安徽省江淮十校2020届高三上学期第二次联考试题(11月) 数学(文) 图片版含答案
安徽省江淮十校2020届高三第二次联考数学(文)试题Word版含答案
9.“江淮十校” 2018届高三第二次联考数 学(文科)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。
1.已知全集 U = R ，集合 A = {x|y = ln(1 — x)} , B = {x| x 1 2 — 2x v 0)}，则 A A B = A. (0, 1) B. (0 , 2) C. (1 , 2) D. 1, 2)呻 呻呻呻呻 呻呻 呻2. 若向量a 、b 满足| a| = 5 , b = (1 , — 3), a • b = 5,则a 与b 的夹角为 A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°3.已知p : | m + 1| v 1, q ：幕函数y = ( m 2 — m — 1) x m 在(0 ,+^ )上单调递减，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不 必要条件4. 已知等差数列{ a n }的前 n 项和 S n ，若 3( a ? + a 4) + 2( a 6 + a g +) = 12,则 S 11 = A. 6B. 11C. 33D. 485. 下列命题中正确的是A. 命题“ x € 0, 1］，使 x 2 — 1 >0” 的否定为“-x € 0, 1］，都有x 2 — K 0”B. 若命题p 为假命题，命题q 为真命题，则(—p) V ( -q )为假命题C. 命题“若：• b > 0，则a 与b 的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若x 2 + x = 0,则x = 0或x =— 1”的逆否命题为“若 X M 0且X M — 1，则x 2 + X M 0” 6.已知函数f(x) = sin ®x+ ..3COS 3X ( W >0)的图像与x 轴交点的横坐标依次构成一个公差 x 轴向右平移［个单位，得到函数g(x)的图像,61 sin2 C已知△ ABC ，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , b = 2, B = , -S - C = 1,则厶6 1+ COS 2C ABC 的面积为为二的等差数列，把函数2则下列叙述不正确的是 f(x)的图像沿 8.A. g(x)的图像关于点(一 兀，0)对称B. g(x)的图像关于直线 D. g(x)是奇函数x =对称4G 为AB 边上一点，OG 是/ AOB 25OA + mOB ，m€ R ,则EAJ 的值为|OB| A. -2B. 1C.D. 27.在厶AOB 中, C g(x)在4，/上是增函数 的平分线，且OG =奇函数f(x)定义域为(一n 0) U (0 , n ,其导函数是f'(x),当0v x vn 时，有f '(x) sinx—f(x)x > 0，则关于x 的不等式f(x) v 2f 「)sinx 的解集为6A. ( — ■O )U (二，nB.(—O) U (0,二) 6666C. ( — n ， —-)U (二,n6 6D. ( — n,-)U (0 ,) 6 6已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n , 1 n 定义 n i =1S 为数列｛ a n ｝前 n 项的叠加和，若 2016项数列a 1 , a 2, a s ，…，a 2°16的叠加和为 2 2A. 2017B. 2018C. 2017D. 2018填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省江淮十校2024届高三11月第二次联考试题数学试卷及答案
2023.11江淮十校2024届高三第二次联考数学试题注意事项：1本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知为虚数单位，复数z满足z (l + 2i )-1 +i =0,则；＝1 3._ 1 3._ 1 3... 1 3B.－－+－1C.-＋－1555555552已知集合A={xeZ 忙－3<0}，集合B=｛Y I Y=2x ,XE A }，则A 「B =A.(0，石）B.{1,2}c.{1,0}o .{l }3已知点G是6.ABC 的重心，GA=a,GB=b,则BC=A.a+2bB.2a+bc.-2a -b D.-a-2b4已知幕函数f(x)＝（矿－5m+5)义”一2是R 上的偶函数，且函数g (x )= f (x)-(2a -6)x在区间[1,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是A.（女，4)B.(-00,4]c.[6，如）D （女，4］....[6，如）5已知等差数列{a,,}的前n项和为S,＇，若＆＝4a 2 -4, S 5 = 65,则使S,,>0成立的n的最大值为A.16B.17C.18D.196已知角0为第二象限角，且满足sin (e －气］•s i n（冗＋0)=cos20,则tan0=A.石－扣2打-2石BC.一石－汇2 D.一石－打27．在正四棱台ABCD-A,B,C 1D 1中，CD=2C,队＝2,点0是底面ABCD的中心，若该四棱台的侧面积为顷，则异面宜线0C 1与BB 1所成角的余弦值为7 3 5扣A -B . -C . -D —8 4888已知函数f(x)＝｛臣－11,x,,l，若函数y=f(x)-a(aeR)有四个不同的零点斗，x,'x,'x,且压（x -1)1,x >1x < X i < X 3 < X 4'则（2"'+2"')a+1的取值范围是伈－l )(x 4-l)a A.(0,3)B.[2✓2,3) c.[ 2石，＋OO ） D (3，如）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．冗冗9已知X,YE (－了万）且sinx>s iny,则下列不等关系一定成立的是A.lg(x-y)>O B (i)x <（i)y C.x 2> y2D.tan(兀+x)>tany10在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，儿'\=2AB, E, F分别为棱AB,CC 1的中点，则下列判断正确的是A且线EF与宜线DD 1互为异面宜线B.B 1D.l平面D 1EFC 平面D l EF截该四棱柱得到的截面是五边形D平面D l EF与棱BC的交点是棱BC的中点l)将函数y = s in2wx(O < w < l )的图象向左平移工－个单位可得到函数y=f(x)的图象，若y=f(x)在区6m 间（冗，2兀）内有最值，则实数0的取值范围可能为A（古告）B［会令）C（如五）D（且］）n+3l2已知数列{a,，}的前n项和为S,｝，且S,,＝l2-—,n为奇数2 一，n为偶数A.a lO =-11B当n为奇数时，a,,=-n-1c．