(最新整理)求该环形线圈的电感

l EdltSBdS
上式称为电磁感应定律，它表明时变磁场可以产生
时变电场。
2013年4月9日星期二
电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
2013年4月9日星期二
电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
根据旋度定理，由上式得
S(E)B tdS0
该式对于任一回路面积 S 均成立，因此，其 被积函数一定为零，即
EB t
M214π l2
dl1dl2 l1 r2r1
M12
4π
l1
dl2dl1 l2 r1r2
考虑到 d l1 d l2 d l2d l1 , r ，2 由r 1 上 r 两1 式r 2可见
M12M21
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
磁通密度B通过某一表面S的通量称为磁通：
同理定义
L22
22 I2
M 21
21 I1
式中L22 称为回路 l2的自感，M21称为回路 l1对 l2
的互感。
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得
1L1I11M 1I22 2M 2I11L2I22
可以证明，任意两个回路之间的互感公式为（见后面推导）
内导体中的磁通密度 Bi 为
Bi
0
2πr
Iπr2 πa2
0Ir
2πa2
该磁场形成的磁通称为内磁通，以 i 表示。那么穿过
宽度为dr的单位长度截面的内磁通
d
为
i
di 2π0aI2rdr
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
a O b I
c
I
I
di 2π0aI2rdr 该部分磁通仅与内导体
L0rN 2A(2 R ) [H ]
第六章：电磁感应
求双线传输线长度为l的自感。导线半径为a，导线间距离D>>a,
如图所示
y
B0H 1H 2ey20I1 xD1 x
x
dx
x
D
外自感为
解：由 H dl I
L I0 0llnD a a 0llnD a
得二导线在x处产生的磁场分别为
内自感为
H 1ey2Ix, H2ey2D Ix
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
同轴线单位长度的电感定义为
L1
I
式中，I 为同轴线中的电流； 是单位长度内与电流
I 交链的磁通链。
该磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通， 内、外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。
由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。
内外导体之间的磁通密度 Bo 为
N匝线圈
m
db
BdS
S 0a
0rNIddz 2
m02rNIdln(ba)
第六章：电磁感应
Nm02rN 2Idln(ba) L I 02rN2dln(ba) [H]
如果圆环的半径很大，可得如下近似结果
a b: Nl N(2R)
B 0rNlI
R : 圆环平均半径
N(0rNlI)A
A : 圆环横截面的面积
S
由此可得
LN(a2)Bz
I
I
考虑到
Bz 0rINl
结果可得
L I 0r(a2)Nl2l
第六章：电磁感应
例题2 设圆环线圈的横截面为矩形，内半径为 a ，外半径为 b ， 高度为 d ，求该环形线圈的电感。
匝数为 N 的环形线圈所产生的磁场为
a: B 0
a b:
B ˆB
ˆ
0NI 2
b: B 0
此为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁通密度 的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。
电磁感应定律是描述时变电磁场著名的麦克斯 韦方程组中的方程之一。
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
2. 电感
在线性介质中， 单个闭合回路电流产生的磁 通密度与回路电流 I 成正比，因此穿过回路的磁 通也与回路电流 I 成正比。
若处处
dl1
dl
，则互感
2
M 12M210。
若处处dl1 // dl2，则互感 M 最大。
在电子电路中，若要增强两个线圈的耦合，应彼此 平行放置；若要避免两个线圈的耦合，则应相互垂直。
互感可正可负，但电感始终为正值。
若互磁通与原磁通方向相同，则磁通链增加，互感 应为正值；反之，若两者方向相反，则磁通链减少， 互感为负值。
中部分电流 I 交链。因此，
对于总电流 I 来说，这部分 磁通折合成与总电流 I 形成 的磁通链应为
Ordra bec
di IIdi 2π 0Iar43dr
求得内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链
i 为
i 0adi 80πI
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
那么，与总电流 I 交链的总磁通链为(o + i ) 。
因此，同轴线的单位长度内电感为
L1o Ii 2 π 0lnb a8 π 0
式中第一项称为外电感；第二项称为内电感。
当同轴线传输电磁波时，内外导体中的磁通
均可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电感，
即
L1
0
2π
ln
b a
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
解：由安培环路定理，得
电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
第六章：电磁感应
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
1. 电磁感应定律
穿过曲面S的磁通量定义为
m
BdS
S
eI
当闭合线圈中的磁通随时间变化时，线圈中产生的感应电动势
e为
e d
dt
式中电动势 e 的正方向与磁通方向构成右旋关系。
当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左旋
回路
C
特征：回路可以是任意几何回路
磁通链
与所有电流回路铰链的总磁通
特征：
电流回路
回路是电流回路 计入电流存在的所有回路
C
I I
每个回路是计入与之铰链的全 部磁通
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
磁链计算 单匝线圈
多匝线圈
细回路
C
n
n: 为磁场铰链的电流与回路 电流I 之比
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第六章：电磁感应
第六章 电磁感应
作业： 6-1, 6-2 6-4，6-7 6-11
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
第六章 电磁感应
主要内容 电磁感应定律、自感与互感、磁场能量与力
1. 电磁感应定律 2. 电感 3. 磁场能量 4. 磁场力
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若电流I2为逆时针方向时，
D r dr
则B1与dS 反向， M21 为负。 但在任何线性介质中
M12M21
