高中数学2.2 二项分布及其应用

P(B
|
A)
n( AB) n( A)
A13A12 A13A14
6 12
1 2
.
例2. 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字, 每位数字 都可从 0~9 中任选一个. 某人在银行自动提款机上取 钱时, 忘记了密码的最后一位数字, 求:
(1) 任意按最后一位数字, 不超过 2 次就按对的概 率;
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数, 不超过 2 次就按对的概率.
2.1 离散型随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4 正态分布
第二章 小结
2.2.1 条件概率
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问题1. 买摇奖的体育彩票时, 是否是先买的比后 买的中奖率高? 如果是某商店促销的括括奖又如何呢?
要回答这个问题, 我们不妨把奖券数设少一点. 设有三张奖券中只有一张能中奖, 由三名同学无放回 地抽取, 看看他们中奖的概率.
【课时小结】
2. 条件概率的计算公式
P(B|
A)
P( AB) P( A)
n( AB) n( A)
,
0≤P(B|A)≤1.
如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)P(B|A)+P(C|A).
习题 2.2 A组
第 2、4 题.
习题 2.2 A 组
2. 一个箱子中装有 2n 个白球和 (2n-1) 个黑球, 一次摸出 n 个球, 求:
260
3 10
.
例 1. 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题. 如
果不放回地依次抽取 2 道题, 求:
(1) 第 1 次抽到理科题的概率;
(2) 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;
(3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理
科题的概率.
解: (3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第二次
则在第一次抽出次品的条件下第二次抽出正品的
概率为
19
P(B|
A)
P( AB) P( A)
396 1
95 99
.
20
【课时小结】
1. 条件概率 在已知事件 A 已经发生的条件下, 事件
B 发生的概率称为条件概率, 记作 P(B|A).
P(B|A) 不等同于 P(AB). P(AB) 描述的是事件 A、B 同时发生的可 能性. P(B|A) 描述的是在事件 A 已经发生的情况 下, 事件 B 发生的可能性.
P(B|
A)
P( AB) P( A)
n( AB) n( A)
为在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率, P(B/A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.
条件概率具有概率的性质, 0≤P(B|A)≤1
如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)P(B|A)+P(C|A).
(1) 摸到的都是白球的概率; (2) 在已知它们的颜色相同的情况下, 该颜色是白 色的概率.
解: (1) 设 “摸到的都是白球” 为事件 A, 则
n(A) C2nn, n(Ω) C4nn-1. 所以, 摸出 n 个球都是白球的概率为
P(
A)
n( A) n(Ω)
C2nn C4nn-1
.
习题 2.2 A 组
(1) 第 1 次抽到理科题的概率; (2) 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理 科题的概率.
解: (2) 不仅第 1 次抽到理科题, 且第二次也抽到
理科题.
设第 2 次抽到理科题为事件 B, 则
P(
AB)
n( AB) n()
A13A12 A52
解: 设 “第 i 次按对密码” 为事件 Ai (i1, 2), 则 “不超过 2 次就按对密码” 为事件 AA1 (A1A2).
而且事件 A1 与事件 A1A2 互斥. (2) 可理解为在按偶数的条件下不超过 2 次按对
密码. 设 “按偶数” 为事件 B, 即
例2. 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字, 每位数字 都可从 0~9 中任选一个. 某人在银行自动提款机上取 钱时, 忘记了密码的最后一位数字, 求:
设三名同学为 1, 2, 3, 奖券为 X1, X2, Y, Y 为那 张中奖奖券. 列出他们抽奖的全部结果如下:
123 123 123 123 123 123
X1 X2 Y X1 Y X2 X2 X1 Y X2 Y X1 Y X1 X2 Y X2 X1
不管先后,
中奖的概率都是
2 6
1 3
.
问题1. 买摇奖的体育彩票时, 是否是先买的比后 买的中奖率高? 如果是某商店促销的括括奖又如何呢?
