第三节 全微分
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因而
ω ∆x ∆xz ω ) ⋅ ) = lim0( A + lim = lim ( A + ∆ x→ ∆ x ∆x ∆ x→0 ∆x → 0 ∆ x ∆x
ω ρ ) = A, = A + lim ( ⋅ ∆ x →0 ρ ∆ x
∂z 即 A= ∂x ,
( x0 , y0 )
∂z 同理可证 B = ∂y
所以
dz = 2 yx
2 y −1
dx + 2 x
2y
ln x dy .
y z 例 3 求函数 u = x + sin + arctan 的全微分 的全微分. 2 y
2
解 因为
∂u y ∂u y z ∂u 1 = 2x , , = 2 , = cos − 2 2 2 ∂x ∂z y + z ∂y 2 2 y +z
即
dz = A∆ x + B∆ y
这时， 这时，也称函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处可微 可微. )在点( 如果函数 z = f (x , y)在区域 D 内每一点都可 ) 微，则称函数 z = f (x , y)在区域 D 内可微 内可微. )
定理 1 证 可得
在点( 如果函数 z = f (x , y )在点(x0 , y0 )处可
.
( x0 , y0 )
由此可知， 处可微时， 由此可知，当 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处可微时， 必有
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y, ∂ x ( x0 , y0 ) ∂ y ( x0 , y0 )
规定 ∆ x = dx , ∆ y = dy , 则 像一元函数一样， 像一元函数一样，
∂z ∂z ， 存在， 处的偏导数 存在， 而且 ∂x ∂ y
∂z A= , ∂ x ( x ,y )
0 0
∂z B= ∂ y (x
.
0
, y0 )
证
处可微， 因为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 = A ∆ x + B∆ y + ω , ω 其中 A，B 与 ∆x，∆y 无关， lim = 0 . ， ， 无关， ρ →0 ρ
处的微分， 处的微分， 这时称函数在点 x0 处可微 处可微.
∆x
∆ = 0 , 那么 A∆x 是函数 y = f (x) 在x = x 0
类似的， 二元函数全微分的定义为: 类似的， 二元函数全微分的定义为 定义 如果二元函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 的全增量∆ z可以表示为 A∆x + B∆ y + ω , 即
第九章 多元函数微分学 第三节 全微分
处的微分是指： 一元函数 y = f (x) 在点 x = x0 处的微分是指： 如果函数在 x = x0 处的增量 ∆ y 可以表示成
∆ y = A ∆x + α ,
的高阶无穷小， 无关， 其中 A 与 ∆x 无关， α 是 ∆x 的高阶无穷小，
即 lim
α
∆x → 0
∆ z = A∆ x + B∆ y + ω ,
ω 是 ρ = (∆ x )2 + (∆ y ) 2 无关， 其中 A，B 与 ∆x，∆y 无关， ， ω 的高阶无穷小， 的高阶无穷小，即 lim = 0 , 则称 ρ →0 ρ
A∆ x + B∆ y
处的全微分 记为dz 全微分， 为函数 z = f(x , y) 在点 (x0 , y0) 处的全微分， 记为 ，
∆ x →0 ∆ y→0
lim ∆ z = lim ( A∆ x + B∆ y ) + lim ω = 0 .
∆ x→0 ∆ y →0
ρ →0
处连续. 即函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处连续
) 可微的必要条件) 定理 2 (可微的必要条件) 如果函数 z = f (x , y) )在点( 在点( 处可微， 在点(x0 , y0)处可微， 则函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)
∂z dz = ∂x
∂z ∆ x+ ∂y ( 2 ,1)
∆y
( 2 ,1)
= −0.25 × 0.1 + 0.5 × ( −0.2) = −0.125 .
2y 例 2 求函数 z = x 的全微分 dz .
