福建省莆田第八中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案

莆田八中2016-2017上学年高三数学（理）期中考试卷
命题人：徐 强
审核人：高三数学备课组
一、单项选择(共12小题,每小题5分）
1、已知复数2i z i
-=(其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ）
A ．12i -
B ．12i +
C ．12i --
D ．12i -+ 2、已知(,0)2
x π∈-,4tan 3
x =-，则sin()x π+等于（ ）
A ．35
B ．35
- C ．45
- D ．45
3、20
sin xdx π
⎰
＝( ）
A.0 B 。

π C.2π D.4π 4、若13
2a =，ln 2b =，54log
sin
5
c π=，则（ ）
A ．c a b >>
B ．b a c >>
C ．
a b c >>
D ．b c a >>
5、设数列{n
a }是等差数列,其前n 项和为n
S ，若2
6
=a 且30
5
=S
,则8
S 等于
( ）
A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
6、若0a b <<，则下列不等式成立的是 A ．ac bc >
B ．1b >a b >(
)()
1
1a
b
<
7、函数cos(4)3
y x π=+的图象的相邻两个对称中心间的距离为
A ．8
π B ． 4
π C ．2
π D.．π
8、函数y = log 2 ( x 2 – 5x – 6 ）单调递减区间是（ ）
A ．
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∞-25,
B ．⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,25
C ．()1,-∞-
D ．(+∞,6）
9、为了得到函数x y 3sin 2=的图象，可以将函数)2
3sin(2π
+
=x y 的图象
（ ）而得到.
A ．向右平移6
π个单位 B ．向右平移2
π个单位
C ．向左平移6
π个单位 D ．向左平移2
π个单位
10、ABC △的三个内角为A B C 、、,若关于x 的方程2
2
cos cos cos 02
C x x A B --=有一根
为1， 则ABC △一定是（ )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
11、如图，正方形ABCD 中,M,N 分别是BC 和CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（ ）
A.35
B.43
C 。

2
D 。

8
12、若点(,)P a b 在函数2
3ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图
像上，则2
2()()a c b d -+-的最小值为（ ）
A ．
2
B ．2
C ．22
D ．8
二、填空题(共4小题，每小题5分）
13、已知集合{0,1,2}A =，则集合A 的真子集共有 个．
14、若,x y 满足约束条件1
3,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最大值为
15、数列{a n }中，若a n ＋1＝，a 1＝1，则a 6等于
16、对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是 三、解答题（共6小题，17题10分,其余每小题12分）
17、已知。

sin()cos(2)tan()
()tan()cos()
2
f παπααπαπ
απα---+=----
（1)化简()f α；
(2)若α是第三象限角，且31
cos()2
5πα-=,求()f α的值。

18、已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量(
3,1)b =-
（1）当//a b ，求θ. （2）当a b ⊥时,求θ. (3）求|2|a b -的最大和最小值
19、某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台.每批都购入x 台（x∈ N *），且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费）成正比。

若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
20、已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，-=a b 。

（Ⅰ)求cos()αβ-的值;
（Ⅱ）若02
πα<<，02
πβ-<<,且5sin 13
β=-,求sin α.
21、已知数列｛a n }的前项n 和为S n ，点（n ，S n )（n ∈N *）均在函数f （x ）=3x 2﹣2x 的图象上． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
是数列{b n }的前n 项和，求使得2T n ≤λ﹣2015
对所有n ∈N ＊都成立的实数λ的范围．
22、已知函数)(2
1ln )(2
R m x
x m x f ∈-=满足1)1('=f .
(1）求m 的值及函数)(x f 的单调区间； （2)若函数)32
1()()(2
c x x
x f x g +--=在]3,1[内有两个零点,求实数c 的取值范
围。

姓名： 座号： 班级：
命题人：徐强 审题人：高三理科数学备课组
一、单项选择（共12小题，每小题5分)
1、已知复数2i z i
-=（其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ）
A ．12i -
B ．12i +
C ．12i --
D ．12i -+ 【答案】A
2、已知(,0)2
x π∈-，4tan 3
x =-，则sin()x π+等于（ ）
A ．35
B ．35
- C ．45
- D ．45
【答案】D
【解析】因为(,0)2
x π∈-，4tan 3
x =-，所以4sin 5
x =-，4sin()sin 5
x x π+=-=．
考点：三角函数值. 3、20
sin xdx π
⎰
＝( )
A 。

0 B.π C 。

2π D.4π 【答案】A
【解析】由题意得20
sin xdx π⎰
20(cos )|cos2cos00x π
π=-=-+=，故选
A ．
【考点】定积分的计算． 4、若13
2a =,ln 2b =，54log
sin
5
c π
=，则（ )
A ．c a b >>
B ．b a c >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 【答案】C 【解析】13
2
1a =>，ln 2(0,1)b =∈，
54log sin
05c π=<，所以a b c >>，选
C ．
考点：比较大小
5、设数列{n
a }是等差数列,其前n 项和为n
S ，若2
6
=a
且30
5
=S
,则8
S 等于
（ ) A ．31 B ．32 C ．33
D ．34 【答案】B
6、若0a b <<，则下列不等式成立的是 A ．ac bc > B ．1b a
> C ．a b > D ．(
)()
1
12
2
a
b
< 【答案】C
【解析】 当0c =时，0ac bc ==，A 错。

