平面几何基本定理

一．平面几何
1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定
理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．
2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC
的边BC
的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2
222
22a c b m a
-+=
4． 垂线定理：2
2
2
2
BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥ 高
线长：
C b B c A a
bc
c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=
5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应
成比例．
6． 如△ABC
中，AD 平分∠BAC ，则AC
AB DC
BD =；（外
角平分线定理） 角平分线长：2
cos 2)(2
A
c b bc a p bcp c
b t a +=
-+=（其中p 为周长一半）
7． 正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，
（其中R 为三角形外接圆半径）
8． 余弦定理：C ab b a c
cos 2222
-+=
9． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin
10．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC
及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有
AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD
11．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等
于圆心角的一半．（圆外角如何转化）
12．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周
角
13．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割
线定理（割线定理）：切线长定理：）
14．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆
内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边
15．点到圆的幂：设
P 为⊙O 所在平面上任意
一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2－
r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆
的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相
交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”
这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
16．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD
17．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．
18．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，
当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点
19．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心
20．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:
21．（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外
接圆半径之半
（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点
（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕
22．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、
九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧
拉线）上．
23．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半
径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距
离为d ，则d 2
=R 2
－2Rr ．
24．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的
和等于外心到各边距离的和．
25．重心：三角形的三条中线交于一点，并且
各中线被这个点分成2：1的两部分；
)3
,3(
C B A C B A y y y x x x G ++++
重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，
则1:2:=GD AG ；
（2）设G 为△ABC 的重心，则
ABC ACG
BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===3
1
（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE
∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则
2;32=++===AB
KH
CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE （4）设G 为△ABC 的重心，则
2
22222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)
(3
1
222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为
△ABC 内任意一点）；
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是
重心，即222GC GB GA ++最小；
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重
心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G
为△ABC 的重心）．
26．垂
心：三角形的三条高线的交点；
cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C
c
B b A a c
y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H B A C B A +++
+++++垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍
（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称
点，均在△ABC 的外接圆上；
（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等
圆；
（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂
心
，
HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,
27．内心：三角形的三条角分线的交点—内接
圆圆心，即内心到三角形各边距离相等
),(
c
b a cy by ay
c b a cx bx ax I C
B A
C B A ++++++++
内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则
I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然
（2）设I 为△ABC 的内心，则
C
AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2
1
90,2190,2190（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆
于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，
则I 为△ABC 的内心
（4）设I 为△ABC 的内心，
,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC
于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则
a
c
b KD IK KI AK ID AI +=
== （5）设I 为△ABC 的内心，
,
,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上
的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，
令)(2
1c b a p ++=①pr S ABC =∆；②c
p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．
28．外心：三角形的三条中垂线的交点——外
接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；
2sin 2sin 2sin 2sin ,
2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (
B A By Ay
C B A Cx Bx Ax O B
A C
B A +
++++++
外心性质：（1）外心到三角形各顶点距
离相等
（2）设O 为△ABC 的外心，则
A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360
（3）∆
=
S abc
R 4；（4）锐角三角形
的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和
29．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点
——旁切圆圆心；设△ABC 的三边
,,,c AB b AC a BC ===令)(2
1
c b a p ++=
，
分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为
C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性
质：（1）
,2
1
,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-
︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）
（2）)(2
1C A I I I C B A ∠+∠=∠
（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）
（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．
30．三
角形面积公式C B A R R
abc
C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====
∆)
cot cot (cot 42
22C B A c b a ++++=
))()((c p b p a p p pr ---==，
其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，
)(2
1
c b a p ++=
31．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的
相互关系
;
2
sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C
B A R r
C B A R r C B A R r C B A R r c b a ====
.1
111;2
tan
2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===
32．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、
R 则有
1=⋅⋅RB
AR
QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 33．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的
∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线
34．梅涅劳斯定理的应用定理
2：过任意△ABC
的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、
R ，则P 、Q 、R 三点共线
35．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、
CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA
=1 36．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC
的
边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是
D 、
E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过
边BC 的中点M
37．塞瓦定理的逆定理：（略）
38．塞瓦定理的逆定理的应用定理
1：三角形
的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点
39．塞瓦定理的逆定理的应用定理
2：设△ABC
的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、
S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．
40．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）
41．西摩松定理的逆定理：（略）
42．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上
43．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点
44．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．
45．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．
46．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中
点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．
47．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．48．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．
49．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．
50．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．
51．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C 三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．
52．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．
53．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．
54．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、
E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、
M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点
55．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外
接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．57．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．
58．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB 的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）
59．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．
60．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶
点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心
61．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点
62．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．
63．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D 四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．
64．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D 四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD 的康托尔点．
65．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点
关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．
66．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．
67．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．68．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．
69．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD 和FA的（或延长线的）交点共线．70．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．
71．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角
形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．
72．密格尔（Miquel ）点： 若
AE 、AF 、ED 、
FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六
点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．
73．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC
的内切圆
分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、
BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点． 74．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O
是三
角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角
形的面积，其公式： 2
22ABC
D 4||R d R S S
EF
-=
∆∆．
二．集合
1.元素与集合的关系
U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B
==3.包含关系
A B A A B B
=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆
U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
4.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真
子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.
