八年级上册数学压轴题试卷(人教版)及答案

八年级上册数学压轴题试卷(人教版)及答案
一、压轴题
1．对x y 、定义一种新运算T ，规定：()()(),2T x y mx ny x y =++（其中m
n 、均为非零常数）．例如：()1,133T m n =+．
（1）已知()()1,10,0,28T T -==．
①求m
n 、的值； ②若关于p 的不等式组()(
)2,244,32T p p T p p a ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围； （2）当22x y ≠时，()(),,T x y T y x =对任意有理数,x y 都成立，请直接写出m
n 、满足的关系式．
学习参考：①()a b c ab ac +=+，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②()()a b m n am an bm bn ++=+++，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．
解析：（1）①11m n =⎧⎨=⎩
；②42≤a ＜54；（2）m=2n 【解析】
【分析】
（1）①构建方程组即可解决问题；
②根据不等式即可解决问题；
（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．
【详解】
解：（1）①由题意得()0
88m n n ⎧--=⎨=⎩，
解得11m n =⎧⎨=⎩
， ②由题意得()()(
)()222424432464p p p p p p p p a ⎧+-+->⎪⎨+-+-≤⎪⎩， 解不等式①得p ＞-1．
解不等式②得p≤
1812a -， ∴-1＜p≤1812
a -， ∵恰好有3个整数解，
∴2≤1812
a -＜3．
∴42≤a ＜54；
（2）由题意：（mx+ny ）（x+2y ）=（my+nx ）（y+2x ），
∴mx 2+（2m+n ）xy+2ny 2=2nx 2+（2m+n ）xy+my 2，
∵对任意有理数x ，y 都成立，
∴m=2n ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．探究发现：如图①，在ABC 中，内角ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线相交于点E ．
（1）若80A ∠=︒，则E ∠= ；
若50A ∠=︒，则E ∠= ；
（2）由此猜想：A ∠与E ∠的关系为 (不必说明理由)．
拓展延伸：如图②，四边形ABCD 的内角DCB ∠与外角ABE ∠的平分线相交于点F ，//BF CD ．
（3）若125A ∠=︒，95D ∠=︒，求F ∠的度数，由此猜想F ∠与A ∠，D ∠之间的关系，并说明理由．
解析：（1）40°25°；（2）12∠=
∠E A (或2E ∠=∠Ａ)（3）F ∠=()1902
A D ∠+∠-︒ 【解析】
【分析】
（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将A ∠的角度带入即可求解；
（2）由（1）可得，即可求解；
（3）在DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ，可知1==2BCF DCF BCD ∠∠∠12
EBF ABE ∠=∠，又因为//BF CD ，两直线平行内错角相等，得出F DCF ∠=∠，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和，得出+EBF F BCF ∠=∠∠，再由四边形的内角和定理得出
++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，最后在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，代
入整理即可得出结论．
【详解】
解：（1）由题可知：BE 为DBA ∠的角平分线，CE 为BCA ∠的角平分线，
∴DBA ∠=2EBA ∠=2EBD ∠，BCA ∠=2BCE ∠，
∴1802ABC EBA ∠=-∠，
三角形内角和等于180，
∴在ABC 中：+180A ABC BCA ∠∠+∠=，
即：+(1802)2180A EBA BCE ∠-∠+∠=，
220A EBA BCE ∠-∠+∠=①，
在EBC 中：+180E EBC BCE ∠∠+∠=，
即：+180-180E EBA BCE ∠∠+∠=（），
-0E EBA BCE ∠∠+∠=②，
综上所述联立①②，由①-②×2可得 ：
22-2-0A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠+∠=（），
22-2+2-20A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠∠=，
-20A E ∠∠=，
1=2
E A ∠∠， 当80A =∠，则E ∠=40；
当50A ∠=，则E ∠=25；
故答案为40，25；
（2）由（1）知：12
∠=∠E A (或2A E ∠=∠)； （3）∵DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ， ∴1==
2BCF DCF BCD ∠∠∠，12
EBF ABE FBA ∠=∠=∠ ， 又∵//BF CD ，
∴F DCF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）BCF =∠，
∵EBF ∠是CBF 的一个外角，
∴+=2EBF F BCF F FBA ∠=∠∠∠=∠（三角形一外角等于不相邻的两个内角的和）， 在四边形ABCD 中，四边形内角和为360，125A ∠=， 95D ∠=，
∴++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，
∴360---=360---2ABC A D BCD A D F ∠=∠∠∠∠∠∠①，
∴=360-125-95-2=140-2ABC F F ∠∠∠，
即140-2ABC F ∠=∠，
在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，
2FBC FBA ABC F ABC ∠=∠+∠=∠+∠，
由上可得：+2+180F F F ABC ∠∠=∠+∠，
4180F ABC =∠+∠②，
又∵=140-2ABC F ∠∠，
∴-42014018F F ∠=∠+，
240F ∠=，
20F ∠=，
由①②可得，-4-13608-20F A D F ∠+∠∠=∠，
2+180F A D =∠+∠∠，
+-9102
F A D ∠∠=∠）（． 【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．