解
因为
∂z ∂z 2 y −1 , = 2 yx = 2 x 2 y ln x , ∂x ∂y
所以
1 y z y du = 2 xdx + ( cos − 2 )dy + 2 dz . 2 2 2 2 y +z y +z
上式对任意的 ∆x，∆y 都成立， 则当 ∆y = 0 ， 都成立， 时也成立， 时也成立， 这时全增量转化为偏增量
∆ x z = f ( x 0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = A∆ x + ω ,
而 ρ = ∆ x , 两端同除以 ∆x 得
ω ∆ xz = A+ , ∆x ∆x
∂z ∂z dz = dx + dy . ∂ x ( x0 , y0 ) ∂ y ( x0 , y0 )
可微的充分条件) 定理 3 (可微的充分条件)
如果函数z 如果函数 = f (x, y) ) 连续， 连续，
∂z ∂z 在点( ， 在点(x0 , y0)的某一邻域内偏导数 ∂x ∂ y
则函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )处可微 在点( 处可微.
解 全增量
y + ∆ y y 1 − 0 .2 1 − ≈ −0.119 . ∆z = − = x + ∆ x x 2 + 0 .1 2
因为
y ∂z =− 2 ∂ x（2，） x 1
( 2 ,1)
1 = −0.25 , =− 4
∂z ∂y
所以全微分
( 2 ,1)
1 = x
( 2 ,1)
1 = = 0.5 . 2
微， 则函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处连续 处连续. )在点( 在点(x 处可微， 由函数 z = f (x , y)在点 0 , y0)处可微， 在点 处可微
ω lim ∆ z = A∆x + B∆ y + ω , 其中 ρ → 0 = 0 , ρ
ρ →0
因为 lim ω = 0 , 所以
二元函数全微分的概念可以类似地推广到二元 以上的函数， 以上的函数，例如三元函数 u = f (x , y , z)， 如果三 ，
∂u ∂u ∂u 连续， 个偏导数 连续， 则它可微且全微分为 , , ∂ x ∂ y ∂z
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
y 例 1 求函数 z = 在点 (2 , 1) 处当 ∆ x = 0.1 , x 时的全增量与全微分. ∆ y = − 0.2 时的全增量与全微分
ω ∆x ∆xz ω ) ⋅ ) = lim0( A + lim = lim ( A + ∆ x→ ∆ x ∆x ∆ x→0 ∆x → 0 ∆ x ∆x
ω ρ ) = A, = A + lim ( ⋅ ∆ x →0 ρ ∆ x
∂z 即 A= ∂x ,
( x0 , y0 )
∂z 同理可证 B = ∂y
所以
dz = 2 yx
2 y −1
dx + 2 x
2y
ln x dy .
y z 例 3 求函数 u = x + sin + arctan 的全微分 的全微分. 2 y
2
解 因为
∂u y ∂u y z ∂u 1 = 2x , , = 2 , = cos − 2 2 2 ∂x ∂z y + z ∂y 2 2 y +z
即
dz = A∆ x + B∆ y
这时， 这时，也称函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处可微 可微. )在点( 如果函数 z = f (x , y)在区域 D 内每一点都可 ) 微，则称函数 z = f (x , y)在区域 D 内可微 内可微. )
定理 1 证 可得
在点( 如果函数 z = f (x , y )在点(x0 , y0 )处可
.
( x0 , y0 )
由此可知， 处可微时， 由此可知，当 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处可微时， 必有
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y, ∂ x ( x0 , y0 ) ∂ y ( x0 , y0 )
规定 ∆ x = dx , ∆ y = dy , 则 像一元函数一样， 像一元函数一样，
∂z ∂z ， 存在， 处的偏导数 存在， 而且 ∂x ∂ y
∂z A= , ∂ x ( x ,y )
0 0
∂z B= ∂ y (x
.
0
, y0 )
证
处可微， 因为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 = A ∆ x + B∆ y + ω , ω 其中 A，B 与 ∆x，∆y 无关， lim = 0 . ， ， 无关， ρ →0 ρ
处的微分， 处的微分， 这时称函数在点 x0 处可微 处可微.
