利用霍尔效应测磁场实验的数据处理

论 2. 1
0 的情况。 测量亥姆亥姆霍兹线圈对的中心处( z = 0) 磁场的分布 将数据 z = 0 以及 z 1 = 50mm, z 2 = - 50mm 代入式 ( 8) ( 9) 和 ( 16) , 可得 B 0, 表明此
时磁感应强度方向沿轴线 , 即 B = B z 。所以测量亥姆霍兹线圈对的中心处( z = 0) 磁场的 分布时, 可由所测得的霍尔电压通过式 ( 1) 得到相应的磁感应强度的大小。从而霍尔电压 的分布曲线及磁感应强度分布曲线形状应相似, 二者只相差一系数 KH Is。 2. 2 a ) 磁场的分布 2 考虑到磁场分布的对称性 , 此处仅讨论 z = a 的情况。 2 将数据 z = 50 mm, z 1 = 50mm, z 2= - 50mm, a = 100mm 代入式 ( 8) 至( 19) , 可得 : 测量亥姆霍兹线圈所处平面处( z = B 1= 0 B 2=
收稿日期 : 2008- 08- 27
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点的磁感应强度方向为轴线 , 即满足式( 1) , 所以可以测量轴线上各点的霍尔电压, 再根 据式 ( 1) , 将各点的霍尔电压除以系数 KHIs, 然后得到各点的磁感应强度的大小。从而亥 姆霍兹线圈轴线上的磁场分布曲线与其霍尔电压分布曲线形状相似, 二者只相差一个系 数 KH Is。那么, 对于选做实验中涉及的亥姆霍兹线圈轴线以外的点, 由于其磁感应强度的 方向还没有明确 , 所以应该先讨论各点磁感应强度的方向是否为轴线 , 再决定其数据处理 方法是否与必做实验相同。我们通过理论推导发现 , 亥姆霍兹线圈轴线以外的磁感应强 度方向并不一定沿轴线, 并将磁感应强度的方向与轴线的夹角记为 ( 见图 3 ) 。但是 , 就 实验的选作内容来讲 , 各点的 是很小的, 所以可认为磁感应强度方向近似沿轴线。而 对应于 较大的空间各点, 数据处理时就需考虑 影响 , 即先测量各点的霍尔电压, 由式 Bz 得到 B 。其 Bz 分布曲线应与霍尔电压分布曲线相似, 二者相 B 差系数 KHIs, 而 B 的分布曲线应在 B z 基础上进行修正, 修正系数是各点的 cos 。 ( 1) 计算其 Bz , 再由 cos = 1 1. 1 理论推导 圆环电流的磁场全空间分布的普遍公式[ 3 ] 一半径为 a 的圆环电流如图 2 所示 , 采用柱坐标 , 空间一点 P 的位置记为 P ( p , z ) , 则圆环电流在 P 产生的磁场 B 的三个分量为: ,
图4 B (
0 I/
2 ) 随 ( a ) 的变化曲线
很接近于 1, 在此处可以近似认为磁感应强度方向沿轴线。
大于线圈半径时 , Bz 为负值 , Bz 绝对值随 的增大而快速减小趋于 0 。 68
表 1 Mat lab 计算结果 ( a) 0. 05 0. 10 0. 15 0. 20 0. 25 0. 30 0. 35 0. 40 0. 45 0. 50 0. 55 0. 60 0. 65 0. 70 0. 75 0. 80 0. 85 0. 90 0. 95 K1 0. 42592 0. 57496 0. 67356 0. 74536 0. 80000 0. 84265 0. 87646 0. 90351 0. 92527 0. 94281 0. 95693 0. 96825 0. 97724 0. 98431 0. 98974 0. 99381 0. 99671 0. 99861 0. 99967 K2 0. 30842 0. 42544 0. 50827 0. 57260 0. 62470 0. 66790 0. 70428 0. 73521 0. 76169 0. 78446 0. 80410 0. 82107 0. 83574 0. 84841 0. 85934 0. 86874 0. 87681 0. 88369 0. 88952 E ( k 1) 1. 49690 1. 43160 1. 37360 1. 32210 1. 27630 1. 23560 1. 19950 1. 16730 1. 13890 1. 11370 1. 09160 1. 07230 1. 05560 1. 04120 1. 02910 1. 01910 1. 01120 1. 00530 1. 00150 K ( k 1) 1. 65040 1. 73220 1. 81670 1. 90420 1. 99530 2. 09050 2. 19040 2. 29600 2. 40830 2. 52860 2. 65880 2. 80130 2. 95910 3. 13780 3. 34410 3. 59170 3. 90380 4. 33160 5. 04870 E ( k 2) 1. 53270 1. 49710 1. 46380 1. 43280 1. 40400 1. 37730 1. 35260 1. 