当n为偶数时，a,,=n+lD数列｛的前n项和等千－a,a1+l } 2(n+2)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分则下列判断正确的是13已知平面向量a,b满足a=(l,2)，叫＝2,a.1(a+2E)，则向量a,b夹角的余弦值为14已知a>-1,b>O且2a+b=2,则a+2b+l 4＋－的最小值为a+l bl5内接于球0的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB/I CD, AB=4, CD=2, AD＝而，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为工，则球0的表面积为16设正整数n满足不等式(1+log22023)加1> (ln)1o g,202J,则n的最小值等千四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）( )｝，函数f(x)=2✓3已知梊合A=｛正＋釭－3矿，，O(a> o)}, jigJ� f(x) =s inxcos.x+2co s2x(x E R)的值域为梊合B （l)当a=2时，求A�B;(2)若“XEA"是“XEB"的充分不必要条件，求正数a的取值范围18.（本小题满分12分）已知函数f(x)=m x+l _2（其中m>O且m司，n>O)是奇函数m-'+n（l)求m,n的值并判断函数y=f(x)的单调性；(2)已知二次函数g(x)=ax2 +bx+c满足g(2+x)=g(2-x)，且其最小值为－3若对Vx1E[-1,2)，都还心］，使得瓜）＝g(l og凸）成立，求实数a的取值范围19（本小题满分12分）在锐角L::,ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b, c, 0为其外接圆的圆心，了5．冗8=8'叫上十上尸tanA tanB J b(I)求A的大小；(2)若CE[巴卫］，求边长b的最值．4 320.（本小题满分12分）冗如图(1)，在边长为4的菱形ABCD中，乙BAD=－，点E是边BC的中点，连DE交对角线AC千点F,3将i:::,.ABD沿对角线BD折起得到如图(2)所示的三棱锥P-BCD1(I)点G是边PD上一点且PG=-G D，连FG,求证：FG/／平面PBC;22冗(2)若二面角P-BD-C的大小为一－，求二而角P-DE-C的正弦值3Cc。
2020届安徽省江淮十校高三第二次联考数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省江淮十校高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合A ，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A ：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B ：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C ：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D ：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323xxx>∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()xx f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题. 4．等差数列{}n a ，若2586104()6()132a a a a a ++++=，则94a a +=（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】根据等差数列性质得到5811a a +=，得到答案. 【详解】286105584()61212132()a a a a a a a +++++==，5811a a ∴+=，故459811a a a a +=+=.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，意在考查学生的计算能力. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证．6．已知向量a r ，b r满足||a =r 1b r ||=，且||||a b a b -=+r r r r ，则|2|a b -r r 等于（ ）A B CD ．3【答案】C【解析】计算得到0a b ⋅=r r ，再计算2|2|7a b -=r r 得到答案.【详解】||||a b a b -=+r r r r Q ，0a b ∴⋅=r r ，222|2|||4||47a b a b a b ∴-=+-⋅=r r r r r r ，|2|a b ∴-=r r .故选：C . 【点睛】本题考查向量模的计算，意在考查学生的计算能力.7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边为单位圆O 交于点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则cos()6πα+=（ ）A ．410B C ．410D 【答案】C【解析】根据三角形函数定义得到3cos 5α=，4sin 5α=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】 题意知3cos 5α=，4sin 5α=-，所以cos cos cos sin sin 666πππααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生对于三角函数知识的灵活运用.8．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，则满足(2)(1)0f x f -+->的x 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(1,3)-C ．(,1)(3,)-∞-+∞UD ．(3,)+∞【答案】A【解析】根据函数图像知函数是在R 上单调递减且为奇函数，化简得到21x -<，得到答案. 【详解】画出函数图像知：()f x 在R 上单调递减且为奇函数，所以(2)(1)0,(2)(1),21,3f x f f x f x x -+->∴->∴-<∴<. 故选：.A【点睛】本题考查了根据函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.9．