∆x
∆ = 0 , 那么 A∆x 是函数 y = f (x) 在x = x 0
类似的， 二元函数全微分的定义为: 类似的， 二元函数全微分的定义为 定义 如果二元函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处 的全增量∆ z可以表示为 A∆x + B∆ y + ω , 即
第九章 多元函数微分学 第三节 全微分
处的微分是指： 一元函数 y = f (x) 在点 x = x0 处的微分是指： 如果函数在 x = x0 处的增量 ∆ y 可以表示成
∆ y = A ∆x + α ,
的高阶无穷小， 无关， 其中 A 与 ∆x 无关， α 是 ∆x 的高阶无穷小，
即 lim
α
∆x → 0
∆ z = A∆ x + B∆ y + ω ,
ω 是 ρ = (∆ x )2 + (∆ y ) 2 无关， 其中 A，B 与 ∆x，∆y 无关， ， ω 的高阶无穷小， 的高阶无穷小，即 lim = 0 , 则称 ρ →0 ρ
A∆ x + B∆ y
处的全微分 记为dz 全微分， 为函数 z = f(x , y) 在点 (x0 , y0) 处的全微分， 记为 ，
∆ x →0 ∆ y→0
lim ∆ z = lim ( A∆ x + B∆ y ) + lim ω = 0 .
∆ x→0 ∆ y →0
ρ →0
处连续. 即函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处连续
) 可微的必要条件) 定理 2 (可微的必要条件) 如果函数 z = f (x , y) )在点( 在点( 处可微， 在点(x0 , y0)处可微， 则函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)
∂z dz = ∂x
∂z ∆ x+ ∂y ( 2 ,1)
∆y
( 2 ,1)
= −0.25 × 0.1 + 0.5 × ( −0.2) = −0.125 .
2y 例 2 求函数 z = x 的全微分 dz .
解
因为
∂z ∂z 2 y −1 , = 2 yx = 2 x 2 y ln x , ∂x ∂y
所以
1 y z y du = 2 xdx + ( cos − 2 )dy + 2 dz . 2 2 2 2 y +z y +z
上式对任意的 ∆x，∆y 都成立， 则当 ∆y = 0 ， 都成立， 时也成立， 时也成立， 这时全增量转化为偏增量
∆ x z = f ( x 0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = A∆ x + ω ,
而 ρ = ∆ x , 两端同除以 ∆x 得
ω ∆ xz = A+ , ∆x ∆x
∂z ∂z dz = dx + dy . ∂ x ( x0 , y0 ) ∂ y ( x0 , y0 )
可微的充分条件) 定理 3 (可微的充分条件)
如果函数z 如果函数 = f (x, y) ) 连续， 连续，
∂z ∂z 在点( ， 在点(x0 , y0)的某一邻域内偏导数 ∂x ∂ y
则函数 z = f ( x , y )在点( x0 , y0 )处可微 在点( 处可微.
解 全增量
y + ∆ y y 1 − 0 .2 1 − ≈ −0.119 . ∆z = − = x + ∆ x x 2 + 0 .1 2
因为
y ∂z =− 2 ∂ x（2，） x 1
( 2 ,1)
1 = −0.25 , =− 4
∂z ∂y
所以全微分
( 2 ,1)
1 = x
( 2 ,1)
1 = = 0.5 . 2
微， 则函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处连续 处连续. )在点( 在点(x 处可微， 由函数 z = f (x , y)在点 0 , y0)处可微， 在点 处可微
ω lim ∆ z = A∆x + B∆ y + ω , 其中 ρ → 0 = 0 , ρ
ρ →0
因为 lim ω = 0 , 所以
二元函数全微分的概念可以类似地推广到二元 以上的函数， 以上的函数，例如三元函数 u = f (x , y , z)， 如果三 ，
∂u ∂u ∂u 连续， 个偏导数 连续， 则它可微且全微分为 , , ∂ x ∂ y ∂z
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
y 例 1 求函数 z = 在点 (2 , 1) 处当 ∆ x = 0.1 , x 时的全增量与全微分. ∆ y = − 0.2 时的全增量与全微分