由010b a b a
<<⇒>>，B 错。

利用
绝对值的几何意义得：a b >，C
正确。

因为12x
y ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在定义域上为单调
减函数由0a b <<得1122a
b
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故D 错。

考点:不等式的性质
7、函数cos(4)3
y x π=+的图象的相邻两个对称中心间的距离为
A ．8π
B ． 4π
C ．2
π
D.．π
【答案】B
【解析】相邻两个对称中心间的距离为半个周期，所以4
2
π
=
=T d ,故选
B 。

考点：三角函数的性质
8、函数y = log 2 ( x 2 – 5x – 6 ）单调递减区间是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛
∞-25,
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25
C ．()1,-∞-
D ．（+∞,6)
9、为了得到函数x y 3sin 2=的图象，可以将函数)2
3sin(2π
+
=x y 的图象
( ）而得到。

A ．向右平移6
π个单位 B ．向右平移2
π个单位
C ．向左平移6
π个单位 D ．向左平移2
π个单位
【答案】A
【解析】
)3()
26y x x ππ=+=+，因此把它的图象向右平移
6
π
个单位，
可得
y x =的图象，故选A ．
考点：三角函数的图象变换．
10、ABC △的三个内角为A B C 、、,若关于x 的方程2
2
cos cos cos 02
C
x x A B --=有一根
为1, 则ABC △一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
【答案】A
【解析】依题意可知2
1cos cos cos 02
C
A B --=， ∵()2
1cos cos 11cos cos sin sin cos
2222
A B C C A B A B -++-+=== ∴1-cosAcosB-1cos cos sin sin 2
A B A B -+=0，整理得cos （A-B ）=1 ∴A=B
∴三角形为等腰三角形 考点：解三角形
11、如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC 和CD 的中点,若
AC AM BN λμ=+，则λμ+=（
）
A.35 B 。

43
C 。

2 D.85
【答案】D
【解析】以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则()111,,,1,1,122AM BN AC ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
∵AC AM BN λμ=+,
∴112
112λμλμ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
. ∴λ+μ=85。

考点:向量的线性运算性质及几何意义 12、若点(,)P a b 在函数2
3ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图
像上，则2
2()()a c b d -+-的最小值为（ ）
A 2
B ．2
C ．22
D ．8
【答案】D
【解析】设直线
m
x y +=与曲线
23ln y x x
=-+相切于()0
,y x P ，由函数
23ln y x x =-+,∴x x y 3
2+
-='，令1320
0=+-x x ，又00>x ，解得10=x ．∴11ln 310-=+-=y ，
可得切点()1,1-P ．代入m +=-11,解得2-=m ．可得与直线2+=x y 平行且与曲线2
3ln y x x =-+相切的直线2-=x y ．而两条平行线2+=x y 与2-=x y 的距
离222
2
2=--=
d ．∴2
2
()()
a c
b d -+-的最小值是()
2
2
2
8=．故选：D ．
考点：（1）两点间距离公式的应用；（2）导数在最值中的应用. 【方法点晴】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法,属于中档题．先求出与直线2+=x y 平行且与曲线2
3ln y x
x =-+相切的直线
2-=x y ，由数形结合可知，当过点P 的切线与2+=x y 平行时,对应的值
最大，即为两平行线间的距离，再求出此两条平行线之间的距离(的平方)即可得出．
二、填空题（共4小题,每小题5分）
13、已知集合{0,1,2}A =，则集合A 的真子集共有 个． 【答案】7
【解析】集合含有3个元素，则子集个数为3
28=，真子集有7个
考点：集合的子集
14、若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最大值为
【答案】7
15、数列{a n ｝中,若a n ＋1＝，a 1＝1,则a 6等于_________ 【答案】
【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝得a n 〉0,
又a 2＝＝，又由已知可以看出a n ＋1〈a n ，
故a 6应小于。

16、对于数25,规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是______ 【答案】250
【解析】第一次操作为：
3325133+=,第二次操作为：
33313355
++=, 第三次操作为： 3355250
+=, 第四次操作为：
333250133++=，操作结果以3为周期,循环出现．2016
3672=⨯,所以第
2016次操作后得到的数与第三次操作后得到的数相同， 第2016次操作后得到的数为250.
考点：1、合情推理;2。

归纳推理．
三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题12分)
17、已知。

sin()cos(2)tan()()tan()cos()
2
f παπααπαπ
απα---+=----
（1）化简()f α；
（2）若α是第三象限角，且31cos()2
5
πα-=,求()f α的值。

