三维点云数据拼接中ICP及其改进算法综述

第４０卷第１期２０１０年１月
中国海洋大学学报
ＰＥＲＩＯＤＩＣＡＬＯＦ（Ｘ：ＥＡＮＵＮＩＶＥＲＳｌＴＹ（）ＦＣＨＩＮＡ
４０（１）：０９９～１０３
Ｊａｎ．，２０１０
综述
三维点云数据拼接中ＩＣＰ及其改进算法综述ｊ
解则晓，徐尚
（中国海洋大学－ｒ＿程学院，山东青岛２６６１００）
摘要：ＩＣＰ算法是三维点云数据精确拼接过程中的主流算法。

文章对目前国内外ＩＣＰ及其各种改进算法的发展现状进行了系统地分析与研究。

将ＩＣＰ算法分为４个主要阶段：（１）对原始点云数据进行采样；（２）确定初始对应点集；（３）去除错误对应点对；（４）坐标变换的求解。

分别对各个阶段中典型方法的基本思想和关键技术进行了分类与分析，并在精度与效率等方面对这些算法进行了比较。

最后对目前算法研究中的难点问题及未来的研究重点进行了展望。

关键词：三维点云；精确拼接；ＩＣＰ算法
中图法分类号：ＴＰ３９１文献标志码：Ａ文章编号：１６７２—５１７４（２０１０）０１—０９９—０５
三维点云数据拼接技术一直是逆向工程、计算机视觉、模式识别、曲面质量检测及摄影测量学等领域的研究热点与难点。

以逆向工程为例，三维数字化技术是逆向工程中的首要环节，在实际测量过程中，由于受被测物体几何形状及测量方式的限制，测量设备需要从不同视角对物体进行多次定位测量，然后对各个不同视角测得的点云数据进行多视拼接，统一到１个全局坐标系下，即点云拼接问题。

三维点云拼接技术在不同场合亦被称为重定位、配准或拼合技术，其实质是把不同的坐标系下测得的数据点云进行坐标变换，问题的关键是坐标变换参数Ｒ（旋转矩阵）和ｔ（平移矢量）的求取。

目前国内外的拼接技术一般分两步［１］：粗拼接和精确拼接。

粗拼接大致将不同坐标系下点云对准到同一坐标系下，常用的方法有转台法［２］，标签法［３］和曲面特征法［４］等。

一般粗拼接很难满足精度要求，需在粗拼接的基础上使用迭代算法进行精确拼接，使点云之间的拼接误差达到最小。

目前国内外最常用的精确拼接方法为迭代最近点（ＩｔｅｒａｔｉｖｅＣｌｏｓｅｓｔＰｏｉｎｔ，ＩＣＰ）算法［５］。

ＩＣＰ及其各种改进算法已成为精确拼接领域的主流算法，并不断有新的改进算法出现以适用于不同场合的要求。

国外学者Ｒｕｓｉｎｋｉｅｗｉｅｚ等［６］将ＩＣＰ算法分为６个阶段，并分阶段对ＩＣＰ的各种改进算法进行了分析比较。

本文基于目前ＩＣＰ及其改进算法的发展现状，将其分为４个主要阶段：（１）对原始点云数据进行采样；（２）确定初始对应点集；（３）去除错误对应点对；（４）坐标变换的求解。

本文以这４个阶段为主线，对近年来国内外各种主要的ＩＣＰ改进算法进行了系统的研究，对这些方法的基本思想和关键技术进行了归纳与分析，并讨论了ＩＣＰ算法的发展趋势，对该领域的研究工作具有积极的推动作用。

１ＩＣＰ算法概述
ＩＣＰ算法对待拼接的２片点云，首先根据一定的准则确立对应点集Ｐ与Ｑ，其中对应点对的个数为咒。

然后通过最小二乘法迭代计算最优的坐标变换，即旋转矩阵Ｒ和平移矢量ｔ，使得误差函数
１—Ｌ
Ｅ（Ｒ，ｆ）一寺∑Ｉｆ吼一（却＾＋ｆ）＂（１）
¨量＝１
最小。

ＩＣＰ算法计算简便直观且可使拼接具有较好的精度，但是算法的运行速度以及向全局最优的收敛性却在很大程度上依赖于给定的初始变换估计以及在迭代过程中对应关系的确立。

各种粗拼接技术可为ＩＣＰ算法提供较好的初始位置，所以迭代过程中确立正确对应点集以避免迭代陷人局部极值成为各种改进算法的关键，决定了算法的收敛速度与最终的拼接精度。

