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代数系统之代数结构
逆元的唯一性
Theorem 24 在代数系统 ⟨������, *⟩ 中, * 是 ������ 上的一个二元运算. ������ 存在幺元 ������, 且 每个元素有左逆元. 若 * 是可结合的, 则任意元素的左逆元也是该 元素的右逆元, 且每个元素的逆元是唯一的.
代数系统之代数结构
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逆元
Definition 22
设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, ������ 是 ������ 中关于运算 * 的幺元. 若对于 ������ ∈ ������, 存在 ������ ∈ ������, 使得 ������ * ������ = ������, 则称 ������ 是 ������ 的左逆元. 若对于 ������ ∈ ������, 存在 ������ ∈ ������, 使得 ������ * ������ = ������, 则称 ������ 是 ������ 的右逆元. 若 ������ 既是 ������ 的左零元又是 ������ 的右零元, 则称 ������ 是 ������ 的逆元, 常把 ������ 记作 ������−1 .
韩参变量 (某某大学)
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幂等律
Definition 13 设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 若对于任意的 ������ ∈ ������, 都 有
������ * ������ = ������,
则称运算 * 是幂等的. Example 14 设 ������ (������ ) 是集合 ������ 的幂集, 在 ������ (������ ) 上有两个二元运算: 集合之并 ∪ 与集合之交 ∩. 验证 ∩, ∪ 是幂等的.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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几个例子
Example 25
试构造一个代数系统, 使得其中只有一个元素具有逆元.
Example 26
对于代数系统 ⟨R, ·⟩, 其中 R 是全体实数, · 是普通乘法运算, 是否每个元素都有逆元?
运算 Δ 对于运算 * 是否可分配? 运算 * 对于运算 Δ 是否可分配?
韩参变量 (某某大学) 代数系统之代数结构
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吸收律
Definition 11
设 *, Δ 是定义在集合 ������ 上的两个可交换的二元运算, 若对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有 ������ * (������Δ������ ) = ������, ������Δ(������ * ������ ) = ������, 则称运算 * 与运算 Δ 满足吸收律.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意 ������ ∈ ������, 都有 ������������ * ������ = ������������ , 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的左零元. 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意 ������ ∈ ������, 都有 ������ * ������������ = ������������ , 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的右零元. 若 ������ 既是左零元又是右零元, 则称 ������ 为零元.
Example 19
集合 ������ = {浅色, 深色} 上的一个二元运算 * 定义如下: * 浅色 深色 试指出零元和幺元. 浅色 浅色 深色 深色 深色 深色
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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零元的唯一性
Theorem 20 设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 且在 ������ 中有关于运算 * 的左零元 ������������ 和右零元 ������������ , 则 ������������ = ������������ = ������, 且 ������ 中的零元是唯一的.
������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������
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������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������
代数系统之代数结构
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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幺元与零元可否重合?
Example 21 设 ⟨������, *⟩ 是一个代数系统, 且集合 ������ 中元素的个数大于 1. 若代数 系统中存在幺元 ������ 和零元 ������, 则 ������ ̸= ������.
韩参变量 (某某大学)
则称二元运算 * 是可结合的. Example 8 设 ������ 是一个非空集合, 是 ������ 上的二元运算, 对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 定义 ������ ������ = ������, 证明 是可结合的.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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交换律
Definition 5 设 * 是定义在集合 ������ 上的二元运算, 若对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有
������ * ������ = ������ * ������,
则称二元运算 * 是可交换的. Example 6 设 Q 是有理数集合, Δ 是 Q 上的二元运算, 对于任意的 ������, ������ ∈ Q, 定义 ������Δ������ = ������ + ������ − ������������, 问运算 Δ 是否可交换?
分配律
Definition 9
设 *, Δ 是定义在集合 ������ 上的两个二元运算, 若对于任意的 ������, ������, ������ ∈ ������, 都有 ������ * (������ Δ������ ) = (������ * ������ )Δ(������ * ������ ), (������ Δ������ ) * ������ = (������ * ������)Δ(������ * ������), 则称运算 * 对于运算 Δ 是可分配的.
Example 10
设集合 ������ = {������, ������ }, 在 ������ 上的两个二元运算 *, Δ 如下定义: * ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ Δ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
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代数系统之代数结构
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幺元
Definition 15
设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意的 ������ ∈ ������, 都有 ������������ * ������ = ������, 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的左幺元. 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意的 ������ ∈ ������, 都有 ������ * ������������ = ������, 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的右幺元. 若 ������ 既是左幺元又是右幺元, 则称 ������ 为幺元.