解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 解析：（1）2；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；
（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．
【详解】
（1）由题意知21=22
ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S
S S S S =+=+==四边形， 故答案为2；
（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：
FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，
∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，
∴FH=FK ，
又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，
∴FMK FMH ≌，
∴MK=FN=2cm ，
∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S S
S S S MK FN =++=⨯⋅=五边形． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．
4．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。

①当50A ︒∠=时，则BOC ∠=
②当A α∠=时，求BOC ∠的度数（用含α的代数式表示）﹔
（2）应用：如图2，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OB 上运动（点B 不与点O 重合），延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于E F 、，在AEF ∆中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.
解析：（1）①25°；②12α ；（2）6045︒︒或．
【解析】
【分析】
（1）①利用外角和性质∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠OCD ＝∠BOC ＋∠OBC ，再利用角平分线的定义进行等量代换即可；
②与①同理可得；
（2）根据题意分情况进行讨论，用到（1）的结论计算即可
【详解】
（1）①∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠OCD ＝∠BOC ＋∠OBC ，
∵OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACD ，
∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBC ，
∴2∠OCD ＝2∠OBC ＋∠A ，
∴∠A ＝2∠BOC ，
∵∠A ＝50°，
∴∠BOC ＝12
∠A ＝25°， 故填：25°；
②A ABC ACD ∠+∠=∠，且A α∠=
ACD ABC A α∴∠-∠=∠= BO 平分,ABC CO ∠平分ACD ∠
11,22
OBC ABC OCD ACD ∴∠=∠∠=∠ BOC OBC OCD ∠+∠=∠
()111222
ACD ABC ACD ABC ∴∠-∠=∠-∠ 1122
A α=∠=
（2）,BAO OAG ∠∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于,E F ， EAF EAO FAO ∴∠=∠+∠ ()1902
BAO GAO ︒=∠+∠= 符合题意的情况有两种： ①130,3
E EA
F ︒∠=∠= 根据（1）可知：260ABO E ︒∠=∠= ②13E F ∠=
∠ 22.5E ︒∴∠=
根据（1）可知：245ABO E ︒∴∠=∠=
【点睛】
本题考查三角形外角和的性质、角平分线的定义，利用分类讨论的数学思想是关键．
5．已知：MN ∥PQ ，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，点C 为MN ，PQ 之间的一点，连接CA ，CB ．
（1）如图1，求证：∠C=∠MAC+∠PBC ；
（2）如图2，AD ，BD ，AE ，BE 分别为∠MAC ，∠PBC ，∠CAN ，∠CBQ 的角平分线，求证：∠D+∠E=180°；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D 作DA 的垂线交PQ 于点G ，点F 在PQ 上，∠FDA=2∠FDB ，FD 的延长线交EA 的延长线于点H ，若3∠C=4∠E ，猜想∠H 与∠GDB 的倍数关系并证明．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）猜想：∠H= 3∠GDB ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）作辅助线：过C 作EF ∥MN ，根据平行的传递性可知这三条直线两两平行，由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，再进行角的加和即可得出结论；
（2）根据角平分线线定理得知11,22
MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠，利用平角为180°得到∠DAE=90°，同理得90DBE ∠=︒，再根据四边形内角和180°，得出结论；
（3）由（1）（2）中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E ，并且两角的和为180°，由此得到两个角的度数分别为72°和108°，利用角的和与差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍数关系． 【详解】
（1）如图：过C 作EF ∥MN ，
∵MN ∥PQ ， ∴MN ∥EF ∥PQ ，
∴∠MAC=∠ACF ，∠BCF=∠PBC ，
∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC ，即∠ACB=∠MAC+∠PBC ．
（2）∵AD ，AE 分别为∠MAC ，∠CAN 的角平分线，
∴11,22
MAD MAC NAE NAC ∠=∠∠=∠， ∴11118090222MAD NAE MAC NAC ∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒，于是∠DAE=90° 同理可得：90PBD QBE ∠+∠=︒，由（1）可得：
∵ 180D E MAD PBD NAE QBE ∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒．
（3）猜想：∠H= 3∠GDB.