２ＩＣＰ算法步骤
２．１对原始点云数据进行采样
在确立初始对应点集前可对待拼接的２片点云或其中１片点云进行采样，以提高拼接速度，减少噪声点。

特别是对海量数据点云，采样是拼接前的必需步骤。

目前常用的采样方法有均匀采样［７－８］、随机采样［９］和法矢采样［６］等。

其中均匀采样与随机采样简便易行，但由于未考虑待拼接物体的形貌等因素，采样时可
·基金项目：国家自然科学基金项目（６０７７２０５７）｝青岛市科技计划基础研究项目（０９—１—３—４３ｑｃｈ）资助收稿日期：２００８—１１—１７；修订Ｉ＝ｔ期：２００９—０３—２２
作者简介：解则晓（１９６８一），男，教授。

Ｅ－ｍａｉｌ；ｘｉｅｚｅｘｉａｏ＠ｏｕＧｅｃｌｕ。

∞
万方数据
１００中国海洋大学学报
能会丢失物体的关键特征，故限制了其应用场合。

法
矢采样以待拼物体表面点的法矢分布为基础，使每个
法矢方向上都有差不多个数的点，此方法可尽可能地
保留点云的细微特征。

此外，Ｇｅｌｆａｎｄ等［１０］提出１种基于协方差矩阵的
采样方法，此方法是对法矢采样方法的扩展，可有效保
证ＩＣＰ算法的几何稳定性。

２．２确定初始对应点集
根据确立对应点集的方法，可将ＩＣＰ及其各种改
进算法分为３类：点到点（ｐｏｉｎｔ－ｔｏ－ｐｏｉｎｔ）、点到投影
（ｐｏｉｎｔ—ｔｏ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）和点到面（ｐｏｉｎｔ—ｔｏ－ｓｕｒｆａｃｅ）。

（１）点到点此方法通过直接搜索一片点云中的点在
另一片点云中的最近点来确定对应点集［５］，如图ｌ（ａ）
中Ｐ与ｑ。

这种以最近点为标准的方法虽然计算简便
直观，但其所确立的对应点集中存在大量错误对应点
对，算法迭代易陷入局部极值。

（２）点到投影如图１（ｂ），对于点云Ｐ上一点Ｐ，其对应
点口为ｐ过点云Ｑ的视点方向Ｃｂ在点云Ｑ上的投
影［１１‘１２］。

由于省去了搜索对应点的步骤，此方法可极大地
缩短计算时间，但其缺点是无法达到较高的拼接精度。

（３）点到面点到面算法在三类方法中精度最高，这
种方法将点点距离用点面距离代替，迭代次数少，且不
易陷入局部极值［６］。

应用最为广泛的点到面算法为点
到切平面算法［１３］。

如图１（ｃ），对于点云Ｐ上一点ｐ，首
先得到其法矢与点云Ｑ的交点口，定义ｐ的对应点为
其在点口处的切平面上的投影口７。

由于需要计算点在
对应切平面上的投影，故计算速度较慢。

除了点到切
平面算法外，Ｆａｎ等［１４－１５］采用点到Ｂ样条曲面的最短
距离确立对应点集。

Ｒｉｓｔｉｃｔ等［１６］将测量数据点和参
考曲面（ＮＵＢＲＳ曲面）之间最短距离的计算简化为测
量数据点和三角网格顶点之间的距离计算。

Ｐａｒｋ
等ＬｌＴ］将点到切平面算法与点到投影算法结合起来，提
出１种新的点到面算法。

此算法兼顾点到投影算法的
速度优势与点到面算法的精度优势，达到了快速、高效
的目的。

，
（ａ）点到点Ｐｏｎｉｔ－ｔｏ－ｐｏｉｎｔ
Ｃｏ）点到投影（ｃ）点到面
Ｐｏｎｉｔ－ｍ－ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎＰｏｎｉｔ－ｔｏ－ｓｕｒｆａ∞
图１３种确立初始对应点集的方法
Ｆｉｇ．１Ｔｈｒｅｅａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｅｓｔａｂｌｉｓｈ
ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｐｏｉｎｔｓ
２．３去除错误对应点对
采用上述方法确立的对应点集中会存在错误对应点对（或称为不可靠、不兼容点对），这种情况在算法迭代初期尤为明显。

