2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷(三)文科数学

2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷（三）
文科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷(选择题)
一、单选题(本题共12题，每小题5分，共60分)
1．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.5556】
已知集合A ＝{x ｜x 2＋2x －15≤0}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈N }，则A∩B ＝( ) A ．{－1，1，3} B ．{－1，1} C ．{－5，－3，－1，1，3} D ．{－3，－1，1} 2．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.5556】 已知复数z 满足(3)13z i i -=-，则z =( )
A ．3i --
B ．3i -+
C ．6i --
D ．6i +
3．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.3889】
已知向量b =r
，问量a r 为单位向量，且1a b ⋅=r r ，则2a b -r r 与2a r
的夹角余弦值为( )
A ．
12
B C ．1
2
-
D ．-
4．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2778】
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17
5．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2501】 已知函数()x
x f x e
e -=-(e 为自然对数的底数)，若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，
0.7log 5c =，则( )
A ．()()()f b f a f c <<
B ．()()()f c f b f a <<
C ．()()()f c f a f b <<
D ．()()()f a f b f c <<
6．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.6667】
已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－(ω＞0)在［－3π，2π
］上单调递增，则ω的取值范围是( )
A ．［2
3
，2］
B ．(0，23
］
C ．［23
，1］
D ．(0，2］
7．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.6296】 已知
是定义在R 上的偶函数，且在(-∞，0］上是增函数.设
c=，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A.c<b< a
B. a <b<c C a <c<.b D.c< a <b 8．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.4632】
在平面五边形中，∠=60°==6⊥⊥且==6.将五边形
沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为120°，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为( ) A.84π B.84π C.252π D.126π 9．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.5185】
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量α＝(a ，cosB)，β＝(cosA ，－b)，若α⊥β，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 10．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.3333】
已知()(ln 1)(ln 1)f x ax x x x =++++与2
()g x x =的图像至少有三个不同的公共点，则
实数a 的取值范围是( )
A ．12,22⎛- ⎝⎭
B ．1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．2)
11．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.1944】
平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2π∈-
α，3
cos()65
+=πα，则0x 的值为( )
A B C
D ．
3
10
12．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.0556】 关于函数()ln(1)ln(3)f x x x =+--有下述四个结论： ① ()f x 在(1,3)-单调递增
②()y f x =的图像关于直线1x =对称 ③()y f x =的图像关于点(1,0)对称
④()f x 的值域为R
其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
第II 卷(非选择题)
二、填空题(本题共4题，每小题5分，共20分)
13．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.5833】
曲线2
()cos 2f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为___________．
14．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1944】
n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2
106a a =，则6S =____________．
15．【2019年江西省名校试题】【年级得分率：0.5830】
函数()4sin 3cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()(2)()f x f x R =-∈αα，则
cos2=α________．
16．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.3704】
规定［t ］为不超过t 的最大整数，如［3．1］＝3，［－2．9］＝－3．若函数f(x)＝［x ］2
－［x ］(x ∈R )，则方程f 2(x)－f(x)＝2的解集是__________．
三、解答题(第17题10分，第18-22题每题12分，共70分) 17．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.5278】
已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 的对边，且c ＝2，a 2＋b 2－4＝a b ． (1)求角C ；
(2)若sin 2B －sin 2A ＝sinC(2sin2A －sinC)，求△ABC 的面积．
18．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.1111】
已知数列{n a }满足1a ＝0，2a ＝1，2n a ＋＝12
n n a a λ＋1＋(n N *∈，λ∈R )．
(1)若n b ＝n a ＋1＋n a ，试问是否存在实数λ，使得数列{n b }是等比数列?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2)在(1)的条件下，求数列{n a }的通项公式．
19．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.4969】
如图，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝4，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD ． (1)证明：平面ACF ⊥平面BEFG ． (2)求二面角A －BF －D 的正弦值．
20．【2019年福建省名校试题】【年级得分率：0.4198】