长方､堑堵､阳马､鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体1111ABCD A B C D -，按平面11ABC D 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥1D ABCD -称为阳马，余下的三棱锥11D BCC -是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体1111ABCD A B C D -中2AB =，3BC =，14AA =，按以上操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（ ）A ．5B ．5C 29D ．2【答案】C【解析】阳马的最长棱长为长方体的体对角线，计算得到答案. 【详解】根据题意知阳马的最长棱长为长方体的体对角线，∴22223429++= 故选：C. 【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力.10．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，22a =则ABC ∆面积为（ ）A 5B 6C 7D 2【答案】C【解析】根据正弦定理得到2c =，再根据余弦定理得到3cos 4C =，再计算面积得到答案. 【详解】sin 2sin A B =，故222a b ==()cos cos 2sin cos sin cos 2sin 2a B b A R A B B A R C c +=+===，所以2223cos 24a b c C ab +-==，所以7sin C =，17sin 2ABC S ab C ∆==. 故选：C . 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.11．关于函数()2sin()16f x x ππ=-+有下述四个结论:（ ）①()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 ②()y f x =的图象关于点7,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 ③()f x 的最小正周期为2 ④()f x 的值域为[1,3]- A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求三角函数的单调区间，对称，周期和值域依次判断每个选项得到答案. 【详解】 令6t x ππ=-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,63t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2sin 1f x t =+在,63t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上为增函数，即()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以①正确；令6x k πππ-=，所以16x k =+，k ∈Z ，所以②正确； ()f x 的最小正周期为2，所以③正确；()f x 的值域为[1,3]-，④正确.故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的性质，意在考查学生的综合应用能力.12．已知函数2ln ,0()12,02e xx xf x x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩(e 为自然对数的底数)，则满足f (x )＝f [f (1)]的x 个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据解析式求得f （f （1））12=-，即问题转化为f （x ）12=-的解的个数，分x ＞0和x ≤0两种情况分别研究方程根的个数即可． 【详解】由题意得，f （f （1））12=-，∴当x ≤0时，x 2+2x 1122-=-； 解得x ＝0或x ＝﹣2； 当x ＞0时，12elnx x =-； 即lnx 12e=-x ； 在同一坐标系中画出y ＝lnx ，y 12e=-x 的图象， 由图象知，只有一个交点，∴方程有唯一的实根． 综上述：满足f （x ）＝f [f （1）]的x 个数是3个； 故选：C ．【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．二、填空题13．曲线2()cos f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为_______________. 【答案】1y =-【解析】求导得到'()2sin f x x x =+，计算(0)0f '=，(0)1f =-，得到答案. 【详解】2()cos f x x x =-，故'()2sin f x x x =+，(0)0f '=Q ，(0)1f =-，∴切线方程为1y =-.故答案为：1y =-. 【点睛】本题考查了切线问题，意在考查学生的计算能力.14．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.【答案】632【解析】根据等比数列的性质，求出公比及1a ，即可求解. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2106210a a a a =⋅=，即21,2a q ==，∴112a =∴66161(1)63(1)12a q S a q q -==-=-. 故答案为: 632【点睛】本题考查等比数列的性质，以及通项公式的基本量运算，考查等比数列的前n 项和，属于基础题.15．函数()cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()()f x f x θθ-=+()R θ∈，则cos2θ=_______. 【答案】12-【解析】根据题意得到()0f θ'=，得到tan θ=，计算221tan cos 21tan θθθ-=+得到答案. 【详解】()f x Q图像关于x θ=对称，()0f θ'∴=sin 0θθ∴-=，tan θ∴=222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin 1tan 2θθθθθθθ--∴===-++. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了根据三角函数对称求参数，意在考查学生的综合应用能力.16．