电磁波第三章作业题解答

第三章 恒定电流与恒定电场 作业习题解答

3-1．半径为a 和b 的同心球，内球的电位为0u U =，外球的电位为0u =，两球之间介质的电导率为σ，试求这个球形电阻器的电阻。

解 设内球与外球之间的总电流为I ，而体电流密度矢量J V 在半径为r 的球面上大小相等，沿e r 方向，由此可写出电流密度矢量为

2

4V r I r

=p J e

根据欧姆定律

V =s J E 得到两球间的电场强度矢量

2

4r I r

=

p s E e

由电场强度矢量，可计算两球间的电压，有

2

2

1444b

b

b

r r a

a

a

I I U d dr

dr

r

r

I b a U ab

=

??p s p s

-=

=p s

蝌

E l e e

由此可得两球间的电阻为 014U b a R I ab

-=

=

p s

3-2．已知电流密度矢量2

2

2

2

1022(A/m )V x y z y z x y x z J e e e =-+，试求：（1）穿过面积3x =，

23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤，沿e x 方向的总电流；（2）在上述面积中心处电流密度的大小；

（3）在上述面积上电流密度X 方向的分量J x 的平均值。

解 （1）根据电流I 与电流密度矢量J V 之间的通量关系

()

V S I d =

蝌

J S

则穿过面积3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤，沿e x 方向的总电流为

()3352

2

2

2

2381022..x x y z x .I y

z x y x z dydz =

-+

蝌e e e e

()

3

52

2

2

38

10399A ..y zdydz =

=蝌

（2）面3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤中心处的坐标为

3x =， 2.5y =， 4.5z = 代入J V 的表达式，得到

2

2

2

2

2

2

2

102210 2.5 4.523 2.523 4.5281.254581(A /m )

V x y z

x y z x y z y z x y x z J e e e e e e e e e =-+=⨯⨯-⨯⨯+⨯

⨯=-+ 电流密度矢量的大小为

2

296.12(A/m )V V J J ==

≈

（3）面3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤上电流密度的平均值为

()()

()2

399

285A /m

325238x x I J S ..=

=

=--

由此可以看出，由于电流密度矢量非均匀，X 方向平均电流密度的大小与该面中心处的电流密度大小不相等。

3-9．无限大导电介质中有恒定电流流过，已知导电介质中的电场强度为E ，电导率为

(),,x y z σσ=和介电常数(),,x y z εε=，试求该介质中的电荷体密度。

解 根据电荷体密度ρV 与电通密度矢量D 之间的关系，有

(

)V x ,y ,z 轾r =炎=炎e =e 炎+籽e 臌D E E E 由于电流恒定，则有

(

)0V x ,y ,x 轾炎=炎s =s 炎+籽s =臌J E E E 求解可得

籽s 炎=-s

E E

代入电荷体密度的表达式，得到

V 轾籽s s 裡-e 裺

犏

r =e 炎+籽e =-e +籽e = 犏s

s 臌

E E E E E

3-12．有一非均匀导电介质板，厚度为d ，其两侧面

为良导体电极，下板表面与坐标z=0重合，介质的电阻率为

1

2

1

1R R

R R z d

ρρρρσ-=

=+

介质的介电常数为ε0，介质中有0V z J J e =的均匀电流，试求：（1）介质中的自由电荷密度；（2）两极板

间的电位差；（3）面积为A 的一块介质板中的功率损耗。

解 （1）由题知，介质中的电阻率非均匀，因而电导率非均匀。利用关系 V r =炎D 有

()1210000R R V

V

R z J z d 轾骣r -r 骣÷ç÷犏ç÷r =炎=炎e =炎e =炎e r +ç÷ç÷÷犏çç÷ç桫s 桫犏臌J D E e

12121

0000R R R R R J z J z d d

轾骣r -r r -r ¶÷ç犏÷=e r +=e ç÷犏ç÷ç¶桫犏臌

（2）两极板间的电位差为

1

21

00

d

d

d

R R V z R z z U d dz z J dz d 骣r -r 骣÷

ç÷ç÷=

??r + ç÷ç÷÷

çç÷ç桫s 桫蝌

J

E l e e e

121

122

000

11

322

d

R R R R R J z z

J d d 轾r -r 轾犏=r +=

r -r 犏臌犏臌

（3）假设介质板的面积为A ，可得介质板中的功率损耗为 ()

()

1

21

2

d

R R V V

V R V V P dV

dV

J

z A dz d 骣r -r ÷

ç÷=

??r +ç÷ç÷çs

桫

蝌蝌

蝌

J E J J ()122

0132

R R J A d =

r -r