解: (1) 只要求第 1 次抽到理科题, 第二次抽到什
么题没可以.
设第 1 次抽到理科题为事件 A, 则
P(
A)
n( A) n()
A13A14 A52
12 20
3 5
.
例 1. 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题. 如
果不放回地依次抽取 2 道题, 求:
(1) 第 1 次抽到理科题的概率;
问题2. P(AB)与P(B|A)各表示什么意思? 它们有 什么关系?
(1) P(AB) 表示事件 A 发生且事件 B 发生的概率. (2) P(B|A) 表示事件 A 已知经发生的情况下事件 B 发生的概率. (1)描述的是事件 A、B 同时发生的可能性. (2)描述的是事件 A 已经发生的情况下, 事件 B 发生的可能性.
其他两位中奖的概率都是
2 4
1 2
.
已知第一位中奖与否, 影响了另外两位中奖的概率.
在三位同学抽奖的问题中, 我们设第一位没有抽 到奖券为事件 A, 第三位抽到奖券为事件 B, 在 A 发 生的条件下 B 发生的概率用 P(B|A) 表示.
在 A 发生的条件下 B 发生等价于 A 和 B 同时发生, 其基本事件个数记为 n(AB);
解: 设 “第 i 次按对密码” 为事件 Ai (i1, 2), 则 “不超过 2 次就按对密码” 为事件 AA1 (A1A2).
而且事件 A1 与事件 A1A2 互斥.
(1) 得 P(A) P(A1)+ P(A1A2)
1 10
+
190
1 9
1 5
.
例2. 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字, 每位数字 都可从 0~9 中任选一个. 某人在银行自动提款机上取 钱时, 忘记了密码的最后一位数字, 求:
(1) 任意按最后一位数字, 不超过 2 次就按对的概 率;
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数, 不超过 2 次就按对的概率.
解: 设 “第 i 次按对密码” 为事件 Ai (i1, 2), 则 “不超过 2 次就按对密码” 为事件 AA1 (A1A2).
而且事件 A1 与事件 A1A2 互斥. (2) 最后位是偶数, 即在 5 个偶数中选择按键, 有
(而2)且可事理件解A为151+在与54按事14偶件数A1的A2条互件斥下. 不超过 2 次按对 密码. 设 “按偶52 .数” 为事件 B, 即
练习: (课本54页) 第 1、2 题.
练习: (课本54页)
1. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地
抽取 2 次, 每次抽 1 张, 已知第一次抽到 A, 求第二
再设 “摸到的 n 个球颜色相同” 为事件 CA∪B,
则
P(C)P(A)+P(B)
Cn2n C4nn-1
+
Cn2n-1 C4nn-1
C2nn + C2nn-1 C4nn-1
.
习题 2.2 A 组
2. 一个箱子中装有 2n 个白球和 (2n-1) 个黑球, 一次摸出 n 个球, 求:
(1) 摸到的都是白球的概率; 色的解(概因则所2:)率为在以在(2.摸摸)已P又出出(知nC设(的球AB它))球“颜们PC既摸色的(2nA是到n相颜)-1同的,同色CC色都的4n相Pn2nCn-(且是情n21同Bn.是黑)况的白球下CC情42nn色”是nn况--11的白为下. 概球事, 率的件该就概颜B是率,色P为则是(A白), 则 P再(C设P)(“AP(|C摸A))到+PP的(PB((CC)nA)个)CC球4nnn2Cn-颜1n2nC+C色+4nCCnn2C相n-4n2n1nnn2n--同-111”CC2n为n2Cnn+4nC事+nC2-Cnn1件2nn2nn--1C1.A. ∪B,
要回答这个问题, 我们不妨把奖券数设少一点. 设有三张奖券中只有一张能中奖, 由三名同学无放回 地抽取, 看看他们中奖的概率.
问: 如果已经知道第一位同学没有抽到中奖奖券, 其他两位同学的中奖率又如何呢?