严格来说，使用ＩＣＰ算法所确立的对应点集中可能没有一对是真正的“正确”点对，为此，需要引入１种评价标准或约束以去除错误对应点对，这是许多ＩＣＰ改进算法的关键，也是国内外诸多学者研究的重点。

区别于深度像可利用图像自身的灰度、颜色、纹理等辅助信息［１８－Ｚ１］，对于点云，能够利用的信息主要是点云自身的曲面几何特征。

下面主要从点云自身的几何特性与刚性运动一致性角度，对国内外现有的具有代表眭的典型方法进行分类分析。

（１）基于曲面几何特征的约束方法
此类方法基于的原理是：在不同视角下，被测物体同一位置的曲面几何特征应该保持不变。

此类约束中常用的几何特征有曲率、法矢等。

使用此类约束方法确立的对应点对一般正确率较高，故可达到较高的精度，但此类方法要求被测物体有较明显的特征，且由于存在提取曲面特征的过程，一般计算较为耗时，特别是点云点数较多时。

文献［－２２—２３］中提出１种ＩＣＣＰ（Ｉｔｅｒ—ａｔｉｖｅＣｌｏｓｅｓｔＣｏｍｐａｔｉｂｌｅＰｏｉｎｔ）算法。

此方法使用候选对应点间的曲率和法矢的夹角判断点对的兼容性。

例如文献［２３］中只保留法矢间夹角＜４５（。

）的候选对应点对参与最终的坐标变换求解。

Ｇｕｅｈｉｎｇ［２４］使用候选对应点对（Ｐ，口）间的距离结合法矢判断其可靠性。

当（ｐ，ｑ）满足ｌ｜ｐ—ｑ｜Ｉ＜幻且ｎｐ·ｎ。

＞乙时为正确对应点对。

其中幻、乙为预先设定的阈值，ｎ为法矢。

Ｓｈａｒｐ等［２５］提出１种ＩＣＰＩＦ（ＩｔｅｒａｔｉｖｅＣｌｏｓｅｓｔＰｏｉｎｔｓｕｓｉｎｇＩｎｖａｒｉａｎｔＦｅａｔｕｒｅｓ）算法。

此算法使用被测物体的欧氏空间不变量（曲率、矩不变量、球谐函数不变量等）确立对应点对。

算法中使用如下加权特征距离方程：
ｄ。

（ｐ，ｑ）一ｄ。

（ｐ，ｑ）＋ａ２ｄｆ（ｐ，口）（２）其中ｄ。

（ｐ，ｑ）表示ｐ与口的欧几里德距离，而ｄ，（ｐ，口）表示ｐ与ｇ在特征坐标系中的距离（特征坐标系的各分量由点的各种几何特征组成）。

这种基于欧氏空间不变量的ＩＣＰ改进算法能极大地提高确立对应点集的正确率，减少算法陷入局部极值的可能性。

Ｋａｓｅ等［２６］使用扩展高斯曲率（ＥｘｔｅｎｄｅｄＧａｕｓｓｉａｎＣｕｒｖａｔｕｒｅ）和１个匹配率方程判断点对（ｐ，ｑ）间的差异程度。

扩展高斯曲率定义为：
Ａ—Ｉ（ｋｌ（ｐ）－－ｋｉ（口））（ｋｚ（ｐ）－－ｋｚ（口））ｌ（３）其中ｋ１，ｋ２为主曲率。

Ｉ。

ｉｕ［２７］结合对应点间的共线性约束与临近性约束排除错误对应点对。

该算法基于如下原理：由于初始对应点对（ｐ，ｑ）表征被测物体上的同一个点，则经过旋转和平移变换后，２点的距离应该无限小，即接近０，而且２点的连线和测量光的光心０应该在同一条直线
万方数据
１期解则晓，等：三维点云数据拼接中ＩＣＰ及其改进算法综述１０１
上。