【答案】（1)αcos -；(2）5
62。

试题分析：（1)()f α利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形,即可得到结果；（2）已知等式左边利用诱导公式化简求出
α
sin 的值，再利用同角三角函数基本关系求出αcos 的值，即可确定出
()αf 的值．
试题解析：（1）sin()cos(2)tan()()tan()sin()
f παπααπααππα---+=-----()αα
ααααcos sin tan tan cos sin -=⋅-⋅=；
(2))∵α为第三象限角，且31cos()2
5
πα-=，
∴5
1sin -=α，∴5
62sin 1cos 2-
=--
=αα，则()5
62cos =-=ααf ．
考点：运用诱导公式进行化简.
18、已知向量(cos ,sin ),[0,]a θθθπ=∈，向量(3,1)b =-
（1）当//a b ，求θ。

（2）当a b ⊥时,求θ. （3）求|2|a b -的最大和最
小值
【答案】（1)θ=3
2π； （2）θ=3
π; （3）最大值为4，最小值为2
（3－1)
19、某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台。

每批都购入x 台（x∈ N ＊）,且每批均需付运费400元。

贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元。

现在全年只有24 000元资金用于支付这笔费用,请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由.
【答案】
20、已知向量(cos ,sin )αα=a ,(cos ,sin )ββ=b ，255
-=a b 。

（Ⅰ）求cos()αβ-的值；
（Ⅱ）若02πα<<,02
πβ-<<，且5sin 13
β=-，求sin α.
【答案】(Ⅰ）35（Ⅱ）3365
试题分析：（Ⅰ）由向量坐标得到a b -的坐标，代入向量模运算公式可得()cos αβ-的值;(Ⅱ)将所求角α用,αββ-表示出来,借助于两角和的正弦公式求解 试题解析：（Ⅰ)
(cos ,sin )αα=a ,(cos ,sin )ββ=b ,
()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，.
25
5
-=
a b ,()()
22
25cos cos sin sin 5
αβαβ∴-+-=
，
即()422cos 5
αβ--=，
()3cos 5
αβ∴-=
. （Ⅱ）
0,0,02
2
π
π
αβαβπ
<<
-
<<∴<-<，
()3
cos 5αβ-=
，()4sin .5αβ∴-=5sin 13β=-，12cos 13
β∴=, ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦4123533
51351365
⎛⎫=
⋅+⋅-=
⎪⎝⎭ 考点：向量的模与三角函数求值
21、已知数列{a n ｝的前项n 和为S n ，点（n,S n ）（n ∈N ＊)均在函数f （x)=3x 2﹣2x 的图象上． (1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
是数列{b n }的前n 项和，求使得2T n ≤λ﹣2015
对所有n ∈N ＊都成立的实数λ的范围．
【答案】（1）（2）λ≥2016…
【解析】解：（1)∵点（n ，S ）在函数f(x ）=3x 2﹣2x 的图象上，∴
当n=1时,a 1=S 1=3﹣2=1…（2分） 当n≥2时,
=6n ﹣5…（5分）
当n=1时，6n ﹣1=1符合∴…(6分）
（2）∵,
∴=
…(10分)
∴2T n ＜1
又∵2T n ≤λ﹣2015对所有n ∈N *都成立∴1≤λ﹣2015 故λ≥2016…（12分） 22、已知函数)(2
1ln )(2
R m x
x m x f ∈-=满足1)1('=f .
(1）求m 的值及函数)(x f 的单调区间; （2）若函数)32
1()()(2
c x x
x f x g +--=在]3,1[内有两个零点，求实数c 的取值
范围。

【答案】（1)函数2
2
1ln )(x x m x f -=的定义域是),0(+∞。

x x
m
x f -=
)(/ ，由1)1(/=f 得11=-m , 2=∴m ，即
x
x x x x f 2
/
22)(-=
-=。

令0)(/
=x f
得:2=x 或(舍去)。

当)2,0(∈x 时,0)(/>x f ，)(x f ∴在)2,0(上是增函数；
当),2(
+∞∈x 时,0)(/<x f ，)(x f ∴在),2(+∞上是减函数。

∴函数)(x f 的增区间是)2,0(，减区间是),2(+∞。

(2)由（1)可知2
2
1ln 2)(x x x f -=，
∴c x x
x x g -+-=3ln 2)(2
,
∴x
x x x x x g 2
32322)(2/
++-=+-=。

令0)(/
=x g
得:2=x 或2
1
-
=x (舍去)。

当)2,1[∈x 时,0)(/
>x g
,则)(x g 在)2,1[上单调递增；
当]3,2(∈x 时,0)(/
<x g
,则)(x g 在]3,2(上单调递减.
又∵函数)(x g 在]3,1[有两个零点等价于:
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>≤0)3(0)2(0)1(g g g ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-03ln 2022ln 202c c c 22ln 23ln 23ln 222ln 22
+<≤⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+<≥⇒c c c c ，
∴实数c 的取值范围是。