经济数学微积分多元函数的极值及其应用

例1
(1 )
例2
(2
)
例3
(3
)
2.二元函数取得极值的条件
定理 （必要条件） 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导
数，且在点(x0,y0)处有极值，则
推广到三元函数 设函数u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏
导数，且在点(x0,y0,z0)处有极值，则
与一元函数类似，凡能使一阶偏导数同时为 零的点，均称为函数的驻点.
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
二、条件极值 拉格朗日乘数法
实例：某人有20元，现用来购买两种物品：
笔和本子，设他购买x支笔，y本本子达到最
佳效果，效果函数
u(x, y)=lnx+lny
如果笔每支２元，本子每本5元，问他如何分
配这20元以达到最佳效果？
问题的实质： 求函数u(x, y)=lnx+lny在2x+5y=20条件下
的极值.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法： 要找函数z=f(x, y)在条件φ(x, y)=0下的
可能极值点，其步骤如下： （1）构造拉格朗日函数 F(x, y, λ)=f(x, y)+λφ(x, y) 其中λ为参数，称为拉格朗日乘数. （2）令F'x=0, F'y=0, F'λ=0,解出 x, y, λ , 其中(x, y) 就是可能的极值点的坐标.
求函数极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f'x(x,y)=0, f'y(x,y)=0,求 出所 第二步 对有于驻每点一. 个驻点(x0,y0)，求出二阶
偏导数的值A、B、C.
第三步 确定AC-B2的符号，根据定理作出判 断是否取得极值，是极大值还是极小 值，如取得极值，求出 f(x0,y0).
例4 求函数 解令
的最值一定能在D的内部取得，且D的内部只 有一个驻点，那么函数在该点上一定取得最值.
例5 求函数 f(x, y)=xy-x2-y2在有界闭区域D
：
解 先x2求+yD2≤内1上的的驻最点大值和最小值.
令
求得驻点
(0,0) 经验证，在（0,0）取得极大值f(0,0)=0
再求函数在D的边界上的最大值和最小值.
S(100,25)=125（吨）
即购A原料100吨，B原料25吨时，可以使产 量达到最大.
例9 求表面积为a2体积为最大的长方体的体积. 分析：该问题可以看成，求在表面积为a2条件 下的长方体的体积的最大值. 目标函数： 条件：
解设 求偏导，解方程组，得
驻点唯一,最大值存在,故最大体积在驻点取得
四、小结
直到二阶的连续偏导数，又f'x(x0,y0)=0, f'y(x0,y0)=0,设A=f''xx(x0,y0), B=f''xy(x0,y0), C（=f1''）yy(x当0,Ay0C)，-B则2>0时，具有极值，且当A<0(或
C<0)时有极大值，当A>0(或C>0)时有极小值； （2）当AC-B2<0时不取得极值； （3）当AC-B2=0时可能有极值,也可能没有 极值.这里不作讨论
S(x,y)=0.005x2y， 现准备向银行贷款150万元购原料，已知A,B 原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样 购进两种原料，才能使生产的数量最多?
解 该问题就是求S(x, y)=0.005x2y在条件 x+2y=150下的最大值.
作拉格朗日函数
因仅有一个驻点，且最大值一定存在， 故在点(100,25)处取得最大值
1.多元函数的极值
（驻点处取得极值的必要条件、充分条件）
2.拉格朗日乘数法 3.多元函数的最值
注意：驻点
极值点（具有偏导数）
例如,点(0,0)是函数z=xy的驻点,但不是极值
点 而(0,0)是
的极值点，但函数在该点
的偏导数不存在.
结论：二元函数的极值在驻点或一阶偏导数 不存在的点处取得.
问题 如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 （充分条件） 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有
（3）判断求出的(x, y)是否为极值点，一 般实际问题中由问题的实际意义判定.
拉格朗日乘数法的推广
拉格朗日乘数法可推广到条件多于两个的情况： 要求函数u=f(x,y,z,t)在条件φ(x,y,z,t)=0和
ψ(x,y,z,t)=0下的极值. （1）构造拉格朗日函数
F(x,y,z,t,λ1,λ2)=f(x,y,z,t) +λ1φ(x,y,z,t)+λ2ψ(x,y,z,t)
经济数学——微积分
4.6 值 拉格朗日乘数法 三、二元函数的最值 四、小结
问题 某商店卖两种品牌的果汁，本地 品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元， 店主估计，如果本地品牌的每瓶卖x元，外 地品牌的每瓶卖y元，则每天可卖出本地品 牌的果汁70-5x+4y瓶，外地品牌的果汁 80+6x-7y瓶.
如果都满足不等式 f(x,y)< f(x0,y0)， 则称函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极大值 f(x0,如y0)果. 都满足不等式 f(x,y)> f(x0,y0)，则 称函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值 f(x0极,y0大). 值、极小值统称为极值.使函数 取得极值的点称为极值点.
其中λ1,λ2为参数， （2）令对所以自变量和参数偏导数为零解出， 即得可能极值点的坐标.
三、二元函数的最值
多元函数最值的两种情况：
1、有界闭区域D上连续函数的最值 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在
D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
2、实际问题中的最值 实际问题中，如果根据实际意义确定函数
的极值.
求得驻点为（1,0）（1,2）（-3,0）（-3,2） 再求出二阶偏导数
在点(1,0)处，AC-B2=72>0又A>0，所以 函数在(1,0)处取得极小值f(1,0)=-5；
在点(1,2)处，AC-B2=-72<0，所以函数 在(1,2)处不取得极值；
在点(-3,0)处，AC-B2=-72<0，所以函数 在(-3,0)处不取得极值； 在点(-3,2)处，AC-B2=72>0又A<0，所 以函数在(-3,2)处取得极大值f(-3,2)=31；
问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果 汁可取得最大利润？
问题的分析
每天的利润为
求最大利润即为求二元函数的最大值. 本节将利用偏导数讨论多元函数的极值 和最值问题.
一、二元函数的极值
播放
1.二元函数极值
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点,
解方程组
求得区域D内唯一驻点
(2,1)
故 f(2,1)=4为极大值
再求f(x, y)在边界上的最值
在边界x=0和 y=0上，函数值均为0.
比较可知 f(2,1)=4为最大值， f(4,2)=-64为最小值.
例8 设某工厂生产甲产品数量S(吨)与所用 两种原料A、B的数量x, y(吨)间的关系式
该问题就是求f(x, y)在条件x2+y2=1下的极值. ——拉格朗日乘数法
设F(x, y, λ)=xy-x2-y2+λ(x2+y2-1),令 解得
可能的极值点
综上，f(x,y)在D上的最大值是0，最小值是
例6 求 解令
的最大值和最小值.
经验证，这两点是函数的极值点。
解 如图, 先求函数在D内的驻点