第12讲.二次函数的基本知识.学生版

一、 一次函数的定义
1.一般地，形如 2
y ax bx c =++（a b c ，
，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实
数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的性质
1．二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：
（1） 抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）. （2） 函数2y ax =的图像与a 的符号关系.
① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；
2. 2y ax c =+的性质：
知识点睛
中考要求
二次函数基础
3.二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）的相关性质
若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）(0a ≠)，则：
（1） 开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩
向上向下， （2） 对称轴：2b
x a =-（或x h =），
（3） 顶点坐标：2
4(,)24b ac b a a
--（或(,)h k ）
（4） 最值：
0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值2
44ac b a
-（或k ）（如图2）；
图2
（5）单调性：二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）
① 如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2b
x a
>- ，
y 随x 的增大而增大； ② 如图2所示，当0a <时，对称轴左侧2b x a <-
， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b
x a
>-，y 随x 的增大而减小；
（6）与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）
成立的x 值.
3. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴
的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
三、二次函数的图像与系数关系
1. a 决定抛物线的开口方向：
当0a >时⇔抛物线开口向上；当0a <时⇔抛物线开口向下
a 决定抛物线的开口大小：
a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大.
注：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反
数，则形状相同、开口相反.
2. b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2b x a
=-
） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；
当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧.
3. c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.（抛物线与y 轴的交点为()0c ，
） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴.
重点：二次函数()2
y a x h k =-+的图象及性质；
难点：理解a h k 、、对二次函数()2
y a x h k =-+性质的影响。

板块一 二次函数的定义
【例1】 判断下列函数是不是二次函数.如果不是，请说出为什么.
⑴225y xz =++； ⑵258y x x =-+-； ⑶2
y m x x =+(m 是常数)；
⑷2(32)(43)12y x x x =+--； ⑸2y a x b x c =++； ⑹21y b x =+（b 是常数，0b ≠）
； ⑺220y x kx =++（k 为常数）； ⑻225
6y x x
=++
【巩固】下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，并画出函
数的图像。

(1)2
y x = (2) 21y x
=-
(3) 2
21y x x =-- (4)(1)y x x =-
(5)2
(1)(1)(1)y x x x =--+-
重、难点
例题精讲
【例2】 ⑴ 已知函数2
222()(32)2m
m
y m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？
⑵ 已知函数2y ax bx c =++
① 当a ，b ，c 是怎样的数时，它是一次函数？
② 当a ，b ，c 是怎样的数时，它是正比例函数？ ③ 当a ，b ，c 是怎样的数时，它是二次函数？
【补充】⑴ 正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y .求y 与x 之间的函数关系式.
⑵（07自贡）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均
每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为
（ ）
A. 2(1)y a x =-
B. 2(1y a x =-
2C. (1)y
a x =- 2D. (1)y a x =- 【巩固】有一边长为5米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为x
米，一边为2x 米，求矩形的面积y 与x 的关系表达式
.
板块二 二次函数图像及相关性质
1.画二次函数图象
【例3】 ⑴ 在同一直角坐标系下，画出二次函数2221
2
y x y x y x ==-=-，，和22y x =的图象．
⑵ 在同一直角坐标系下，画出二次函数221y x y x ==+，和21y x =-的图象．
【巩固】画出下列函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值
⑴ 23(2)1y x =+-； ⑶ 21
212
y x x =-+；⑵
2288y x x =-+-
2.二次函数的顶点、最值及单调性
【例4】 ⑴ 若二次函数2
2m y mx -=有最大值，则m =________.
⑵ 若二次函数2
1m y mx +=有最小值，则m =________.
【巩固】（09衢州）二次函数2
(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是 ( )
A ．(-1，-2)
B ．(1，-2)
C ．(-1，2)
D ．(1，2)
【巩固】已知点()5A a b +-，
与点()13B a b -，关于原点对称，求函数2y x ax b =++的顶点坐标.
【巩固】⑴已知二次函数2y x bx c =++中，与x 的部分对应值如下表：
求当⑵（08包头）已知抛物线223y kx kx k =+-有最大值4，求抛物线的解析式．
⑶ 已知：二次函数2y ax b =-和2y bx a =-分别有最大值、最小值，则2y bx a =-和2y ax b =- 的图像有 个交点．
【巩固】 ⑴ 已知二次函数()23y a x b =--和()2
5y b x a =+-分别有最大值、最小值，则这两个二次
函数的图像有 个交点；
⑵ 已知二次函数()2
110y a x b =-++和()2
250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两
个二次函数的图像有 个交点。