某市交通局为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的措施，将市区公交站点的重新布局和建设作为重点项目．市交通局根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该方案进行调查，并根据调查结果决定是否启用该方案．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该方案进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，低于60分认为不满意，不低于60分认定为满意(其中［60，70)内认定为基本满意，［70，80)内认定为满意，不低于80分认定为非常满意)；③市民对公交站点布局的满意率不低于70％即可启用该方案；④用样本的频率代替概率．
(1)从该市100万市民中随机抽取4人，求至少有3人满意该方案的概率，并根据所学统计学知识判断该市是否可启用该方案，说明理由．
(2)现采用分层抽样从评分在［50，60)与［80，90)内的市民中共抽取7人，并从中抽取3人担任群众督查员，记X 为群众督查员中评定为满意的人数，求随机变量X 的分布列及其数学期望EX ．
21．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.3272】
已知椭圆C ：22221x y a b ＋＝(a ＞b ＞0)的离心率为2
，且椭圆C 上的点到直线y ＝2的最
长距离为2
(1)求椭圆C 的方程．
(2)过点Q(2，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在直线y ＝2上是否存在点P ，使直线PA 与直线PB 的斜率之和是直线PQ 的斜率的2倍?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.4037】 已知函数)(x f ＝252ln x x x -+．
(1)求)(x f 的极值；
(2)若)(1x f ＝)(2x f ＝)(3x f ，且321x x x <<，证明：313<-x x
参考答案
1．【答案】A 【解析】因为 {}A={x|-5x 3},B {x |x 2n 1,n N}1,1,3,5,≤≤==-∈=-⋯所
以{}3,1,1-＝B A I ．
2．【答案】D
【解析】由题意得，1333i
z i i
--==--，所以6z i =+，故选D ． 3．【答案】A
【解析】记OA a =u u u r r ，2OC a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，由||1a =r ，||2b =r ，且1a b ⋅=r r
知60AOB ︒∠=，
∴2a b BC -=r r u u u r ，||||2OC OB ==u u u r u u u r
，60BOC ︒∠=，
∴OBC ∆为正三角形，OBC ∆，∴2,260a b a ︒<->=r r r
，选A ． 4．【答案】B
【解析】∵123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a += ∴由1()2n n n a a S +=
得
44
3302
n ⨯=，∴15n =，故选:B ． 5．【答案】D
【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<，选D ． 6．【答案】B.
【解析】因为x y cos ＝在[]0,π-上单调递增，所以wx y cos ＝在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,w π上单调递增，所以
)0)(3cos(2)(>-w wx x f π＝在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
w w 3,32ππ上单调递增，则⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡-w w 3,322,3ππππ，解得203
ω<≤
． 7．【答案】A
【解析】由题意可知
在(,0]-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数.因为
0.3
0.30.888810010
2log log 4log 1,1log 0.125log 0.2log 1093
-=<<=--=<<=1.122>所以 1.180.8
|log 0.2||log 4||2|,c b a <<<<故． 8．【答案】C
【解析】设的中心为1，矩形的中心为2， 过1作垂直于平面的直线1，过2作垂直于平面的直线2， 则由球的性质可知，直线1与2的交点即几何体外接球的球心.
取的中点(图略)，连接12由条件得1212
. 连接因为12，从而1
.连接 则为所得几何体外接球的半径，又1则2
+1263， 故所得几何体外接球的表面积等于252π． 9．【答案】D 【解析】因⊥β.所以a cos A-bcos B=0，所以bcos B=a cos A ，由正弦定理可知sin Bcos B= sin Acos A.所以sin 2A=sin2B.又A ，B ∈（0，π），且A+ B ∈（0，），所以2A=2B.或2A+2B= π.所以A= B ，或A+B=，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ．
10．【答案】B
【解析】方程ln 1ln 1
()()()(1)1x x f x g x a x x
++=⇔++=至少有三个不等的实根 令ln 1()x t x x +=
得2
()(1)1(1)10a t t t a t a ++=⇔+++-=① 冈为2ln ()x t x x -'=，所以ln 1
()x t x x
+=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减且()
t x 的最大值(1)1t =，x 轴是()t x 的渐近线．所以方程①的两个根1t ，2t 的情况是：
（ⅰ）若12,(0,1)t t ∈且12t t ≠，则()f x 与()g x 的图像有四个不同的公共点
则121212
12000
(1)(1)0
(1)(1)0
t t t t t t t t ∆>⎧⎪+>⎪⎪
>⎨⎪-+-<⎪-->⎪⎩a ⇔无解 （ⅱ）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，
则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点，则a 无解
（ⅲ）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点 令2
()(1)1h t t a t a =+++-
则(0)0101
1(1)0
2102h a a h a ⎧<-<⎧⇔⇔-<<⎨
⎨>+>⎩⎩． 11．【答案】A
【解析】因为(,0)2π∈-α，3cos()65+=πα，所以(,)636
+∈-πππ
α， 若(0,)66+∈ππα
，3cos()65+>>πα，所以不符合，
所以(,0)63+∈-ππα，4
sin()65
+=-πα
所以03414cos cos ()66525210x ⎡
⎤==+-=⨯-⨯=
⎢⎥⎣⎦
ππαα． 12．【答案】D
【解析】()f x 的定义域是(1,3)-，1()ln
3x f x x +=-，令：
14
()1(0,)33
x t x x x +-==-∈+∞-- 所以()t x 在(1,3)-单调递增，()ln ()f x t x =在(1,3)-单调递增，且值域为R
又因为2(1)ln 2x f x x ++=-，2(1)ln
2x
f x x
--=+ 所以(1)(1)f x f x +=--，(1)(1)f x f x +≠-
所以①③④正确，②是错误的． 13．【答案】1y =-
【解析】()22sin 2f x x x '=+，∴(0)0f '=，又(0)1f =- 故()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为1y =-． 14．【答案】
632
【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2106a a =，即73226
333()==q q a q a a ⋅⋅⋅
∴3==2a q ，又132
=a a q ，∴11
2
a =，∴66161(1)63(1)12a q S a q q -=
=-=-． 15．【答案】7
25
-
【解析】依题意α为()f x 极值点，()0f '=α，∴4cos 3sin 0+=αα
∴4tan 3=-α，∴22
1tan 7
cos 21tan 25
-==-+ααα． 16．【答案】[-1.0）[2.3）
【解析】由f 2(x)-f （x ）=2，得[f(x)-2][f(x)+1]=0，解得f （x ）=2或f （x ）=-1.