当[0,1]x ∈时，不等式32320ax x x -++>恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】4a >-【解析】讨论0x =和(]0,1x ∈两种情况，令1[1,)t x=∈+∞，构造函数32()23h t t t t =--+，计算最值得到答案.【详解】当0x =时，显然成立，a R ∈.当(]0,1x ∈时，则不等式232332320,x x ax x x a x---++>∴>. 令1[1,)t x =∈+∞，则232332,23x x a a t t t x-->∴>--+， 令32()23h t t t t =--+，[1,)t ∈+∞，2()661110h t t t '=--+≤-<.所以()h t 在[)1,t ∈+∞上为减函数，所以max ()(1)4a h t h >==-. 综上所述：实数a 的取值范围是4a >-. 故答案为：4a >-. 【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，意在考查学生对于导数知识的综合应用.三、解答题17．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos 166f x x x x a ππ=++-++- （1）若()f x 的最小值是2，求a ；（2）求函数()y f x =，[0,]x π∈的单调递减区间.【答案】（1）4（2）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）化简得到()2sin 26f x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，计算最值得到答案.（2）取3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得263k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，得到答案. 【详解】（1）2()sin(2)sin(2)2cos 12cos 266f x x x x a x x a ππ=++-++-=++2sin 26x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，min ()22f x a ∴=-+=，4a ∴=.（2）由3222262k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ，得263k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，又0x π≤≤，263x ππ∴≤≤. ∴函数()y f x =，[]0,x π∈的单调递减区间是2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了根据三角函数的最值求参数，函数单调性，意在考查学生的综合应用能力. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a =-. （1）判断数列{}n a 是否为等比数列，并说明理由； （2）设21log n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）是，理由见解析（2）2n T n =【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-计算得到12n n a a -=，得到答案. （2）计算得到21n b n =-，计算前n 项和n T 得到答案. 【详解】（1）数列{}n a 是等比数列.22n n S a =-Q ①，1122n n S a --∴=-②()2n ≥，①-②得，122n n n a a a -=-，即12n n a a -=(2)n ≥，又1122S a =-，得120a =≠，∴数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为2.（2）Q 由（1）知{}n a 公比2q =，12a =，2nn a ∴=，21log 221n n b n n ∴=-+=-.212(121)13(21)2n n n nT b b b n n +-∴=+++=+++-==L L .【点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足1()()2x f x g x ++=.（1）求()f x ，()g x ，并证明:2(2)[()]2f x g x =+；（2）求函数()(2)2()F x f x g x =-，[1,1]x ∈-的最小值.【答案】（1）()22x xf x -=+，()22x xg x -=-，证明见解析（2）1【解析】（1）根据奇函数和偶函数的性质得到()22x x f x -=+，()22x x g x -=-，再验证得到答案.（2）2()[()]2()2F x g x g x =-+，根据单调性得到最值.【详解】（1）1()()2x f x g x ++=①，1()()2x f x g x -+∴-+-=， 且()f x 为偶函数，()g x 为奇函数1()()2x f x g x -+∴-=②， 由①②得，()22x x f x -=+，()22x xg x -=-.22(2)22x x f x -∴=+，()2222[()]222222x x x x g x --+=-+=+，2(2)[()]2f x g x ∴=+.（2）由（1）知2()[()]2()2F x g x g x =-+，[1,1]x ∈-，又()22xxg x -=-在[]1,1-上单调递增，∴当[]1,1x ∈-时，33()22g x -≤≤， ∴当()1g x =，()min 1F x =，∴当[]1,1x ∈-时，()F x 最小值为1.【点睛】本题考查了函数解析式，函数最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.20．已知钝角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A 为钝角，若tan b a B =，且32sin 2sin cos 2C B A =+.（1）求角B ；（2）若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r，且BC=AD .【答案】（1）6π（2【解析】（1）化简得到sin cos A B =得到2A B π=+，代入化简得到答案.