32990 1. 30910 1. 29000 1. 27260 1. 25690 1. 24260 1. 22980 1. 21830 1. 20810 1. 19910 1. 19120 1. 18440 K ( k 2) 1. 61030 1. 65020 1. 69030 1. 73060 1. 77080 1. 81090 1. 85070 1. 89000 1. 92870 1. 96650 2. 00330 2. 03890 2. 07310 2. 10560 2. 13630 2. 16500 2. 19160 2. 21590 2. 23780 cos 0. 99995 0. 99981 0. 99958 0. 99928 0. 99892 0. 99853 0. 99812 0. 99772 0. 99736 0. 99708 0. 99689 0. 99681 0. 99688 0. 99709 0. 99745 0. 99793 0. 99852 0. 99915 0. 99972
[ 2]
图 2 园环电流的磁场空间分布
图3
2 2 2
亥姆霍兹线圈的空间分布
B =
0 Iz
2
( + ) + z
0I
2
2
+ + z E( k ) - K ( k ) ( - ) 2+ z 2 B = 0 - - z 2 2 E ( k) + K ( k ) ( - ) + z
2 0 2 2 2
( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
图 1 霍尔效应原理图
实验所用仪器为 DH4501N 三维亥姆霍兹线圈磁场实验仪, 实验仪由信号源和测试架 两部分组成, 测试架由共轴线圈、 装有霍尔元件的三维可移动探杆构成。其中可通过调节 共轴线圈之间的垂直距离等于它们的半径获得亥姆霍兹线圈。霍尔元件在测试过程中位 于与线圈轴线垂直的平面内。综上可见 , 对于实验必做部分 , 由于亥姆霍兹线圈轴线上各
0I 2 2 2
a - - ( z- z1) E( k1 ) - K( k1) ( a- ) 2 + ( z- z1 ) 2 a 2- 2 - ( z- z2) 2 E( k2 ) - K( k2) ( a- ) 2 + ( z- z2 ) 2 B = B2
2
Bz= Bz1 + Bz2 cos = Bz Bz + B
第 21 卷
第 4期
大
学
物
理
实
验
Vol. 21 No . 4 Dec. 2008
2008 年 12 月出版
PH YSICAL EXPERIMENT OF COLLEGE
文章编号 : 1007- 2934 ( 2008) 04- 0065- 06
利用霍尔效应测磁场实验 211189) 摘 要 推导了亥姆霍兹线圈产生磁 场的全 空间分 布的普 遍公式 , 讨论 了如何 确定磁
2 2
=
Bz B
( 27)
对于亥姆霍 兹线 圈所 处平 面处的 各点 P a ( , , z ) ( 说明: 此处 ( 0, ] ) , 如果已知其 2 , 第一步将数据代入 ( 13 ) 至 ( 15) , 利 用 Matlab 软件 计 算 出 相应 的 k 1, k 2, E ( k 1 ) , E ( k 2 ) , K ( k 1 ) , K ( k 2) 。第二步由式 ( 20 ) 至 ( 27) 计算出相 应的 cos 。相关数据如表 1 所示。 从表 1 可以看出 , 亥姆霍 兹线圈所 在平面 处, 各点磁感应强 度方向与轴线夹 角的余弦都 2. 3 亥姆霍兹线圈所处平面处磁场的 Matlab 模拟 本文利用 Matlab 再现了亥姆霍兹线圈所处平面处磁场各参数沿径向的分布情况。 从图 4 看出, B 分量在线圈平面处为正值 , 开始随着 到最大, 之后随 当 递减并在约 4 倍线圈半径处趋于零。 小于线圈半径时 , Bz 为正值, 随 先是缓慢递增后快速递增。 从图 5 a 、 b 看出, 当 从 O 递增并在线圈半径处达
Bz = 其中以
2
( +
) + z
2
2
K( k)= E ( k) =
d 1- k 2 sin 2 1- k sin
2 2
02
d
( 6)
66
[ 0, 1] ( 7) ( + ) 2+ z 2 1. 2 亥姆霍兹线圈的磁场全空间分布的普遍公式 如图 3 所示 , 亥姆霍兹线圈 ( 线圈 1 和线圈 2) 半径为 , 采用柱坐标, 选取两线圈中心 连线的中点为坐标原点, 空间一点 P 的位置记为 P ( , , z ) 。对于亥姆霍兹线圈在 P 的 磁场, 已知其轴线上的磁感应强度方向沿轴线 , 此处便讨论轴线以外的空间, 即 0的 情况。由于亥姆霍兹线圈之间的垂直距离为 , 则线圈 1 所处平面处各点的坐标为 ( , , z 1 ) , 线圈 2 所处平面处各点的坐标为 ( , , z 2 ) 。其中 z 1 = 2 , z 2 = 2 。考虑式( 2) 至 ( 7) , 可得: 线圈 1 和线圈 2 在 P 处产生的磁场 B 的分量分别为 : a 2+ 2+ ( z - z 1) 2 0 I ( z - z 1) B 1= ( 8) 2 2 E( k 1) - K ( k 1) 2 ( a + ) 2+ ( z - z 1 ) 2 ( a - ) + ( z - z 2 ) B 2=