理由如下：由（1）可知：2()2C MAC PBC MAD PBD ADB ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∵3∠C=4∠E ，
∴6∠ADB=4∠E ，
∴3∠ADB=2∠E ，
∵∠ADB+∠E=180°，
∴∠ADB=72°，∠E=108°，
∵DG ⊥DA ，∴∠GDB=18°，
∵∠FDA=2∠FDB ，
∴∠ADF=144°，
∴∠HDA=36°，
∵DA ⊥AE ，
∴∠H=54°，
∴∠H=3∠GDB ．
【点睛】
考查平行线中角度的关系，学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理，结合角的和与差进行计算，本题的关键是平行线的性质．
6．在△ABC 中，AB =AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE =AD ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．
（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，若∠BAC =40°，则∠ACE = ，∠DCE = ，BC 、DC 、CE 之间的数量关系为 ；
（2）设∠BAC =α，∠DCE =β．
①当点D 在BC 延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上（不与B ，C 两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
（3）当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，试探究∠ACB 的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．
解析：（1）70°，40°，BC +DC =CE ；（2）①α=β；②当点D 在BC 上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB =60°．
【解析】
【分析】
（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则
∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；
（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则
∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β；
（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β；
（3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°．【详解】
（1）如图1所示：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE=∠B
1
2
=（180°﹣40°）=70°，BD=CE，
∴BC+DC=CE．
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=40°，
∴∠DCE=40°．
故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；
（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
AB AC
BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
②分三种情况：
（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：
同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°．
∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，
∴α+β=180°；
（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：
同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE．
∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；
综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；
（3）∠ACB=60°．理由如下：
∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，
即∠BAC=∠DCE．
∵CE∥AB，
∴∠ABC=∠DCE，
∴∠ABC=∠BAC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
∵当D在线段BC上时，α+β=180°，
即∠BAC+∠DCE=180°．
∵CE∥AB，
∴∠ABC+∠DCE=180°，
∴∠ABC=∠BAC．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°；
综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
解析：（1）1，2，3；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，在图1-4和图1-5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【详解】
解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．
（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．
8．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 为ABC ∆内一点，且BD AD =．
（1）求证：CD AB ⊥；
（2）若15CAD ∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．
①求BDC ∠的度数．
②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由． ③若点N 为直线AE 上一点，且CEN ∆为等腰∆，直接写出CNE ∠的度数．
解析：（1）证明见解析；（2）①120BDC ∠=︒；②ME BD =，理由见解析；③ 7.5°或15°或82.5°或150°
【解析】
【分析】
（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①利用SSS 证得△ADC ≌△BDC ，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解题；
②连接MC ，易证△MCD 为等边三角形，即可证明△BDC ≌△EMC 即可解题；
③分EN=EC 、EN=CN 、CE=CN 三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵CB=CA ，DB=DA ，
∴CD 垂直平分线段AB ，
∴CD ⊥AB ；
（2）①在△ADC 和△BDC 中，
BC AC CD CD BD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△BDC （SSS ），
∴∠ACD=∠BCD=12
∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BDC=180︒-45°-15°=120°；
②结论：ME=BD ，
理由：连接MC ，
∵AC BC =，90ACB ∠=︒，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
由①得∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
∵DC=DM ，∠CDE=60°，
∴△MCD 为等边三角形，
∴CM=CD ，
∵EC=CA=CB ，∠DMC=60°，
∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，
在△BDC 和△EMC 中，
15120CBD E BDC EMC CD CM ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△EMC （AAS ），
∴ME=BD ；
③当EN=EC 时，∠1152EN C ︒==7.5°或∠2EN C =180152
︒-︒=82.5°；
当EN=CN 时，∠3EN C =180215︒-⨯︒=150°；
当CE=CN 时，点N 与点A 重合，∠CNE=15°，
所以∠CNE 的度数为7.5°或15°或82.5°或150°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
9．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6．
（1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度；
②当t 为何值时，点M 与点N 重合；