5.集合A 中有M 个元素，集合B 中有N 个元素，则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射；
6.容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()
card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C
A card A
B
C ---+
.
三．二次函数，二次方程 1·二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2·解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式
()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<
⇔|()|22
M N M N
f x +--
<⇔
()0()f x N M f x ->- ⇔
11
()f x N M N
>--. 3·方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且
2
2211k k a b
k +<-
<,或
)(2=k f 且
22122k a
b
k k <-<+. 4·闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间
[]q p ,上的最值只能在a
b
x 2-
=处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若[]q p a
b
x ,2∈-
=，则{}min max max ()(),()(),()2b
f x f f x f p f q a
=-=； []q p a
b
x ,2∉-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min
min ()(),()f x f p f q =.
(2)当a<0时，若[]q p a
b
x ,2∈-=，则
{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a
b
x ,2∉-=，
则{}
max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.
5·一元二次方程的实根分布
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .
设q px x x f ++=2)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根
的充要条件为0)(=m f 或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的
充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402
f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪
⎨-≥⎪
⎪<-<⎪⎩或
()0()0f m af n =⎧⎨
>⎩或()0
()0f n af m =⎧⎨>⎩
； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的
充要条件为()0f m <或2
40
2
p q p m ⎧-≥⎪
⎨-<⎪⎩ .
6·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.
(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立
的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.
(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要
条件是0
00a b c ≥⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.
四．简易逻辑
1
2
3
原命题 互逆
逆命题
逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
4·充要条件
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
五．函数
1·· 函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
2·如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义
图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域
包括0，则必有f(0)=0; 4若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.
5
· 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则
函数)(x f 的对称轴是函数2
b
a x +=
;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b
a x +=对称. 6·若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象
关于点)0,2
(a
对称; 若)()(a x f x f +-=,则函
数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
7 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇
偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8 函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线
2
a b
x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=. 9
两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=
对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于
直线y=x 对称.
10 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 11 互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =⇔=-)()(1.
12若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函
数为])([1
1b x f k
y -=-,并不是)([1b kx f y +=-,
而函数)([1b kx f y +=-是])([1
b x f k
y -=的反函
数.
13 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
()
(0)1,lim
1x g x f x
→==. 14
几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或
)0)(()
(1
)(≠=+x f x f a x f ，
或1
()()
f x a f x +=-(()0)
f x ≠,
或[]1
(),(()0,1)2
f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；
(3))0)(()
(1
1)(≠+-=x f a x f x f ，则)
(x f 的周期T=3a ；
(4)
)
()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=
+且
1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则
)(x f 的周期T=4a ；
(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++ ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；
(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.
六 指数与对数
1·分数指数幂
(1)m n
a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.
(2)1
m n
m n
a
a
-=
（0,,a m n N *>∈，且1n >）.
2·根式的性质
（1
）n a =.（2）当n
为奇数时，
a =；当n
,0
||,0a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
. 3·有理指数幂的运算性质
(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.
(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.
注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 4·指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
5·对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论 log log m
n a a n
b b m
=
(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).
6·对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)
log ()log log a a a MN M N
=+;(2)
log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.
7·设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 8·对数换底不等式及其推广 若0a >,0b >,0x >,1
x a
≠
,则函数log ()ax y bx =
(1)当a b >时,在1
(0,)a
和1(,)a
+∞上
log ()ax y bx =为增函数.
，
(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a
+∞上
log ()ax y bx =为减函数.
推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则
（1）log ()log m p m n p n ++<.（2）
2
log log log 2
a a a
m n
m n +<. 9·平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.
39.数列的同项公式与前n 项的和的关系
11
,
1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的
和为12n n s a a a =+++).
七 数列
1·等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；
其
前n 项和公
式为
1()
2n n n a a s +=
1(1)
2
n n na d -=+
211
()22
d n a d n =
+-. 2·等比数列的通项公式
1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
⋅∈； 其前n 项的和公式为
11
(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1
n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩.
3·等比差数列{}n a :11,(0)
n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为
1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪
=+--⎨≠⎪-⎩
；
其前n 项和公式为
(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q d
b n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩
. 4·分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1
n
n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次
还清,每期利率为b ).
八 三角函数
1·常见三角不等式
（1）若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤
(3) |sin ||cos |1x x +≥.