（2）根据余弦定理得到a ，3b c ==，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）tan b a B =Q sin sin sin cos A BB B⋅∴=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴>，sin cos A B ∴=.A Q 为钝角，B ∴为锐角，0,2A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，sin()sin 2A B ππ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，2A B ππ∴-=-，故2A B π=+.32sin 2sin cos 2C B A =+Q ，32sin()2sin cos 2A B B A +=+，3sin cos 4A B ∴=，又2A B π=+，B ∴为锐角，23sin cos cos 24B B B π⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，cos 2B ∴=，6B π∴=.（2）2BD DC =u u u r u u u r Q ，又BC =BD ∴=由（1）知6B π=，23A π∴=，6C π∴=，b c ∴=，由余弦定理得:22222cos BC a b c bc A ==+- a ∴=，3b c ∴==，在ABD ∆中，2222cos 9122332AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=+-⋅⋅=，AD ∴=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，意在考查学生对于三角知识的综合应用. 21．已知函数32()21f x x ax =-+()a R ∈. （1）若3a =-，求()f x 的极值；（2）若()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点，求()f x 在区间[]22-,上的最大值､最小值.【答案】（1）()1f x =极小值， ()2f x =极大值（2）()25f =，()227f -=- 【解析】（1）求导得到6((1))f x x x +'=，得到函数单调性，得到极值. （2）讨论0a =，0a >，0a <三种情况，分别计算得到最值. 【详解】（1）32()231f x x x =++，2()666(1)f x x x x x '∴=+=+，令()0f x '>得，1x <-或0x >；令()0f x '<得，10x -<<，()f x ∴在(),1-∞-和()0,∞+上是单调增函数，在()1,0-上是调减函数，故()(0)1f x f ==极小值， ()(1)2f x f =-=极大值. （2）2()622(3)63a f x x ax x x a x x ⎛⎫'=-=-=-⎪⎝⎭， 当0a =时，3()21f x x =+在()0,∞+上无零点，与题意不符，舍去；当0a >时()63a f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，03a >，3a x >或0x <， ()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，03a x <<，()f x 在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故(0)1()f x f ==极大值，3()1327a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值，若()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点，此时()0f x =极小值即31027a -=， 3a ∴=，32()231f x x x ∴=-+，当[]2,2x ∈-时，(0)1()f x f ==极大值， ()0f x =极小值， 又(2)27(1)0f f -=-<=，(2)5(0)1f f =>=，()(2)5f x f ∴==最大值，()(2)27f x f =-=-最小值；当0a <时，()63a f x x x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，此时03a<，令()0f x '>得0x >或3a x <， ()f x ∴在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，令()0f x '<得03a x <<，()f x 在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， ()(0)10f x f ∴==>极小值.()f x ∴在()0,∞+上无零点，与题意不符；综上，()(2)5f x f ==最大值，()(2)27f x f =-=-最小值. 【点睛】本题考查了函数的极值和最值，意在考查学生对于导数知识的综合应用. 22．已知函数2()(1)x f x xe a x =++()a R ∈.（1）若1a =-，求()f x '的单调区间； （2）若0a >，证明()f x 有且仅有两个零点.【答案】（1）()f x '的单调增区间为()0,∞+，单调减区间为(),0-∞（2）证明见解析 【解析】（1）求导得到()(1)2(1)xf x x e x '=+-+，记()(1)2(1)xg x x e x =+-+，得到()00g '=，根据函数的导数的正负得到函数的单调性.（2）()()2(1)xf x e a x '=++，得到函数单调性，证明分别在()0,1x -及()1,0-各有一个零点，得到答案. 【详解】（1）当1a =-时，2()(1)x f x xe x =-+，()(1)2(1)xf x x e x '∴=+-+，记()(1)2(1)xg x x e x =+-+，()(2)2xg x x e '∴=+-，()00g '=0x <时，01x e <<，(2)20x x e +-<，()0g x '<， 0x >时，e 1x >，(2)20x x e +->，()0g x '>.. ()g x ∴在(),0-∞单调递减，()0,∞+单调递增.()f x '∴的单调增区间为()0,∞+，单调减区间为(),0-∞.（2）若0a >，则()()2(1)xf x e a x '=++，令()0f x '=得1x =-，且(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，(1,)x ∈-+∞，()0f x '>.()f x ∴在(),1-∞-）单调递减，()1,-+∞单调递增，1(1)0ef -=-<，(0)0f a =>，记011x =-<-， 由xy xe =在(),1-∞-上单调递减知001x x ee>-，()0001110x f x x e e∴=+>-+>，()f x ∴共有2个零点，且分别在()0,1x -及()1,0-各有一个零点，得证.【点睛】本题考查了函数的单调区间，零点问题，意在考查学生的综合应用能力.。