③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
解析：（1）①证明见解析；②DE =14；（2）①8t －10；②t =2；③t =
10,211
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC ＝∠ECB ，由AAS 即可得出△ADC ≌△CEB ； ②由全等三角形的性质得出AD ＝CE ＝8，CD ＝BE ＝6，即可得出DE ＝CD ＋CE ＝14； （2）①当点N 在线段CA 上时，根据CN ＝CN−BC 即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
ADC CEB
DAC ECB AC CB
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：
CN＝CN−BC＝8t−10；
②点M与点N重合时，CM＝CN，
即3t＝8t−10，
解得：t＝2，
∴当t为2秒时，点M与点N重合；
③分两种情况：
当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，
∴CM＝CN，
∴3t＝10−8t，
解得：t＝10 11
；
当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，
解得：t＝2；
综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于10
11
s或2s，
故答案为：10
11
s或2s．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
解析：(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析
【解析】
【分析】
(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；
(2)同(1)方法即可；
(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；
(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，
故答案为：150；
(2) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，
设DP与BE的交点为F，
∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．
(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，
设PE与AC的交点为G，
∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α．
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．
11．（概念认识）
如图①，在∠ABC 中，若∠ABD ＝∠DBE ＝∠EBC ，则BD ，BE 叫做∠ABC 的“三分线”．其中，BD 是“邻AB 三分线”，BE 是“邻BC 三分线”．
（问题解决）
（1）如图②，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝45°，若∠B 的三分线BD 交AC 于点D ，则∠BDC ＝ °；
（2）如图③，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 邻AB 三分线和∠ACB 邻AC 三分线，且BP ⊥CP ，求∠A 的度数；
（延伸推广）
（3）在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的外角，∠B 的三分线所在的直线与∠ACD 的三分线所在的直线交于点P ．若∠A ＝m°，∠B ＝n°，直接写出∠BPC 的度数．（用含 m 、n 的代数式表示）
解析：（1）85或100；（2）45°；（3）23m 或13m 或23m ＋13n 或13m －13n 或13n －13
m 【解析】
【分析】
（1）根据题意可得B 的三分线BD 有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得BDC ∠的度数；
（2）根据BP 、CP 分别是ABC ∠邻AB 三分线和ACB ∠邻AC 三分线，且BP CP ⊥可得135ABC ACB ，进而可求A ∠的度数；
（3）根据B 的三分线所在的直线与ACD ∠的三分线所在的直线交于点P ．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时；情况二：如图②，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻CD 三分线”时；情况三：如图③，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时；情况四：如图④，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻CD 三分线”时，再根据A m ∠=︒，B n ∠=︒，即可求出BPC ∠的度数．
【详解】
解：（1）如图，
当BD 是“邻AB 三分线”时，701585BD C
； 当BD 是“邻BC 三分线”时，7030100BD C
； 故答案为：85或100；
（2）
BP CP ， 90BPC ∴∠=︒，
90PBC PCB ， 又BP 、CP 分别是ABC ∠邻AB 三分线和ACB ∠邻AC 三分线， 23PBC ABC ，23
PCB ACB ∠=∠， ∴229033
ABC ACB ， 135ABC ACB ，
在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒ 180()45A ABC
ACB ． （3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻AC 三分线”时，
2233
BPC A m ； 情况二：如图②，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻CD 三分线”时，
1133
BPC A m ； 情况三：如图③，当BP 和CP 分别是“邻BC 三分线”、“邻AC 三分线”时，
21213333
BPC A ABC m n ； 情况四：如图④，当BP 和CP 分别是“邻AB 三分线”、“邻CD 三分线”时，
①当m n >时，11113333BPC A ABC m n ∠=∠-∠=-； ②当m n <时，11113333
P ABC A n m ∠=
∠-∠=-． 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．
12．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=8cm ，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． （1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，BP= cm ，CQ= cm ． （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，
都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇？
解析：（1）BP=3cm ，CQ=3cm ；（2）全等，理由详见解析；（3）
154；（4）经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP 、CQ 的长；
（2）利用SAS 可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC ，CQ=BD ，从而求出t 的值； （4）第一次相遇，即点Q 第一次追上点P ，即点Q 的运动的路程比点P 运动的路程多10+10=20cm 的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s ，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm ，
∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=5cm ．
又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇．
由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
13．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．
(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；
(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC
的值．
解析：（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）
23
． 【解析】
【分析】
（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可； （2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；
