§11-1研究点的运动的直角坐标法

（11-9）
此式表明：点的速度在直角坐标轴上的投影，分别等于对应的位置坐标对时 间的一阶导数。 利用上式求出速度在直角坐标轴上的投影后，可以很容易求出点的速度。 （三）、点的加速度在直角坐标轴上的投影
x a x = dt dt 2 d vy d y a y = dt = dt d vz d 2 z a z = dt = dt d vx =d
式（11-4）~式（11-7）是匀变速直线运动计算的基本公式。
【例1】点沿直线运动，其运动方程为x=t³-12t+2（式中x的单位为m，t和单位为s）,试 求第3s时刻时： (1)、点所在的位置； (2)、此时的速度和加速度； (3)、判定此时作加速运动还是减速运动。 解：(1)、将t=3s代入运动方程 x=t³-12t+2=3³-12×3+2=-7（m） 点在原点负侧7m处。 (2)、求速度和加速度
动点在t时刻的速度为1在经过时间间隔t后速度变为2则军事计划t这段时间间隔内动点的平均加速度为a其计算式为当当tt00时平均加速度的极限值为动点在时平均加速度的极限值为动点在tt时刻的瞬时加速度时刻的瞬时加速度aa其计算式为其计算式为113瞬时加速度等于速度对时间的一阶导数也等于坐标或运动方程对时间的二阶导数
υ=
dx = 3t 2 − 12 dt
d 2 x dυ a= 2 = = 6t dt dt
将t=3s分别代入上式 υ=3×3²-12=15（m/s） a=6×3=18(m/s²) (3)、判定运动状态。 在t=3s时，υ和a均为正，所以点在第3s时作加速运动。
二、用直角坐标法表示点的速度和加速度 （一）、点的直角坐标运动方程 当点运动时，其空间的位置坐标x、y、 z都是时间t的函数关系，即
2
（11-10）
此式表明：点的加速度在直角坐标轴上的投影，分别速度在直角坐标轴上的 投影对时间的一阶导数，或等于对应的位置坐标对时间的二阶导数。 利用上式求出加速度在直角坐标轴上的投影后，可以很容易求出点的全加速度。
［例3 如图示的椭圆规机构中，已知连杆AB长为L ［例3］ 如图示的椭圆规机构中，已知连杆AB长为L，连杆两端分别与滑块铰接， 滑块可在两互相垂直的导轨内滑动，α 滑块可在两互相垂直的导轨内滑动，α=ωt，AM=2L/3求连杆上点M的运动方程 AM=2L/3求连杆上点M 和点M 和点M的轨迹方程。 解：建立如图所示的直角坐标，得
x =
f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t )
（11-8）
式（11-8）称为动点M的直角坐标运动方程。从上式中消去时间t，得到x、y、z 之间的关系，就是动点M的轨迹方程。 （二）、点的速度在直角坐标轴上的投影
dx d f 1 (t ) v x = dt = dt dy d f 2 (t ) = = v y dt dt dz d f 3 (t ) v z = dt = dt
加速度是描述动点运动速度变化快慢的物理量。动点在t时刻的速度为υ1，在 经过时间间隔∆t后，速度变为υ2，则军事计划∆t这段时间间隔内动点的平均加速 度为a*，其计算式为
a =
*
υ 2 − υ1
∆t
∆υ = ∆t
当∆t→0时，平均加速度的极限值为动点在t时刻的瞬时加速度a，其计算式为 ∆t→ 时，平均加速度的极限值为动点在t时刻的瞬时加速度a
∆x υ* = ∆t
∆x dx υ = lim = = = f ′(t ) ∆t → 0 ∆t dt
速度的常用单位是m/s（米/秒）。 （三）、加速度
当∆t→0时，平均速度的极限值为动点在t时刻的瞬时速度υ，其计算式为 (11-2)
瞬时速度为动点的坐标对时间的一阶导数。在直线运动中，瞬时速度是一个代数量 。当它为正时，表示动点沿坐标正向运动。当它为负时，沿坐标负向运动。
xt = x0 + vt
式（11-4）为匀速直线运动的运动方程。
(11-4)
当动点加速度为一常数时，即动点速度的改变量不发生变化。动点作匀变速 直线运动。
υ t = υ 0 + at
2 2 0
（11-5） （11-6） （11-7）
1 2 x = x 0 + υ 0 t + at 2
υ t − υ = 2a ( x − x 0 )
∆υ dυ d [ f ′(t )] a = lim = = = f ′′(t ) ∆t →0 ∆t dt dt
(11-3)
瞬时加速度等于速度对时间的一阶导数，也等于坐标（或运动方程）对时间的 二阶导数。瞬进加速度也是一个代数量，当瞬时加速度为正时，表明向坐标轴正向 加速。反之则向负方向加速。应当注意的是加速度为正，并不表示速度越来越快， 它只表达了加速的方向当速度也为正时，即运动方向也是正方向与运动方向一致。 动点速度的绝对值越来越快，作加速运动。当速度为负时，加速的方向与运动方向 相反，动点速度的绝对值越来越小，作减速运动。总之，速度和加速度符号一致时 作加速运动。异号时作减速运动。 （四）、匀速运动和匀变速运动 当动点的速度为一常数时，动点作匀速直线运动，这时加速度等于零
式（11-1）就是动点的运动方程。它表达了动点位置随时间的变化规律，并能确 定动点在任意瞬时所在直线上的位置。
（二）、速度
速度是描述动点运动快慢的一个物理量。设动点在t时刻在M所在的位置如图 11-1所示。在经过时间间隔∆t之后达到M1位置，MM1=∆x我们定义：在∆t这个 时间间隔内，动点的平均速度为υ*,其计算式为
2 x = l cos α 3 1 y = l sin α 3
将α=ωt代入上式得点的运动方程： α
2 x = l cos ωt 3 1 y = l sin ωt 3
从上式消去时间t得点M的轨迹方程： 此式表明：点M的运动轨迹为一椭圆
x
2
4
+
y
2
=l 9
2
第三篇 运动力学
研究物体点。仅研究它的运动，不考虑它的质量时，就称为动点或简称为点。 多个质点组成的系统称为质点系。各质点间距离保持不变的质点系称为刚体。
第十一章 点的运动
§11-1 点的直线运动及用直角坐标法表示点的速度和加速度 一、点的直线运动 （一）、运动方程 动点作直线运动。以该直线作为描述 动点运动规律的人材轴，选择一点O 作为坐标原点，并规定原点两侧的正 负方向，见图11-1。 动点在任意瞬时的位置，可由坐标来确定. x=f（t） （11-1）