算。
你能把12、15因数分解吗？
12=2 × 2×3； 15= 3 × 5
有公因数是 3
12、15这 两数有公 因数吗？
提公因式法
多项式中ma+mb有公共的
因式吗？如果有，请你指出来！
有公因式是 m
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式.
abΒιβλιοθήκη 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
a-3
正确找出多项式各项公因式的关 键是什么？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数.
字母： 2、字母取多项式各项中都含有的 相同的字母.
指数： 3、相同字母的指数取各项中最小 的一个，即字母最低次幂.
4、多项式中的公因式可以是单项式， 也可以是多项式.
30 m b2 + 5n b
公因式与多项式的各项 有什么关系？怎样确定多项 式的公因式？
提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式，这 种分解因式的方法叫做提取公因式法.
指出下列多项式中各项的公因式：
（1） ax ay
（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)
公因式提取后各项不再含
应为: 原式=a2c(1 -6a)
有公因式.
（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 - 4s + 6) 公因式包括系数和字母
应为: 原式= -2s(s2-2s+3)
（4）a2b + 6ab2 - 8a = ab(a+6b) - 8a
应为: 原式= a (ab+6b2-8) 公因式是每一项都含有的
【反思】
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在 提取“－”号时,余下的各项都变号.
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
①提取不尽 ②漏项 ③疏忽变号 ④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式. (3).提取公因式的一般步骤:
(4)ab(x y)2 b( y x)3
【反思】
提取公因式时，有时需要将因式经过 符号变换、字母位置重新排列或添括 号后，才能看出公因式.
作业布置
• 习题８.４第一题
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技 的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击 重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深 一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人 贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦 的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的 弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑 可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂 不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去 的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头 他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站 想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过 今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避 面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了 间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自 把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。 的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶， 出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即 难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
式后剩余的项是1.
例2 .把2(a—b)2—a+b 分解因式.
解： 原式=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)〔 2(a-b)-1 〕 =(a-b)(2a-2b-1)
问：（a-b)2 - (b-a)3能因式分解吗？
原式=(a-b)2+(a-b)3 或者原式=(b-a)2-(b-a)3
(5) m n _—__(m n) (6) s2 t 2 _—__(s2 t 2 )
括号前面是“+”号,括到括号里 的各项都不变号;括号前面是“—” 号,括到括号里的各项都变号.
(1)2a b (2a b)2
(2)(x 3y)2 2x 6 y
(3)x y 6b( y x)
点例透视 运用新知
例1.把下列各式分解因式：
（1）2x3+6x2 解 ： 原式= 2x2(x+3) （2）3pq3+15p3q 解 ： 原式= 3pq(q2+5p2 ) （3）4x2-8ax+2x 解 ： 原式=2x(2x-4a+1) （4）-3ab+6abx-9aby 解 ： 原式=-3ab(1-2x+3y)
a
（2） 5x2 y3 10x2 y 5x2 y2 5x2 y
（3） m 2 n mn 2
mn
（4） 3xx y2 5y(x y) x - y
下列各多项式中的各项有没有共同的
因式？
a c+ b c
c
3 x2 +x
x
30 m b2 + 5n b
5b
3x+6
3
a2 b – 2a b2 + ab
练习 ：把下列各式分解因式.
7x2 – 21x
8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
7(x–3)–x(3–x) 7x 3y2 –42x2y 3
比一比、看谁会订正
下列的分解因式对吗？如不对，请指出原因:
（1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2)
分解因式前有几项，提取
应为: 原式=x(2x +3x2+1) 公因式后括号内仍为几项.
①确定应提取的公因式: ②用公因式去除这个多项式,把所得的商 作为另一个因式:
③把多项式写成这两个因式的积的形式.
下面的解法对吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解：
8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab =ab•8a2 b-ab • 12 b2 c+ab • 1 =ab(8a2 b-12 b2 c+1) =ab(8a2 b- 12 b2 c)
因式分解
• 讨论 640能被哪些数整除？说说你是怎样想的。
640=64×10 =8×8×2×5 =2×2×2×2×2×2×2×5
探究
请把下列多项式写成整式的乘积 的形式:
(1)x2+x=__x_(_x_+_1_)____;
(2)x2 – 1=_(_x_+_1_)(_x_-1_)__ .
上面我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式,像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解,也叫做把这个多项式 分解因式.
练一练：
多项式
公因式 因式分解结果
2a2b 4abc 2ab 2ab( a 2c ) 5ab2c 15b3c2 5b2c 5b2c( a 3bc )
4a3b2 10a2b3c 2a2b2 2a2b2 (2a 5bc)
应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数 与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积.
=(a-b)2(1+a-b)
=(b-a)2〔1-(b-a)〕
=(b-a)2(1-b+a)
做一做:
在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成 立:
(1)2 a __—_(a 2) (2) y x _—__(x y)
(3)b a _+__(a b) (4)(b a)2 _+__(a b)2
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法互为逆运算。
你能把12、15因数分解吗？
12=2 × 2×3； 15= 3 × 5
有公因数是 3
12、15这 两数有公 因数吗？
提公因式法
多项式中ma+mb有公共的
因式吗？如果有，请你指出来！
有公因式是 m
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式.
abΒιβλιοθήκη 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
a-3
正确找出多项式各项公因式的关 键是什么？
系数：1、公因式的系数是多项式各项系数 的最大公约数.
字母： 2、字母取多项式各项中都含有的 相同的字母.
指数： 3、相同字母的指数取各项中最小 的一个，即字母最低次幂.
4、多项式中的公因式可以是单项式， 也可以是多项式.
30 m b2 + 5n b
公因式与多项式的各项 有什么关系？怎样确定多项 式的公因式？
提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘积的形式，这 种分解因式的方法叫做提取公因式法.
指出下列多项式中各项的公因式：
（1） ax ay
（2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac)
公因式提取后各项不再含
应为: 原式=a2c(1 -6a)
有公因式.
（3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 - 4s + 6) 公因式包括系数和字母
应为: 原式= -2s(s2-2s+3)
（4）a2b + 6ab2 - 8a = ab(a+6b) - 8a
应为: 原式= a (ab+6b2-8) 公因式是每一项都含有的
【反思】
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在 提取“－”号时,余下的各项都变号.
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
①提取不尽 ②漏项 ③疏忽变号 ④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式. (3).提取公因式的一般步骤:
(4)ab(x y)2 b( y x)3
【反思】
提取公因式时，有时需要将因式经过 符号变换、字母位置重新排列或添括 号后，才能看出公因式.
作业布置
• 习题８.４第一题
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技 的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击 重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深 一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人 贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦 的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的 弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑 可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂 不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去 的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头 他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站 想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过 今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避 面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了 间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自 把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。 的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶， 出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即 难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。