基本不等式培优专题

x y 1
3
13.已知正实数 x, y ,满足 1 2 1 ，则 xy 的最大值为__________, 3 2
(2x y) y (x 2y)x
2
补充：已知正实数 x, y ,则
6xy x2 9y2
2xy x2 y2
的最大值为__________,
3
三、换元法
14.已知实数 x y 0 ,满足 x y 1，则 1 1 的最小值为__________, 3 2 2
21.已知实数
x
0,
y
0
,满足
1 x
1 y
1，则
4x x 1
9y y 1
的最小值为__________,25
22.已知实数 x, y ，满足 4x 9y 1 ，则 2 x13y1 的取值范围为__________, (2, 13]
23.已知实数 x, y ，满足 4x 4y 2x1 2y1 ，则 S 2 x 2y 的取值范围为__________, (2, 4]
一、常规配凑发
1.已知 2a 4b 2(a, b R) ，则 a 2b 的最大值为__________,0
2.已知实数 x, y ,满足 x2 y2 1，则 x 2 y 2 的最大值为__________, 9
16
4
3. 已 知 不 等 式 (x my)( 1 1 ) 9 对 任 意 正 实 数 x, y 恒 成 立 ， 则 正 实 数 m 的 最 小 值 xy
______,4
4.已知实数 x, y ,满足 x 1 ，则
x y
x
1
1
y
的最小值为__________,1
5.已知实数 x 0, y 0 ,满足 2 3 xy ，则 xy 的最小值为__________, 2 6 xy
6.已知实数
x
y
0
,满足
x
y
1，则
x
4
y
1 2y
的最小值为__________,9
基本不等式培优专题
目录：
培优点一：常规配凑法
培优点二：常量代换
培优点三：换元法
培优点四：和、积、平方和三量减元
培优点五：轮换对称和万能 k 法
培优点六：消元法（必要构造函数求导）
培优点七：不等式算两次
培优点八：齐次化
培优点九：待定与技巧性强的配凑
培优点十：多元变量的不等式最值问题
培优点十一：不等式综合问题
33 12
小值为__________,
2
26.已知实数
x,
y
,满足
x
y
2
，则
1 x2 1
1 y2 1
的最大值为__________,
2 1 2
27.已知正实数 x, y ,满足 x2 4 y2 x 2 y 1 ，则 xy 的最大值为__________, 2 3 4
28.已知实数
x,
y
,满足
5
35.已知正实数 x, y ,满足 9x2 y2 1 ，则 xy 的最大值为__________, 2
3x y
12
36.已知实数 x, y, z ,满足 x y z 0 ， x2 y2 z2 1则 x 的最大值为__________, 6 3
7.已知实数
x
0,
y
0
,满足
1 x 1
1 y 1
1，则
x
2y
的最小值为__________,
2
2
二、“1”的代换
8.已知实数 x y 0 ,满足 x y 1，则 y 1 的最小值为__________3,此时 x _____ 1
xy
2
9.已知实数 x y 0 ,满足 2x 1 1，则 2 y 的最小值为__________，9
y
x
10.已知实数
x
y
0
,满足
x
y
2
，则
x
4 3y
x
1
y
的最小值为__________,
9 4
11.记 max{x, y, z} 表示 x, y, z 中的最大数，若 x 0, y 0 ，则 max{x, y, 1 3} 的最小值 xy
为______,2
12.已知实数 x y 0 ,满足 x y 2 ，则 x2 2 y2 2 的最小值为__________, 2 2
x y
4y x
1 xy
2 ，则
x
2xy 2y 1
的最大值为__________,
23 3
1
29. 已 知 非 零 实 数 x, y , 满 足 x2 4 y2 4xy 4x2 y2 32 ， 则 x 2 y 的 最 小 值 为
__________4, 7 (x 2 y) 2xy 的最大值为__________,16
xy
1
的最大值为__________,
2x y 1
6
五、轮换对称与万能 k 法
33.已知实数 x, y ,满足 x2 4 y2 xy 1 ，则 x 2 y 的最大值为__________, 2 10 5
34.已知正实数 x, y ,满足 2x y 2 ，则 x
x2
y2
8
的最小值为__________,
30.已知正实数
x,
y
,满足
x
y 2
xy
4
，则
x2
y2
xy 1 2xy
17
的取值范围为______,
(1 17
,
3] 25
31.已知正实数 x, y ,满足 2x 3y xy 42 ，则 xy 5x 4 y 的最小值为__________,55
32.已知正实数 x, y ,满足 (2x y)2 1 6xy ，则
1 x 1 y
3
18.已知实数 x 0, y 0 ,满足 2x y 2 ，则 4x2
y2
4
的最小值为__________,
1 y 2 2x
5
19.已知实数
x
0,
y
0
,满足
1 x
1 y
1，则
1________,6
20.已知实数 x, y ,满足 x y xy 3 ，且 x 1 ，则 y(x 8) 的最小值为__________,25
1 x 12y
5
15.已知 log2 (a 2) log2 (b 1) 1 ，则 2a b 取到最小值时 ab ________ 9
16.已知实数
2x
y
0
,满足
1 2x
y
x
1 2y
1 ，则
x
y
的最小值为________,
4
2 5
3
17.已知实数 x y 0 ,满足 x y 1，则 x y 的最大值为__________, 2
四、和、积、平方和三量减元
24.已知实数 x, y ,满足 x y 4 ，则 xy 的最大值为__________4, (x2 1)( y2 1) 的最小值为
__________,16
25.已知实数 x 0, y 0 ,满足 xy(x y) 4 ，则 xy 的最大值为_________ 3 4 _, 2x y 的最