当f （x ）=2时，
-[x]=2，解得[x]2=2或[x]=-1.当[x]=2时，解得x [2.3）； 当[x]=-1时，解得x [-1，0）；当f （x ）=-1时，
-[x]=-1.无解. 综上，方程f 2(x)-f(x)=2的解集是[-1.0）[2，3）． 17．【答案】（1）
3π；（2）233
【解析】（1）由余弦定理，得cos C=
2221
222
a b c ab ab ab +-==
又C （0，），所以C=
3
π
（2）
2222222222sin sin sin (2sin 2sin ),sin 2sin sin 2sin 2sin sin sin sin 4sin cos sin 4cos 2cos 4cos 2cos 0
B A
C A C B C A A C B C A A A C
b c a a A b A a A b a A -=-+-=+-=+-====由得得再有正弦定理得，所以所以或2222222cos 4.,3
33
1123
,,22223b a a b ab a b a c B ac π
π
=+-==
==+=
∆=⋅⨯=当时，因为联立可得所以b 所以所以ABC 的面积S=
① 当cos A=0时，因A (0,)π∈，所以A=
2
π
，所以b=
2
3tan
3
π
=
,
所以△AC 的面积S= 1
2 bc= 1223⋅⋅= 23
3 综上，△ACB 的面积为
233
18．【答案】（1）存在，=-；（2） 【解析】（1）由= ，得=（+1）（）-（
，
因为
，所以
=（+1）-（
要使数列{}是等比数列，需使-（=0对任意nN 恒成立，
所以-（=0.解得=- 此时
.且首项
=0+1=1 所以存在=-，使得数列{}是首项为1.公比为的等比数列 （2）由（1）知，=1
，
所以=2
令，得=2，即
，
所以，=-2() 因为，所以
=2
=-， 所以数列{}是以
为首项，-2为公比的等比数列； 所以.
即2"
所以
即
19．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为点E 为AD 的中点AD=2BC ，所以AE=BC ，因为AD//BC ，所AE ∥BC ，所以四边形ABCE 是平行四边形．因为AB=BC ，
所以平行四边形ABCE 是菱形，所以BE AC ⊥. 因为平面BEFG 平面ABCD ， 且平面BEFG I 平面ABCD=BE.
所以AC ⊥平面BEFG ，因为AC ⊆平面ACF ， 所以平面ACF ⊥平面BEFG.
（2）记AC ，BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知OP BE AC ,,两两垂直，故以O 为坐标原点，以射线OP OC OB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -.
因为底面ABCD 是等腰梯形，422,＝＝＝∥BC AB AD BC AD ，所以四边形ABCE 是菱形，且︒∠60＝
BAD ，所以)2,0,1(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,1(),0,3,0(----F D E B A 则1,3,02,0,2(3,3,0)AB BF BD --u u u r u u u r u u u r
＝（，）， ＝（）， ＝.
设平面ABF 的法向量为）＝（111,,z y x m ， 则
{
111130,220,
m AB x y m BF x z ⋅+⋅-+u u u r
u u u r ＝＝＝＝不妨取11-＝y ，则），，＝（313-m . 设平面DBF 的法向量为）＝（222,,z y x n ， 则
{
2222330,220,
m BD x y m BF x z ⋅-+⋅-+u u u r
u u u r ＝＝＝＝不妨取12＝x ，则），＝（1,3,1n 故.35105
5
73,cos ＝＝＝⨯⋅><n m n m n m 记二面角D BF A --的大小为θ， 故.35
7043531sin ＝＝-
θ 20．【答案】（1）启用该方案，见解析；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由题意可得被调查者不满意的频率是5
1
10)15.005.0(＝⨯+，则满意的频率为5
4
，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人满意该方案的概率为5
4
，记事件A 为“抽取的4人至少有3人满意该方案”，
则.625
51251)54()54()(334444＝
＝C C A P + 分角度1：根据题意，60分或以上被认定为满意，在频率分布直方图中. 评分在[60，100]的频率为7.05
4
10)004.002.0032.0024.0(>⨯+++＝，
故根据相关规则该市应启用该方案.