Example 12
设集合 N 为自然数全体, 在 N 上定义两个二元运算 * 与 ������ * ������ = max(������, ������ ) ������ ������ = min(������, ������ ) 验证运算 * 与 满足吸收律.
代数系统之代数结构
, 对于任意 ������, ������ ∈ N, 定义
代数系统之代数结构
韩参变量
开课单位: 手机号码: 电子邮件: 某某大学数学与统计学院
+1234567654321
某某大学邮箱
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代数系统之代数结构
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S5.1: 代数系统的引入
Definition 1 对于集合 ������, 一个从 ������������ 到 ������ 的映射, 称为集合 ������ 上的一个 ������ 元运 算. 若 ������ ⊆ ������, 则称该 ������ 元运算是封闭的. Definition 2 一个非空集合 ������ 连同若干个定义在该集合上的运算 ������1 , ������2 , · · · , ������������ 所组成的系统就称为一个代数系统, 记作 ⟨������, ������1 , ������2 , · · · , ������������ ⟩.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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S5.2: 运算及其性质
Definition 3 设 * 是定义在集合 ������ 上的二元运算, 若对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有
������ * ������ ∈ ������,
则称二元运算 * 在 ������ 上是封闭的. Example 4 设 ������ = {������|������ = 2������ , ������ ∈ N}, 问乘法运算是否封闭? 对加法运算呢?
Example 23
集合 ������ = {������, ������, ������, ������, ������ } 上的一个二元运算 * 如下定义. 试指出各元素的左、 右逆元. * ������ ������ ������ ������ ������
韩参变量 (某某大学)
������ ������ ������ ������ ������ ������
Example 16
集合 ������ = {������, ������, ������, ������ } 上的两个二元运算 * 与 * ������ ������ ������ ������
韩参变量 (某某大学)
如下定义. 试指出左幺元或右幺元. ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
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代数系统之代数结构
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结合律
Definition 7 设 * 是定义在集合 ������ 上的二元运算, 若对于任意的 ������, ������, ������ ∈ ������, 都有
(������ * ������ ) * ������ = ������ * (������ * ������ ),
幺元的唯一性
Theorem 17 设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 且在 ������ 中有关于运算 * 的左幺元 ������������ 和右幺元 ������������ , 则 ������������ = ������������ = ������, 且 ������ 中的幺元是唯一的.
代数系统之代数结构
逆元的唯一性
Theorem 24 在代数系统 ⟨������, *⟩ 中, * 是 ������ 上的一个二元运算. ������ 存在幺元 ������, 且 每个元素有左逆元. 若 * 是可结合的, 则任意元素的左逆元也是该 元素的右逆元, 且每个元素的逆元是唯一的.
代数系统之代数结构
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逆元
Definition 22
设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, ������ 是 ������ 中关于运算 * 的幺元. 若对于 ������ ∈ ������, 存在 ������ ∈ ������, 使得 ������ * ������ = ������, 则称 ������ 是 ������ 的左逆元. 若对于 ������ ∈ ������, 存在 ������ ∈ ������, 使得 ������ * ������ = ������, 则称 ������ 是 ������ 的右逆元. 若 ������ 既是 ������ 的左零元又是 ������ 的右零元, 则称 ������ 是 ������ 的逆元, 常把 ������ 记作 ������−1 .
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幂等律
Definition 13 设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 若对于任意的 ������ ∈ ������, 都 有
������ * ������ = ������,
则称运算 * 是幂等的. Example 14 设 ������ (������ ) 是集合 ������ 的幂集, 在 ������ (������ ) 上有两个二元运算: 集合之并 ∪ 与集合之交 ∩. 验证 ∩, ∪ 是幂等的.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
15 / 28
几个例子
Example 25
试构造一个代数系统, 使得其中只有一个元素具有逆元.
Example 26
对于代数系统 ⟨R, ·⟩, 其中 R 是全体实数, · 是普通乘法运算, 是否每个元素都有逆元?
运算 Δ 对于运算 * 是否可分配? 运算 * 对于运算 Δ 是否可分配?
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6 / 28
吸收律
Definition 11
设 *, Δ 是定义在集合 ������ 上的两个可交换的二元运算, 若对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有 ������ * (������Δ������ ) = ������, ������Δ(������ * ������ ) = ������, 则称运算 * 与运算 Δ 满足吸收律.
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设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意 ������ ∈ ������, 都有 ������������ * ������ = ������������ , 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的左零元. 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意 ������ ∈ ������, 都有 ������ * ������������ = ������������ , 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的右零元. 若 ������ 既是左零元又是右零元, 则称 ������ 为零元.