对于这２个性质，前者称为临近性约束，后者称为
共线性约束。

文中使用如下距离度量：
ｊ矗刮…一ｐ酽一等ｌ（４）
【Ｐ—ｌＩ口一ｐ｜Ｉ
ｄ表征共线性约束，ｅ表征临近性约束。

对确立的，ｚ个初始对应点对，设ｄ和ｅ的均值分别为乱ａ与ｕ。

，标准差分别为鳓和盯。

考虑到在实际应用中噪声的存在，采用容许条件ｌｄ一“ｄｌ＜志鳓和ＩＰ一幻Ｉ＜虹挑选对应点。

其中阈值ｋ由实验得到。

Ｂａｅ等［２８］提出１种ＧＰ—ＩＣＰＲ（ＧｅｏｍｅｔｒｉｃＰｒｉｍｉｔｉｖｅＩＣＰｗｉｔｈｔｈｅＲＡＮＳＡＣ）算法，利用曲面上ｌ点的曲率变化与对应点间的法矢的夹角确立对应点对。

算法中使用ｌ点及其ｋ个邻近点的协方差矩阵［２９］计算此点的曲率变化与法矢。

协方差矩阵的最小的特征值对应的特征向量为法矢，使用协方差矩阵的特征值计算曲率的变化。

此方法使用局部曲率的一阶微分代替曲率本身，在保证拼接精度的前提下提高了计算效率。

此外，“等∞０］提出了ＩＣＬ（ＩｔｅｒａｔｉｖｅＣｌｏｓｅｓｔＬｉｎｅ）算法与ＩＣＴ（ＩｔｅｒａｔｉｖｅＣｌｏｓｅｓｔＴｒｉａｎｇｌｅＰａｔｃｈ）算法，通过直接对两个点云中寻找对应线段或对应三角面片进行拼接。

相较于传统ＩＣＰ算法，此方法对初始位置的要求更低，但存在无法保证对应关系的缺陷。

（２）基于刚性运动一致性的约束方法
此类方法直接利用了刚性运动应保持被测物体重
叠区域对应点不变的原理。

此类约束常用的一致性准则有对应点间的距离、对应点对间的相邻关系等。

此类方法简便易行，计算效率较高，但确立的对应点集错误率较高。

Ｐａｊｄｌａ等［３’］提出１种ＩＣＲＰ（ｈｅｒａｔｉｖｅＣｌｏ—ｓｅｓｔＲｅｃｉｐｒｏｃａｌＰｏｉｎｔ）算法：对于点云Ｐ上ｌ点ｐ，其在Ｑ上的最近点为口，找到ｇ在Ｐ上的最近点Ｐ７，若ｌ｜ｐ—ｐ钏＞￡（ｅ为给定的阈值），则点对（ｐ，ｑ）被去除。

Ｄｏｒａｉ等［３２］利用候选对应点对间的距离约束排除错误对应点对：若（ｐ，，ｇ，）与（ｐ２，口２）为正确对应点对，则由刚性运动一致性约束应有ｌＩｐ，一ｑ。

ｌ｜一ＩＩ（口１一玑）Ｉ｝。

考虑到实际点云数据不可能完全满足上式，文中采用如下标准：
一≤蕊粮嚣告桦隔兰‰《㈣
‘Ｒｍａｘ（１Ｉ（ｐ１一ｐ２）ｌ｜，｛｛（ｑ１一ｑ２）｜｜）飞‘ｗ７其中ｔ为事先给定的阈值（文中取为１０％）。