【详解】
（1）证明：如图1中，
BE AD ⊥于E ，
90AEF BCF ∴∠=∠=︒，
AFE CFB ∠=∠，
DAC CBF ∴∠=∠，
BC AC =，
BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，
BF AD ∴=．
（2）结论：2BD CF =．
理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．
90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，
90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，
ADC EAH ∴∠=∠，
AD AE =，
ACD EHA ∴∆≅∆， CD AH ∴=，EH AC BC ==，
CB CA =，
BD CH ∴=，
90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，
EHF BCF ∴∆≅∆，
FH FC ∴=，
2BD CH CF ∴==．
（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．
90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，
90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，
ADC EAH ∴∠=∠，
AD AE =，
ACD EHA ∴∆≅∆，
CD AH ∴=，EH AC BC ==，
CB CA =，
BD CH ∴=，
90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，
EHM BCM ∴∆≅∆，
MH MC ∴=，
2BD CH CM ∴==．
3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233
DB a BC a ==．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．
14．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
（深入探究）
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．
（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝
角．求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．
解析：（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC不全等．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
【详解】
（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．
（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角
∴G、H分别在AB、DE的延长线上．
∵CG⊥AG，FH⊥DH，
∴∠CGA＝∠FHD＝90°．
∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，
∴∠CBG＝∠FEH．
在△BCG和△EFH中，
∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，
∴△BCG≌△EFH．
∴CG＝FH．
又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．
∴∠A＝∠D．
在△ABC和△DEF中，
∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF．
（3）如图②，△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
15．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .
（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；
（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=︒，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；
（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=︒，NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，再根据角平分线的性质可得CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判
定即可得证；
（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证；
（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证．
【详解】
（1）3,090A ACB ∠=︒∠=︒
9060ABC A ∴∠=︒-∠=︒ BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
CD ED ∴=
在BCD ∆和BED ∆中，CD ED BD BD =⎧⎨=⎩
()BCD BED HL ∴∆≅∆
BC BE ∴=
EBC ∴∆是等边三角形；
（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF
3,090A ACB ∠=︒∠=︒，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥
60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=︒=
60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=︒∠=︒-∠-∠=︒
MDF ∴∆是等边三角形
,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=︒
60BMG ∠=︒
DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠
在FMG ∆和DMB ∆中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()FMG DMB ASA ∴∆≅∆
GF BD ∴=，即DF DG BD +=
AD DF DG MD DG ∴=+=+
即AD DG MD =+；
（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下：
如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH
由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=︒∠=︒-∠-∠=︒= HDN ∴∆是等边三角形
,60NH ND H HND ∴=∠=∠=︒
60BNG ∠=︒
HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠
在HNB ∆和DNG ∆中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()HNB DNG ASA ∴∆≅∆
HB DG ∴=，即DH BD DG +=
ND AD DG ∴+=
即AD DG ND =-．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键．
二、选择题
16．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A ．垂线段最短
B ．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线
解析：C
【解析】
【详解】
用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选C．
【点睛】
根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
17．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示91颗的是（）
A．B．
C．D．
解析：B
【解析】
【分析】
由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别进行计算，然后把它们相加即可得出正确答案．
【详解】
解：A、5+3×6+1×6×6＝59（颗），故本选项错误；
B、1+3×6+2×6×6＝91（颗），故本选项正确；
C、2+3×6+1×6×6＝56（颗），故本选项错误；
D、1+2×6+3×6×6＝121（颗），故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
18．以下选项中比-2小的是（）。