感应强度的方向。就实验内容进行了实例分析 , 利用 Matlab 软件进行了相关计算 , 提出 了利用霍尔效应测磁场实验的数 据处理 方法。最后 , 详 细讨论 了亥姆霍 兹线圈 所在平 面处磁场强度相关参数的分布曲线。 关键词 亥姆霍兹线圈 ; 霍尔电压 ; 磁感应强度 ; 分布 ; Matlab 计算 文献标识码 : A 中图分类号 : O 484. 5
0I(
( 20)
2 2
z- z2 )
2 2
2
( a+ ) + ( z- z2)
0I
a + + ( z- z2 ) E( k2) - K( k2) ( a- ) 2 + ( z- z2 ) 2
2 2 2
2
( 21) ( 22) ( 23) ( 24) ( 25) ( 26)
B 1= B 2= 0 B z1 = B z2 = 2 2 ( a+ ) + ( z- z1) ( a+ ) + ( z- z2)
0
引言 ( 实验回顾) 如图 1 所示, 把一块宽为 b 、 厚为 d 的半导体试样放在磁感应强度为 B 的磁场中 , 并
在试样中通以纵向电流 Is, 则在这块半导体试样横向侧面 AA 间出现了一定的电势差 UH , 这个现象叫做霍尔效应, UH 称为霍尔电压。霍尔电压 UH 的大小正比于磁感应强度的大 小 B 以及电流 I S , 在 UH 、 B、 Is 三者互相垂直时有: UH = K H I SB ( 1) 。式中 K H 称为该霍尔元 件的灵敏度。
0 0I 2
2
2
2
d
2 1- k 2 2 sin
1-
2 k2 1 sin
2 1- k 2 d , K ( k2 ) 1sin
d
2 1- k 2 d 2sin
a ) 2+ ( z - z 1 ) 2
[ 0, 1] , k 2 = 2
( a+
a ) 2 + ( z - z 2) 2
[ 0, 1]
( 15)
0I (
k= 2
z - z 2) ) 2+ ( z - z 2 ) 2
0I
2
( a+
a 2 + 2+ ( z - z 1 ) 2 E( k 2) - K ( k 2) ( a - ) 2+ ( z - z 2) 2 a - - ( z - z1) E ( k1 ) - K ( k1 ) ( a - ) 2+ ( z - z 1 ) 2 a 2- 2- ( z - z2) 2 E ( k2 ) - K ( k2 ) ( a - ) 2+ ( z - z 2 ) 2 , K ( k2 ) =
2 0 2 0 2 2 2
( 9) ( 10) ( 11) ( 12) ( 13) ( 14)
B 1= B 2= 0 Bz 1 = Bz 2 = 其中 2 2 ( a+ ( a+ K ( k1 ) = E ( k1 ) = k 1= 2 ( a+
2 0
) + ( z - z1) ) + ( z - z2) d 2
通过叠加原理, 可以得到亥姆霍兹线圈电流在 P 的磁场 B 为 B = B 1+ B 2 B = B 1+ B 2 0 Bz = Bz 1 + Bz 2
( 16) ( 17) ( 18)
由于此处式 ( 16) 不一定为零, 所以亥姆霍兹线圈在 P 产生的磁场 B 的方向不一定沿 轴线 ( z ) 方向, 同时可以根据式 ( 16) 和 ( 18 ) 计算出 B z 与 B 之间的夹角 结果为 Bz Bz cos = = B ( 19) 。 2 2 B + B
z
综上所述, 如果 P 处磁场 B 的方向不沿轴线时, 在测量了 P 处的霍尔电压后 , 由式 ( 1) 得到的磁感应强度的大小应为 P 处 B z 的大小。如果需要得到 P 处 B 的大小 , 就用到 式( 19) 。另外 , 从式 ( 8) 至 ( 19) 可以看出亥姆霍兹线圈产生的磁场具有柱对称性以及关于 xoy 平面对称。 2 实例分析 因为实验所用的亥姆霍兹线圈半径 a 为 100mm, 所以 z 1 = 50mm, z 2= - 50mm, 此处讨 67
0izz1a2zz12?b12a22zz12a2zz22ek1kk18b20izz2a2zz22?2a22za2zz22ek2kk2z129b1b20a22zz12a2zz12ek1kk110bz10i2a2zz12?11bz20i2a2zz22?20a22zz22a2zz22ek2kk212其中kk1d1k21sin2kk220d1k22sin213ek1201k21sin2dkk220d1k22sin2d14k12aa2zz1201k22aa2zz220115通过叠加原理可以得到亥姆霍兹线圈电流在p的磁场b为bb1b216bb1b2017bzbz1bz218由于此处式16不一定为零所以亥姆霍兹线圈在p产生的磁场b的方向不一定沿轴线z方向同时可以根据式16和18计算出bz与b之间的夹角结果为bz2b2bzcosbzb19