Example 19
集合 ������ = {浅色, 深色} 上的一个二元运算 * 定义如下: * 浅色 深色 试指出零元和幺元. 浅色 浅色 深色 深色 深色 深色
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代数系统之代数结构
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零元的唯一性
Theorem 20 设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 且在 ������ 中有关于运算 * 的左零元 ������������ 和右零元 ������������ , 则 ������������ = ������������ = ������, 且 ������ 中的零元是唯一的.
������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������
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������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������
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幺元与零元可否重合?
Example 21 设 ⟨������, *⟩ 是一个代数系统, 且集合 ������ 中元素的个数大于 1. 若代数 系统中存在幺元 ������ 和零元 ������, 则 ������ ̸= ������.
韩参变量 (某某大学)
则称二元运算 * 是可结合的. Example 8 设 ������ 是一个非空集合, 是 ������ 上的二元运算, 对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 定义 ������ ������ = ������, 证明 是可结合的.
韩参变量 (某某大学)
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韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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交换律
Definition 5 设 * 是定义在集合 ������ 上的二元运算, 若对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有
������ * ������ = ������ * ������,
则称二元运算 * 是可交换的. Example 6 设 Q 是有理数集合, Δ 是 Q 上的二元运算, 对于任意的 ������, ������ ∈ Q, 定义 ������Δ������ = ������ + ������ − ������������, 问运算 Δ 是否可交换?
分配律
Definition 9
设 *, Δ 是定义在集合 ������ 上的两个二元运算, 若对于任意的 ������, ������, ������ ∈ ������, 都有 ������ * (������ Δ������ ) = (������ * ������ )Δ(������ * ������ ), (������ Δ������ ) * ������ = (������ * ������)Δ(������ * ������), 则称运算 * 对于运算 Δ 是可分配的.
Example 10
设集合 ������ = {������, ������ }, 在 ������ 上的两个二元运算 *, Δ 如下定义: * ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ Δ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
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幺元
Definition 15
设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意的 ������ ∈ ������, 都有 ������������ * ������ = ������, 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的左幺元. 若有 ������������ ∈ ������, 对于任意的 ������ ∈ ������, 都有 ������ * ������������ = ������, 则称 ������������ 是 ������ 中关于运算 * 的右幺元. 若 ������ 既是左幺元又是右幺元, 则称 ������ 为幺元.
Example 12
设集合 N 为自然数全体, 在 N 上定义两个二元运算 * 与 ������ * ������ = max(������, ������ ) ������ ������ = min(������, ������ ) 验证运算 * 与 满足吸收律.
代数系统之代数结构
, 对于任意 ������, ������ ∈ N, 定义
代数系统之代数结构
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S5.1: 代数系统的引入
Definition 1 对于集合 ������, 一个从 ������������ 到 ������ 的映射, 称为集合 ������ 上的一个 ������ 元运 算. 若 ������ ⊆ ������, 则称该 ������ 元运算是封闭的. Definition 2 一个非空集合 ������ 连同若干个定义在该集合上的运算 ������1 , ������2 , · · · , ������������ 所组成的系统就称为一个代数系统, 记作 ⟨������, ������1 , ������2 , · · · , ������������ ⟩.
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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S5.2: 运算及其性质
Definition 3 设 * 是定义在集合 ������ 上的二元运算, 若对于任意的 ������, ������ ∈ ������, 都有
������ * ������ ∈ ������,
则称二元运算 * 在 ������ 上是封闭的. Example 4 设 ������ = {������|������ = 2������ , ������ ∈ N}, 问乘法运算是否封闭? 对加法运算呢?
Example 23
集合 ������ = {������, ������, ������, ������, ������ } 上的一个二元运算 * 如下定义. 试指出各元素的左、 右逆元. * ������ ������ ������ ������ ������
韩参变量 (某某大学)
������ ������ ������ ������ ������ ������
Example 16
集合 ������ = {������, ������, ������, ������ } 上的两个二元运算 * 与 * ������ ������ ������ ������
韩参变量 (某某大学)
如下定义. 试指出左幺元或右幺元. ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
韩参变量 (某某大学)
代数系统之代数结构
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结合律
Definition 7 设 * 是定义在集合 ������ 上的二元运算, 若对于任意的 ������, ������, ������ ∈ ������, 都有
(������ * ������ ) * ������ = ������ * (������ * ������ ),
幺元的唯一性
Theorem 17 设 * 是定义在集合 ������ 上的一个二元运算, 且在 ������ 中有关于运算 * 的左幺元 ������������ 和右幺元 ������������ , 则 ������������ = ������������ = ������, 且 ������ 中的幺元是唯一的.