从“小数的初步认识”看“变教为学”的文化性-最新资料

从“小数的初步认识”看“变教为学”的文化性
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》前言部分指出：“数学是人类文化的重要组成部分”，这强调了数学作为一种文化的重要性。

当前，数学教育还存在不少突出问题，重知识讲授、轻文化阐释的现象还比较普遍。

教师把数学知识看作一种工具，为使学生正确熟练地掌握这种工具，通常采用的教学方法是“告知”和“示范”，这样便失去了知识发生与发展的“过程性”“多样性”以及与其他学科的“关联性”，而“过程性”“多样性”“关联性”正是“变教为学”所倡导的“文化性”的重要体现。

数学教学中的“文化性”是相对于“工具性” 而言的，[1] “文化性”的引入就是试图改变对数学教学单一“工具性”的认识。

“变教为学”倡导数学学习中进行文化渗透，文化的精髓依附在数学知识发生、发展的过程中，而不是知识的附庸，它在呈现形式上可以作为数学知识的具体情境，甚至是数学学习的具体内容，使其成为学生数学活动和数学思考的具体对象。

以“小数”为例，小数是依据人的需求与主观意愿所发明的，它所蕴含的学习内容及需要经历的学习活动，主要包括小数发生过程中所体现的必要性、发展过程中形式的多样性和形成过程中表达方式的统一性、与其他知识联系的广泛性。

[2] 这些学习活动体现了数学教学的“文化性”。

一、小数产生的必要性随着社会的发展，对数量表示的精确程度的要求逐渐提高。

只用整数表示数量已不能满足人们的需要，于是在所表
示的数量的末尾附上“有余”“有奇”或“强”“弱”等字，以表示该数量与实际量之间的差异，当需要用数来较为精确地表明这种差异的时候，就慢慢地形成了两种表示方法：一种是用分数来表示不足整数的剩余部分；另一种是发展度量衡系统，采用更小的度量衡单位来表示有关的量。

[3] 什么是度量衡？度量衡就是长度、容量和重量单位。

起始的度量单位是比较大的，度量的结果比较粗疏，随着社会的需要才慢慢精细起来，人们逐渐制定了一批越来越小的度量衡单位。

魏晋时期数学家刘徽当时在长度记法中采用的单位名称为：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，单位在逐渐地减小，相邻两单位之间的进率为10。

虽然我国历史上也有过非十进的度量衡单位，如《汉书?律历志》载有重量单位：石、钧、斤、两、铢，其进制是1 石=4 钧，1 钧=30斤，1 斤=16两，1 两=24 铢，但十进制的度量衡单位还是占主要地位的。

由于我国很早就使用十进制计数法，所以在度量衡的单位上也采用十进制，这为小数的出现奠定了基础。

有了十进制计数法、十进制度量衡单位这样的客观基础，又由于中算家研究的多为应用题，所以解题结果都是有单位名称的数，当运算时遇到非整数问题，为使书写形式简洁而不提及小单位名称，小数的概念就逐渐形成了。

开始，人们在数字的后面加上小单位名称，由于制造出太多的小单位无论在记忆上还是书写上都较麻烦，如刘徽当时就对“忽”以下的单位不再命名，称为“微数”，相当于现在的小数部分。

实际上，只要在十进制度量衡单位中认定一个作为基本单位，那这个单位后面的数便是小数的各位数了。

后来，人们逐渐用“分、厘、毫”这样
的单位来统一代表小数部分，如“分”代表小数十分位上的数，“厘”代表百分位上的数，“毫”代表千分位上的数。

为进一步追求形式的简洁，人们逐渐把“分、厘、毫”等单位舍去，想办法来区分整数部分和小数部分，经过不断的演变，慢慢地才使用今天的“小数点”来区分整数部分和小数部分。

现在所说的小数，其完整名称应为十进小数，小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了非整数，使整数与非整数在形式上获得了统一，所以说小数的本质是十进制数，它是整数的延伸，[4] 如果以1 为基本单位，向大的方向延伸就可以得到10、100、1000……向小的方向延伸就得到了0.1、0.01 > 0.001……因此在小数初步认识时，可沟通其与整数的联系，而不涉及与分数的联系。