2·同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1
θθ+=，
tan θ
=
θ
θcos sin ，
tan 1cot θθ⋅=.
3·正弦、余弦的诱导公式
21
2(1)sin ,sin()2(1)s ,
n
n n co απαα-⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
21
2(1)s ,s()2(1)sin ,
n
n co n co απαα+⎧
-⎪+=⎨⎪-⎩
4·和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=.
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);
22cos()cos()cos sin αβαβαβ+
-=-.
sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角
ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b
a
ϕ= ).
5
·半角正余切
公式：
sin sin tan
,cot 2
1cos 1cos α
αα
ααα
=
=
+-
6·二倍角公式
sin 2sin cos ααα
=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 7·最简单的三角不等式及其解集
sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z
ππ>≤⇔∈-+∈cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z
πππ<≤⇔∈++-∈tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z
πππ>∈⇒∈++∈tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈角的变形：2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-
8·三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()
33ππ
θθθθθθ=-=-+323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππ
θθθθθ-==-+-9·三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数
cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A
≠0，ω＞0)的周期2T π
ω
=；函数
tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+∈(A,ω,ϕ为常
数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω
=. 10·正弦定理?
2sin sin sin a b c
R A B C
===.
11余弦定理
2222cos a b c bc A =+-;
2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-. 12·面积定理
（1）111
222
a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）111
sin sin sin 2
22
S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ∆=.
.
13·在三角形中有下列恒等式：
① sin()sin A B C += ② tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++=
14·简单的三角方程的通解
sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.
s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.
tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.
特别地,有
sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.
tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.
15·三角形内角和定理
在△ABC 中，有
()A B C C A B ππ++=⇔=-+
2
2
2
C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+
八 向量
1·实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;
(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2·向量的数量积的运算律：
(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b=
λ（a ·b ）=λa ·b = a ·
（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 3·平面向量基本定理?
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
4·向量平行的坐标表示??
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 5·a 与b 的数量积(或内积)
a ·
b =|a ||b |cos θ． 6·a ·b 的几何意义
数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 7·平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则
2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.
(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.
8·两向量的夹角公式
cos θ=
(a =11(,)x y ,b =
22(,)x y ).
9·平面两点间的距离公式
,A B
d =||AB AB AB =⋅
=(A
11(,)
x y ，
B 22(,)x y ).
10·向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.
a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 11·线段的定比分公式 ?
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则
121
211x x x y y y λλ
λλ+⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪+⎩
⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（1
1t λ
=
+）. 12·三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是
123123
(
,)33
x x x y y y G ++++.
13·点的平移公式
''''
x x h x x h y y k y y k
⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''
OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 14·“按向量平移”的几个结论
（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.
(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数
解析式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .
15·三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心
2
2
2
OA OB OC ⇔==.
（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.
（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.
（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.
（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心
aOA bOB cOC ⇔=+.
九 不等式
1·常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（2）,a b R +∈
⇒
2
a b
+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．
（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式
22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈
（5）
b a b a b a +≤+≤-.
2·极值定理
已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；
（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积
xy 有最大值24
1
s .
推广 已知
R y x ∈,，则有
xy y x y x 2)()(22+-=+
（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；
当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；
当||y x -最小时, ||xy 最大.
3·一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或. 4·含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
2
2x a x a a x a <⇔<⇔-<<.
22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.
75.无理不等式 （1
()0()0
()()f x g x f x g x ≥⎧⎪
>⇔≥⎨⎪>⎩
. （
2
）
2()0
()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪
>⇔≥⎨⎨
<⎩
⎪>⎩
或. （3
2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪
<⇔>⎨⎪<⎩
.
5·指数不等式与对数不等式
(1)当1a >时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪>⎩
.
(2)当01a <<时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪
>⇔>⎨⎪<⎩
十 直线方程
1·斜率公式
①21
21
y y k x x -=
-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
k=tanα(α为直线倾斜角） 2·直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．
（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).
(4)截距式 1x y
a b
+
=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B
不同时为0).
5·两条直线的平行和垂直
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
①111
12222
||A B C l l A B C ⇔
=≠
； ②两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B += 6·夹角公式
(1)2121
tan ||1k k
k k α-=+.
(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)12211212
tan ||A B A B
A A
B B α-=+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2
π
.
7·1l 到2l 的角公式
(1)21
21
tan 1k k k k α-=
+.
(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=
+.
(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2
π
.
8·四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 9·点到直线的距离
d =
(点00(,)P x y ,直线l ：
0Ax By C ++=).
10·0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++<，0Ax By C ++>，若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示
0Ax By C ++>，0Ax By C ++<，
可记为“x 为正开口对，X 为负背靠背“。

（正负指X 的系。