文献［３３３中提出１种ＰＩＣＰ（ＰｉｃｋｙＩＣＰ）算法。

此算法对使用最近点对点方法找到的对应点集中的点对（ｐ，口），若｜Ｉｐ一口）ｌＩ＞ｅ盯，则点对（ｐ，ｇ）被去除。

其中盯为所有对应点对间距离的均值，￡为给定的阈值。

Ｌｉｕ在传统点到点ＩＣＰ算法基础上，结合点间几何关系（如相邻关系）等约束，在排除错误对应点对方面做了大量工作，提出了多种有效的约束条件［３¨８｜。

其中，文献［３８３中系统分析研究了方向性约束、刚性约束与匹配误差约束，并利用这３个约束有效去除了绝大部分错误对应点对。

对使用传统点到点ＩＣＰ算法确立的候选对应点对（ｐ，，ｑ，）与（Ｐｚ，ｇｚ），令ｅｌ一｜｜口，一Ｐ，）｜｜，有：
①方向性约束：
（ｐ２一肌）·（ｑｚ－－ｑ１）≥Ｏ（６）
②刚性约束：
ｌＩｑ２一口，ＩＩ≤２（Ｐ１＋１ｌｐ２一ｐ１０）（７）
③匹配误差约束：
ｌ｝口２一ｐｚｌ｜≤口１＋Ｉ｜ｐｚ—ｐ１ｌＩ（８）其中方向性约束会去除适中量的错误点对，刚性约束一般只能去除较少的错误点对，而匹配误差约束通常会去除过多的错误点对。

２．４坐标变换的求解
ＩＣＰ算法对最终确立的对应点集，一般采用最小二乘法迭代求解２片点云间的最优坐标变换。

对于旋转矩阵和平移矢量的求值，通常可采用以下４种方法：单位四元数法［３９１、奇异值分解法（ＳＶＤ）［４０］、正交矩阵法‘４１１和对偶四元数法‘４２ｌ。

Ｅｇｇｅｒｔ等［４３３从精度和稳定性方面对这四种方法做了比较，指出这４种方法的性能相差很小。

Ｕｍｅｙａｍａ［４４］提出１种改进的ＳＶＤ算法。

此改进算法相比于原ＳＶＤ算法，不易受噪声影响，算法稳定性更强且适用性更广。

Ｋａｎａｔａｎｉ［４５］亦对ＳＶＤ方法、单位四元数法和正交矩阵法进行了改进，取得了较好的效果。

３结论及展望
ＩＣＰ算法由于其简便、高效及良好的精度与稳定性，已成为精确拼接领域的基本算法。

本文基于目前ＩＣＰ算法的发展现状，将ＩＣＰ算法分为对原始点云数据进行采样、确定初始对应点集、去除错误对应点对及坐标变换求解４个阶段，并以这４个阶段为主线，对近年来国内外各种ＩＣＰ改进算法进行了系统的分析、研究与归纳。

这些改进算法主要试图解决ＩＣＰ算法的固有缺陷，即需要良好初始值及迭代过程中精确的对应关系，以避免算法陷入局部极值，保证算法的精度、收敛速度与稳定性。

故在ＩｃＰ算法４个阶段中，确立正确的对应点集（即确定初始对应点集及去除错误对应点）为ＩＣＰ改进算法的关键，这也是国内外诸多学者研究的重点。

此外，介于ＩＣＰ算法在确立对应关系时一般需进行大量耗时的搜索工作，国内外学者亦提出一些加速算法（如使用ｋ－ｄｔｒｅｅ）以提高ＩＣＰ算法的效率。

此外，目前的各种改进算法大多只能适用于一些特殊场合，在其他场合其性能一般无法令人满意，故提出１
万方数据
１０２中国海洋大学学报２０１０矩
种具有普遍适用性的ＩＣＰ算法仍将是本领域学者的研
究方向。

尽管近年来研究人员不断尝试将一些新方法
如遗传算法、进化算法等引入精确拼接过程中，提出了
一些富有创意的新算法，但可以预见，对ＩＣＰ算法的各
种改进在未来仍将会是精确拼接领域的研究重点与热
点。