二、小数形式的多样性小数的表示由产生到现在的相对统一，经历了漫长的历程，可以用王安石的一句诗来形容“看似平凡最崎崛，成如容易却艰辛”。

在中国，小数的写法主要有四种：第一种是依次给小数部分写上名称，一般情况下“分”代表小数十分位上的数，“厘”代表百分位上的数，“毫”代表千分位上的数。

如公元400 年左右《孙子算经》卷下第二题：“今有丁一千五百万，出兵四十万，问几丁科一兵？答曰：三十七丁五分。

”答案中的“五分”指的是0.5 丁，“丁”应该是以整数计算的，不过作为数学答案，可以用小数来表示其精确计算的结果。

这里是用“分”来专门表示小数的，“五分”有了明显的小数概念。

再如，古代计钱以“文” 为最小单位，在《夏侯阳算经》卷中“分禄料”记有：“新官分得五贯八百八十九文二分一厘六毫，旧官分得一贯四百七
十二文三分四毫”，这里出现了“文”以下的小单位“分、厘、毫”，正是为了表达运算结果的精确性，二分一厘六毫就是0.216 文，三分四毫就是0.304 文。

第二种是在整数的个位下面注以单位名称，南宋数学家秦九韶就把0.5 尺写成如图1的形式，把4.608 石写成如图2的形式，这里的“尺”“石”就成了整数部分和小数部分的分界，实质上起到小数点的作用。

第三种是用位置来区分，南朝刘宋天文学家何承天在其编著的《宋书》律历志部分，就已经大量叙述了像十一万八千二百九十六二十五( 118296.25 )、九万四千三百五十七( 94300.57 ) 这样的数，他是用小数部分比整数部分小一号的字体来表示的。

此外，刘瑾在《律吕成书》(约1300 年)中采用小数部分比整数部分降低一位的写法，图3是书中对小数106368.6312 的记法，这是世界上最早的小数表示法。

第四种是在整数部分和小数部分间插入字，唐中宗天文学家南宫说在其《神龙历》（705 年）中把365.2448 写为三百六十五日余二十四奇四十八，这里的“余”字有小数点的意思。

此外，丁巨也曾在整数与第一位小数之间插入一个“余”字，用来表示小数点。

由于中国使用算筹和大写数字来表示数，因此主要用单位名称来表示小数点，要出现现代形式的小数点是不大可能的。

清代由于大量翻译西方著作，西方的小数点也随之引进我国。

康熙年间的《数理精蕴》（1723 年）中已经出现了现代的小数点，但还不是现代记法，如把52.43记作五二？四三。

印度一阿拉伯数字最早出现在由美国传教士狄
考文和邹立文合译的《笔算数学》中，后由于封建保守思想，曾一度改回用汉字一、二、三，直到辛亥革命后印度―阿拉伯数字才在我国正式通行。

小数在当时表示的形式多样，如12 . 3 可表示为一二？三，一二.三，12？3，12.3。

到20世纪20年代才形成今天的统一写法，1925年出版的《数学辞典》中规定：“数字横写，小数点为小圆点，位置在个位右下方。

”
随着中国早期的十进小数传入印度并渐渐在世界传播，其他国家开始陆续创造小数的表示方法，国外对小数符号的设计种类繁多。

古印度数学家将小数部分的各数分别用圆圈圈出，如42.56 表示为42⑤⑥。

印度人将中国用文字分厘毫的表示法改为用圆圈圈出，这可以很明显地区别出小数部分。

1530 年，德国数学家Rudolff 用一条直竖线来隔开整数部分和小数部分，如36.75 写成36|75 ，这条竖线已经蕴含着小数的概念。

1585 年，荷兰工程师Stevin 编写的《论十进小数》首次系统地论述了十进小数的理论，书中开篇宣称“本书教你如何进行所有计算，这些计算只须用全体整数而无须用分数就可以完成”，并给出小数的定义：“小数是基于十进制而发明的一种算术，它使用普通的阿拉伯数字即可记载任何数，并且在人类事务中的所有运算可以完全不用分数而只用整数来进行。

” [5]Stevin 创造了小数的表示方法，他首先用一个符号?把整数部分和小数部分分开，然后把①②③④⑤写在数字的后方或上方来表示整数后边的部分，例如8?9①3②7③表示8.937。

1592 年，瑞士数学家Burgi 用一个空心小圆圈把整数部分和小数部分分开，比如把36.548 表示为36。

548。

意大利数学家Clavius
在《星盘》一书中首次使用了现代意义的小数点，即把小数点作为整数部分与小数部分分界的记号，他在后来1608 年《代数学》中更明确地使用这种小数点，这就是用“点”表示小数记法的开始。