角度2：由平均分为709.7004.0952.08532.07524.06515.05505.045>⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝
，故根据相关规则该市应启用该方案.
（2）因为评分在[50，60）与评分在[80，90）的频率之比为3：4.所以从评分在[50，60）内的市民中抽取3人．
评分在[80，90）内的市民中抽取4人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.
,354
)3(,3518)2(,3512
)1(,351)0(3
7
3
43724133
711233733＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝C C X P C C C X P C C C X P C C X P ⋅⋅
则X 的分布列为：
X 0 1 2 3 P
35
1 351
2 35
18 35
4 X 的数学期望.7
12
354335182351213510＝＝⨯+⨯+⨯+⨯EX
21．【答案】（1）.12
82
2＝y x +；（2）存在，点)2,4(P
【解析】（1）由题意可设椭圆的半焦距为c ，
由题意可得22222232b c a a b c ⎧++⎪
⎪⎨⎪+⎪⎩
＝＝＝解得，
故椭园c 的方程为.12
822＝y x +
（2）（i ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2,(),,(),,(),2(02211x P y x B y x A x k y ＝＝＝-，
则22,2,20202101-----x k x x y k x x y k PQ
PB PA ＝＝＝.联立整理得，＝081616)14(2
2
2
2
-+-+k x k x k 则.1
48
16141622212221+-⋅⋅++k k x x k k x x ＝＝故
,)(2))(22()44(2222222
10212
02
12100202101202101x x x x x x x kx x x k kx x k x x kx k x x kx k x x y x x y k k PB PA ++-++++-+--++--+--+--+＝＝＝
整理得.24
8
244)4(421602
02200020--+-+-+-+x x k x x k x k x k k PB PA ＝）（）（＝
因为220-x k PQ ＝，所以.248
)2(44)4(4)2(160202200020--+-+-+-x x k x x k x k x ＝ 整理得0)4(2)2)(4(000＝x k x x -+--，即[]
02)2()4(00＝---k x x ，解得.40＝x (ii)当直线l l 的斜率不存在时，经检验)2,4(P 也满足条件,故存在点)2,4(P ，
使得。

＝PQ PB PA k k k 2+ 22．【答案】（1）)(x f 的极大值为)(;2ln 249)21(x f f --＝的极小值为.2ln 26)2(+-＝f ；（2）见解析
【解析】（1）因为x x x x f ln 5)(2+-＝，所以),0()2)(12(252)('>--+-x x
x x x x x f ＝＝ 所以当),2()21,0(+∞∈Y x 时，0)('>x f ；当)2,2
1(∈x 时，0)('<x f
， 则)(x f 的单调递增区间为)21,0(和),2(+∞，单调递减区间为).2,2
1( 故)(x f 的极大值为)(;2ln 24
9)21(x f f --＝的极小值为.2ln 26)2(+-＝f （2）证明：由（1）知.22
10321x x x <<<<<设函数),21,0(),1()()(∈--x x f x f x F ＝2(21)(2)(21)(1)2(21)()()(1),1(1)
x x x x x F x f x f x x x x x ---+-'''--+--＝＝＝ 则0)('>x F 在)2
1,0(上恒成立，即)(x F 在上单调递增， 故0)21()(＝F x F <，即)1()(x f x f -<在)2
1,0(上恒成立， 因为),2
1,0(∈x 所以).1()()(112x f x f x f -<＝ 因为)2,21(1,12∈-x x ，且)(x f 在)2,2
1(上单调递减，所以121x x ->，即.121>+x x ① 设函数
),2,2
1(),4()(∈--x x f x f x G ）（＝,)
4()2(24)2)(72()2)(12()4()()(2
'''x x x x x x x x x x x x f f G -----+---+＝＝＝ 则0)('>x G 在)2,21(上恒成立，即)(x G 在)2,2
1(上单调递增， 故0)2()(＝G x G <，即)4()(x f x f -<在)2,2
1(上恒成立. 因为)2,2
1(2∈x ，所以).4()()(223x f x f x f -<＝ 因为),2(4,23+∞∈-x x ，且)(x f 在),2(+∞上单调递增，
所以234x x -<，即.432<+x x ②
结合①②，可得.313<-x x。