⑶ 已知抛物线25y x ax =++有最小值4，求抛物线的解析式．
【巩固】设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．
⑴ 抛物线的顶点在x 轴上； ⑵ 抛物线的顶点在y 轴上； ⑶ 抛物线经过点(1,2)--；
⑷ 抛物线经过原点； ⑸ 当1x =-时，y 有最小值； ⑹ y 的最小值为1-．
【例5】 ⑴ 求函数221y x x =-+的最小值是 ．
⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；
⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值．
【巩固】试求()()()()12345y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值．
【例6】 抛物线2244y x x =-+的对称轴为22x m n =-，函数的最小值是43n m -，求实数m ，n 的值.
【例7】 设23y x ax a =++-，
⑴ 当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；
⑵ 当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．
【巩固】已知函数222y x x =-+在1t x t ≤≤+范围内的最小值为s ，写出函数s 关于t 的函数解析式，并求出s 的取值范围.
【例8】 ⑴（07通州）已知点()15A x ，
，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时， 函数值y =___________.
⑵ 已知22934y x x =++，当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，则当12x x x =+时的值（ ）
A.与1x =的函数相等.
B.与0x =的函数相等.
C.与14x =的函数相等.
D.与9
4
x =-的函数相等.
【例9】
2
3m -
⑵ 二次函数2
52(1)m m y m x --=-在其图象对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____.
【例10】 已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（ ）
A. 123y y y <<
B. 132y y y <<
C. 321y y y <<
D. 213y y y <<
巩固】⑴已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）
． A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y << D ．132y y y <<
⑵若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫
⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，
3y 的大小关系是
A ．123y y y <<
B ．213y y y <<
C ．312y y y <<
D ．132y y y <<
3.二次函数图象与系数的关系
【例11】 ⑴已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限
D. 第一、三、四象限 ⑵若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）
A. 2-
B.
C. 1
D.
⑶已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，
在第 象限
.
【巩固】已知二次函数2y ax bx c =++的
与x 的部分对应值如下表：
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线与y 轴交于负半轴
C. 当4x =时，0y >
D. 方程20ax bx c ++=的正根在3与4之间
【例12】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：
①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->
其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤
【巩固】已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；
②20a b +>；③0a b c -+<；④0a c +>， 其中正确结论的个数为（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
．
【例13】 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：22()a c b +<
【例14】 2y ax bx c =++的图象如图所示．并设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--则（ ） A ．0M > B ．0M =
C ．0M <
D ．不能确定M 为正，为负或为0
【巩固】二次函数2
=++的图象的一部分如图所示，求a的取值范围
y ax bx c
【巩固】已知抛物线2
=++的一段图象如图所示．
y ax bx c
⑴确定a、b、c的符号；
⑵求a b c
++的取值范围．
家庭作业
【习题1】（09新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）
A ．h m =
B ．k n =
C ．k n >
D ．00h k >>，
【习题2】
（09浙江湖州）已知抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点
()()1212y y -，，，， 试比较1y 和2y 的大小：1y ____2y （填“>”，“<”或“=”）
【习题3】 已知二次函数22222()y x a b x a b =-+++，,a b 为常数，当y 达到最小值时，x 的值为（ ）
（A ）a b + （B ）
2a b + （C ）2ab - （D ）2
a b
- 【习题4】 ⑴ 下左图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数b
y ax c
=-
的图象不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如下右图所示，试求a b c ++的取值范围.
⑶（2008天津）已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【习题5】
（1） 已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点()14A -，
和()21B ，，且与x 轴有两个不同的交点，求b c +的最大值．
（2）二次函数2y ax bx c =++的图象一部分如下图，求a 的取值范围．
【备选1】
函数()()22
13a y a x
a x a +=++-+
（1）当a 取什么值时，它为二次函数。

（2）当a 取什么值时，它为一次函数。

月测备选
【备选2】 抛物线()()213y x x =+-的顶点坐标是( ).
(A) (-1,-3); (B) (1,3); (C) (-1,8); (D) (1,-8);
【备选3】 已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y
轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________.
【备选4】 已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）
【备选5】
在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）
【备选6】 分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值：
⑴ x 取任意实数；⑵ 当20x -≤≤时；⑶ 当13x ≤≤时；⑷ 当12x -≤≤时．。