去掉第一位同学中奖的抽奖结果:
123 123 123 123 123 123
X1 X2 Y X1 Y X2 X2 X1 Y X2 Y X1 Y X1 X2 Y X2 X1
在 A 发生的条件下的基本事件总数为 n(A).
由古典概型得
n( AB)
P(B|
A)
n( AB) n( A)
n() n( A)
( n() 为全体
基本事件个数)
n()
P( AB) P( A)
.
即 可以通过事件A和事件AB的概率来表示P(B|A).
一般地, 设 A, B 为两个事件, 且 P(A)>0, 称
(2) 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;
(3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理
科题的概率.
解: (1) 也可理解为:
只要求第 1 次抽到理科题, 与第二次无关,
在 5 道题中抽 1 道题, 恰抽到理科题的概率.
P( A)
A13 A15
3 5
.
例 1. 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题. 如 果不放回地依次抽取 2 道题, 求:
抽到理科题是条件概率, 其概率为
P(B
|
A)
P( AB) P( A)
.
由
(1)
得
P(
A) 3
3 5
,
由
(2)
得
P( AB)
3 10
,
P(B
|
A)
10 3
1 2
.
5
例 1. 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题. 如
果不放回地依次抽取 2 道题, 求:
(1) 第 1 次抽到理科题的概率;
)
43 451
531.
2. 100件产品中有 5 件次品, 不放回地抽取 2 次, 每次抽 1 件, 已知第一次抽出的是次品, 求第二次抽 出正品的概率.
解: 设 “第一次抽出次品” 为事件 A, 则
P(A)
5 100
1 20
.
设 “第二次抽出正品” 为事件 B, 则

P(AB)
210
95 99
31996.
P(B| A) PP((AAB))≥P(AB), 当且仅当事件 A 是必然事件时等号成立.
例 1. 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题. 如 果不放回地依次抽取 2 道题, 求:
(1) 第 1 次抽到理科题的概率; (2) 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率; (3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理 科题的概率.
(2) 第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;
(3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第 2 次抽到理
科题的概率.
解: (3) 在第 1 次抽到理科题的条件下, 第二次
抽到理科题是条件概率, 其概率为
P( B
|
A)
P( AB) P( A)
n( AB) n( A)
,
∴ 条件概率可以直接用基本事件数计算.
(1) 任意按最后一位数字, 不超过 2 次就按对的概 率;
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数, 不超过 2 次就按对的概率.
解: P设(A“|B第) iP次(A按1 对A1密A2码|B”) 为事件 Ai (i1, 2), 则 “不超过 2 P次(A就1|按B)对+ 密P(码A1”A2 |为B)事件 AA1 (A1A2).
次也抽到 A 的概率.
解: 52 张扑克牌中有 4 张 A, 设 “第 i 次抽到A”
为事件 Xi (i1, 2). 则在第一次抽到 A 的条件下, 第二次也抽到 A
的概率为 P(X2|X1)
P( X1 X 2 ) P( X1)
542
3 51
4
531.
52
或
P(
X
2
|
X1
)
n( X1 X 2 n( X1)
P(
A)
P( A1) +
P(
A1 A2 )
1 5
+
4 5
1 4
2 5
.
例2. 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字, 每位数字 都可从 0~9 中任选一个. 某人在银行自动提款机上取 钱时, 忘记了密码的最后一位数字, 求:
(1) 任意按最后一位数字, 不超过 2 次就按对的概 率;
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数, 不超过 2 次就按对的概率.
2. 一个箱子中装有 2n 个白球和 (2n-1) 个黑球, 一次摸出 n 个球, 求:
(1) 摸到的都是白球的概率; (2) 在已知它们的颜色相同的情况下, 该颜色是白 色的概率.
解: (2) 又设 “摸到的都是黑球” 为事件 B, 则
n(B) C2nn-1,
P(
B)
C2nn-1 C4nn-1
.