1617 年，英国数学家Napier 在《小数计算法》中用“逗号”把整数与小数部分分开。

英国数学家Briggs 在1624 年《对数算术》中又创立了一种小数符号，他在小数部分下面画一条线，如把3.45 写成345，这条横线虽然后来在欧洲小数记号中逐渐消失，但却在中国一些财务记账中被使用过，一般是在元以下的角分处画上一条水平线。

现在世界上小数点的使用还没有统一，欧洲大陆派（德、法、俄等）用逗号“，”作为小数点；英美派则用实心圆点“ . ”作为小数点，中国使用英美派记法。

三、小数与其他学科的联系小数在文学、经济、自然科学中有着广泛的应用性。

战国末期楚国大才子宋玉在《登徒子好色赋》中描述了一位女子：“增之一分则太长，减之一分则太短。

”他并没有直接描述这位女子的身高，而是从侧面夸赞其身高恰到好处：再高一分就太高，再矮一分则又显得太矮。

那“一分”是多高呢？按照今天的度量标准，1尺〜0.333米，而1尺=100分，因此1分〜0.00333米。

对于人的身高说，0.00333 米的差异几乎难以察觉，通过宋玉这番带有夸张色彩的描述，可以想象到这个女子留给宋玉的印象很完美。

俗语“一亩三分地”用小数表示是1.3 亩，清朝时的皇帝为显示对农业生产的重视，每年到先农坛耕地，其亲耕的面积恰好是一亩三分。

为什么定为“一亩三分”？有一种说法是中国古代把数字一三五七九看作阳数，一和三为阳数
中最小的两个数，皇帝既要亲耕又不能太劳累，所以定个最小面积作为耕田。

后来人们将个人利益或个人势力范围称为“一亩三分地”。

在经济生活里，小数发挥着重要作用，如商品销售中的尾数定价策略，即制定非整数价格，以零头数结尾。

这样给人的感觉首先是便宜，易于接受，如标价99.98 元的商品和100.08 元的商品，虽然仅相差0.1 元，但前者使人感觉还不到100元，后者却使人认为100 多元；其次是精确，带有尾数的定价使消费者认为商品定价是非常认真、精确的，连几角几分都算得如此清楚，进而产生一种信任感。

在自然科学中，小数有着举足轻重的作用，如果不给予重视，那么重大发明也许会擦肩而过，或者造成重大损失。

电话机发明者贝尔曾说，他是借助科学家莱斯的试验而成功发明电话机的。

原来，莱斯在贝尔之前已经研制出一种利用电流进行传声的装置，但是这个装置仅能单向传送，不能双向交谈。

当贝尔发现了莱斯装置中的不足后，经过分析研究，最后只将莱斯装置上的一颗螺丝往里拧了半圈，也就是0.0005 米，话声就能相互传递了。

就这样，0.0005 米的细微之差，诞生了世界上第一部真正的电话机。

这个结果令莱斯瞠目结舌，虽然他突破了电流传声技术，但却在离成功发明电话机0.0005 米的地方失败了。

四、“小数的初步认识”学习活动单
在“变教为学”的背景下，以“改变教学单一的工具性，使数学教学呈现文化性”为出发点，设计了“小数的初步认识”学习活动单。

活动一：一袋牛奶的价格是1 元9 角8 分，你有其他的表示方法吗？自己试试写出来，然后与同伴交流。

活动二：你认为哪一种方法最好？把自己的想法说给同伴听。

活动三：请你尝试读一读1.98 、0.50 、1.06 ，说一说你发
现了什么？
活动四：你认为小数和整数的相同点和不同点是什么？先独立思考，再与同伴交流。

活动五：利用小数表示“一亩三分地”（1 亩=10 分），读一读你写的小数，并说说你对这个词语的看法。

活动六：生活中“小数”无处不在，请你课后找一找，记录下来，并和同伴分享。

活动设计说明：活动一的目的是让学生用不同的方法来表示1元9角8分，从而经历小数的产生过程，感受小数产生的必要性。

活动二是让学生对不同的小数表示方法进行理解与比较，在比较的过程中感悟小数形式的多样性，体会现在小数表示方法的简洁性。

活动三通过让学生自己尝试读小数，从中发现小数和整数在读法上有哪些区别。

活动四是归纳与概括的思考过程，使学生体会小数的本质是整数的延伸，都是十进制数。

活动五是将小数与语文中的词语建立联系，同时将中华传统文化也渗透到了数学教学中，学生既可以体会数学与其他学科存在着联系，也可以领略到中华传统文化的魅力。

活动六是让学生寻找生活中的小数，将数学与生活联系在一起，旨在让学生善于观察生活，带着问题走入课堂，带着问题走出课堂。