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
3. 磁场能量
若加入外源，回路中产生电流。 在电流建立过程中，回路中产生的 反磁通企图阻碍电流增长，为了克 服反磁通产生反电动势，外源必须 作功。
关系；反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向构
成右旋关系。
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
感应电流产生的感应磁通方向
eI
总是阻碍原有磁通的变化，所以感 应磁通又称为反磁通。
感应电场强度 E 沿线圈回路的闭合线积分等于线
圈中的感应电动势，即
d
l Edl e dt
又知 SB，d得S
（3）
将公式（3）代入公式（1），得：
214I1(r)
l2
dl2 dl1 l1|r2r1|
M
21
21 I1
M21
4π
l2
dl1dl2 l1 r2r1
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
M21
4π
l2
dl1dl2 l1 r2r1
M12
4π
l1
dl2dl1 l2 r1r2
总的磁感应强度
L0
2 0l 8
0l 4
总自感为
L0l 0llnD 4 a
电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
互感
x
z l1
I1 l2
dl1 r2 - r1 dl2
r1
r2
O
I2
与I1交链的磁通链由两 部分磁通形成，其一是 I1本
身的磁通形成的磁通链 11 ，
y 另一是 I2 在回路 l1 中的磁通
形成的磁通链 12 。
那么，与电流 l1 交链的磁通链1为
11112
同理，与电流 I2 交链的磁通链2为 22122
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
在线性介质中，比值 ， 11 ， 12 及 22 均为 常21 数。
I1 I2 I2
I1
令
L11
11 I1
M 12
12 I2
式中L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对 l1 的互感。
21 S2 B1dS
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
若电流I2为如图所示的顺时针方向，则dS 与
B1方向相同。那么
21 2 0Iπ 1 aD D b1 rd r2 0Iπ 1aln D D b
z
0 b
I1
a S2 I2
求得
M21 I2 1120πal
n Db0 D
外导体的内自感
第六章：电磁感应
例题1 设螺线管足够长，可忽略两端的边缘磁场效应，求长度为 l 的螺线管线圈的电感。
设螺线管由 N 匝线圈构成，单位长度的线圈匝数为
Nl N l
无限长螺线管产生的磁场为
a: BzˆBzzˆ0rINl
a: B 0
第六章：电磁感应
磁通链为
NmNSBdS
N B d SN (a 2)(B n ˆ)N (a 2 )B z
若交链 N 次，则磁通链增加 N 倍； 若部分交 链，则必须给予适当的折扣。因此，与N 匝回路电
流 I 交链的磁通链为 = N 。
由 N 匝回路组成的线圈的电感为 L N
II
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
31..3.磁3 通电与感磁通链
磁通
S B dS S AdS C Adl
（不一定为整数）
粗导线回路
粗回路
C
o i
o :外磁链； i :内磁链
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电磁场与电磁波
I
o
i
I
第六章：电磁感应
2. 自感
L
粗回 路
I
称为导体回路 C 的自感系数，简称自感。 C
特征：磁通链是I自已产生的
o
i
I
粗导体回路的自感：L = Li + Lo
Li
i I
—— 内自感；
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
例1 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。 设线圈与导线平行，周围介质为真空，如图所示。
z
0 b
解 建立圆柱坐标系，令 z 轴 方向与电流 I1一致，则 I1 产生的磁
I1
a D
S2 I2 通密度为
B1
0I1
2π r
e
r dr
与电流I2交链的磁通链21 为
e
rI 2πa2
0ra
H
e
I 2πr
a r b
e
I 2πr
c2 c2
r2 b2
brc
0
rc
单位长度的总自感
a bc
L
2Wm I2
0
8π
0 ln b
2π a
0
2π
(c
2
c4 b2)2
ln c b
3c2 b2
4(c2
b2
)
内导体的内自感
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内外导体间的外自感 电磁场与电磁波
Bo
0I
2πr
e
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
Bo
0I
2πr
e
该磁场形成的磁通称为外磁通，以 o 表示，则单位长
度内的外磁通为
oSB od S a b B oe d ra b B o d r2 0 π Iln b a
该外磁通与电流 I 完全交链，故外磁通与磁通链相等。
S BdS
（1）
矢量磁位： BA
由上两个公式可以得到（电流I1在回路l2中产生的磁通链）：
SB d SS A d Sl2A 1 d l2
（2）
A1为电流I1在回路l2所在处产生的矢量磁位，因此：
A 1 (r)4
l1|r I2 1 (rr )1|d l14 I1 (r)
d l1 l1|r2 r 1|
第六章：电磁感应
例1 计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电
感。
a O b I
c
解 设同轴线内导体的半径为 a，外导体的内半径为b，外半径 为c，如图示。
在同轴线中取出单位长度， 沿长度方向形成一个矩形回路。
I
I
内导体中的电流归并为矩形
Ordra bec
回路的内边电流，外导体中的 电流归并为外边电流。
与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的
磁通链，以 表示。 令 与 I 的比值为L，即 L
I
式中L 称为回路的电感，单位为H(亨)。 电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关， 与回路中电流无关。
磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链 的磁通。
Lo
o I
—— 外自感
自感的特点：
自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围 的磁介质有关，与电流和磁链的大小无关。
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电磁场与电磁波
第六章：电磁感应
射频集成电路（RFIC ）中的电感
约瑟·亨利于 1830年 在实验中发现，一个线圈中的电流不 但能够在另一个线圈中感应出另一个电流，而且也能够在自身 线圈中感应出电流，线圈中的实际电流是原来的电流与感应电 流之和。前者表示互感，后者表示自感。迈克尔·法拉第于 1834 年独立发现了自感现象，这次，亨利比法拉第在时间上抢先了 一步。