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ｏｆｅｘｉｓｔｉｎｇＩＣＰａｎｄｉｔｓｖａｒｉａｎｔｓｉｓｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｆｏｕｒｓｔｅｐｓ：（１）ｓａｍｐｌｉｎｇｔｈｅｓｏｕｒｃｅｐｏｉｎｔｓ，（２）ｅｓｔａｂｌｉｓｈｉｎｇｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ，（３）ｒｅｍｏｖｉｎｇｔｈｅｕｎｒｅｌｉａｂｌｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ，（４）ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒ—ｍａｒｉｏｎｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｉｎｅａｃｈｓｔｅｐ，ｔｈｅｂａｓｉｃｉｄｅａｓａｎｄｋｅｙｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆｖａｒｉｏｕｓｔｙｐｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｃｌａｓｓｉ—ｆｌｅｄａｎｄａｎａｌｙｚｅｄ，ａｎｄｔｈｅｉｒａｄｖａｎｔａｇｅｓａｎｄｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓａｒｅｓｔｕｄｉｅｄａｎｄｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏａｃｃｕｒａ—ｃｙａｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｏｍｅｏｐｅｎｉｓｓｕｅｓａｎｄｒｅｌｅｖａｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄ
ｓｏｍｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｎｔｈｅｆｕｔｕｒｅｐｒｏｓｐｅｃｔｓａｒｅｐｒｏｖｉｄｅｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：３Ｄｐｏｉｎｔｃｌｏｕｄｓ；ｆｉｎｅｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ；ＩＣＰａｌｇｏｒｉｔｈｍ
责任编辑陈呈超万方数据
三维点云数据拼接中ICP及其改进算法综述
作者：解则晓， 徐尚， XIE Ze-Xiao， XU Shang
作者单位：中国海洋大学工程学院,山东,青岛,266100
刊名：
中国海洋大学学报（自然科学版）
英文刊名：PERIODICAL OF OCEAN UNIVERSITY OF CHINA
年，卷(期)：2010，40(1)
被引用次数：0次
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1.学位论文徐尚三维点云数据拼接与精简技术的研究2009
逆向工程技术是进行产品设计、开发和创新的先进制造技术，其已发展成为CAD中一个相对独立的范畴。

三维点云数据处理技术是逆向工程中的关键技术之一，其中数据拼接与精简技术是数据处理的两个重要组成部分，决定着后续曲面建模的质量和效率，具有十分重要的研究意义。

本文对逆向工程中三维点云数据的拼接和精简技术做了深入细致地研究，主要的研究内容有以下几个方面：
1.提出并实现了一种基于曲面拟合的精确拼接ICP算法一双向插补点到面ICP算法。

针对经粗拼接后大致对准到同一坐标系下的两片点云，首先对其重叠区域进行B样条曲面拟合，使用插补出的点确立初始对应点集；提出“辅助点对”约束，并结合曲率约束去除错误对应点对，此方法将刚性运动一致性与几何特征不变性相结合以提高确立对应点集的正确率；对最终确立的对应点集，使用最小二乘法进行坐标变换迭代求解。

2.针对三维网格法与曲率精简法的特点，根据实际工程应用中的需求，提出并实现了一种将基于八叉树的非均匀网格精简法与基于B样条曲面拟合的曲率精简法相结合的二次精简算法。

3.根据理论研究成果，在WindowsXP平台上采用MicrosoftVisualC++6.0和OpenGL进行了系统集成开发。

实验结果表明，数据拼接方面，本课题提出的改进ICP算法可以有效地提高确立对应点集的正确率，从而极大地提高了数据拼接的精度。

经本算法拼接后的点云不仅具有较小的拼接误差均值与标准差，而且在重叠区域均匀交叉渗透，拼接误差在空间上均匀分布。

数据精简方面，本文提出的二次精简
算法可在有效保留曲面关键特征的同时达到较高的精简率，并且拥有较好的计算效率。

本文的创新之处在于，数据拼接方面，提出了一种新的基于B样条曲面拟合的精确拼接ICP算法；提出了“辅助点对”约束，并结合曲率约束去除错误对应点对。

数据精简方面，提出了将非均匀网格法与曲面曲率法相结合的二次精简算法。

本文链接：/Periodical_qdhydxxb201001019.aspx
授权使用：上海交通大学(shjtdxip)，授权号：25b69b0c-7944-493e-8048-9e5500ad9a0e
下载时间：2010年12月23日。