2020-2021学年人教版七年级下学期期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年七年级下期末考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知某细菌直径长约0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为（）
A．152×105米B．1.52×10﹣5米
C．﹣1.52×105米D．1.52×10﹣4米
解：0.0000152＝1.52×10﹣5．
故选：B．
2．（3分）下列各式变形中，是因式分解的是（）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1B．2x2+2x=2x2(1+1 x )
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2解：A、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误；
C、整式的乘法，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；
故选：D．
3．（3分）如图，∠B的内错角是（）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4解：A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；
B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；
C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；
D、∠B与∠4是不是内错角，故此选项不合题意；
故选：A．
4．（3分）不等式﹣2x+6＜0的解集在数轴上表示，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：﹣2x ＜﹣6， x ＞3， 故选：A ．
5．（3分）下列运算正确的是（ ） A ．（a 2）5＝a 7 B ．（x ﹣1）2＝x 2﹣1 C ．3a 2b ﹣3ab 2＝3
D ．a 2•a 4＝a 6
解：A 、（a 2）5＝a 10，故原题计算错误； B 、（x ﹣1）2＝x 2﹣2x +1，故原题计算错误；
C 、3a 2b 和3ab 2不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
D 、a 2•a 4＝a 6，故原题计算正确； 故选：D ．
6．（3分）若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ﹣5＜b ﹣5 B ．3a ＞3b
C ．2+a ＜2+b
D ．a
3
＜b
3
解：∵a ＞b ， ∴a ﹣5＞b ﹣5， ∴选项A 不正确； ∵a ＞b ， ∴3a ＞3b ， ∴选项B 正确； ∵a ＞b ， ∴2+a ＞2+b ， ∴选项C 不正确； ∵a ＞b ，
∴a 3
＞b
3
，
∴选项D 不正确． 故选：B ．
7．（3分）下列命题中，假命题的是（ ） A ．三角形中至少有两个锐角
B ．如果三条线段的长度比是3：3：5，那么这三条线段能组成三角形
C ．直角三角形一定是轴对称图形
D ．三角形的一个外角一定大于和它不相邻的任何一个内角 解：A 、三角形中至少有两个锐角，正确，是真命题；
B 、如果三条线段的长度比是3：3：5，那么这三条线段能组成三角形，正确，是真命题；
C 、等腰直角三角形一定是轴对称图形，错误，是假命题；
D 、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故正确，是真命题， 故选：C ．
8．（3分）如图，五架轰炸机组成了一个三角形飞行编队，且每架飞机都在边长等于1正方形网格格点上，其中A 、B 两架轰炸机对应点的坐标分别为A （﹣2，1）和B （﹣2，﹣3），那么轰炸机C 对应点的坐标是（ ）
A ．（2，﹣1）
B ．（4，﹣2）
C ．（4，2）
D ．（2，0）
解：因为A （﹣2，1）和B （﹣2，﹣3），
所以建立如图所示的坐标系，可得点C 的坐标为（2，﹣1），
故选：A．
9．（3分）已知点M（a，3）在第二象限，则a的取值范围是（）
A．a＞0B．a＜0C．a＜3D．a＞3
解：∵点M（a，3）在第二象限，
∴a＜0，
故选：B．
10．（3分）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20，若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为15，则t的值为（）
A．﹣3或7B．﹣4或6C．﹣4或7D．﹣3或6
解：∵D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t），
∴“水平底”a＝1﹣（﹣2）＝3．
“铅垂高“h＝1或|2﹣t|或|1﹣t|
①当h＝1时，三点的“矩面积”S＝1×3＝3≠15，不合题意；
②当h＝|2﹣t|时，三点的“矩面积”S＝3×|2﹣t|＝15，
解得：t＝﹣3或t＝7（舍去）；
③当h＝|1﹣t|时，三点的“矩面积”S＝3×|1﹣t|＝15，
解得：t＝﹣4（舍去）或t＝6；
综上：t＝﹣3或6．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．（2分）一个长方形的面积为a 3﹣4a ，宽为a ﹣2，则长为 a （a +2） ．
解：根据题意得：（a 3﹣4a ）÷（a ﹣2）＝a （a +2）（a ﹣2）÷（a ﹣2）＝a （a +2）， 故答案为：a （a +2）
12．（2分）√−273
+（−1
2）﹣
1+（3.14﹣π）0＝ ﹣4 ．
解：原式＝﹣3﹣2+1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4．
13．（2分）如图所示，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，则下列结论中，正确的为 ①② （填序号）．
①点A 到BC 的距离是线段AD 的长度； ②线段AB 的长度是点B 到AC 的距离； ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ．
解：∵AD ⊥BC ，
∴点A 到BC 的距离是线段AD 的长度，①正确； ∵∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，
∴线段AB 的长度是点B 到AC 的距离，②正确 ∵AB ⊥AC ，
∴C 到AB 的垂线段是线段AC ，③不正确． 其中正确的为①②， 故答案是：①②．
14．（2分）如图，用直尺和三角尺作出直线AB 、CD ，得到AB ∥CD 的理由是 同位角相等，两直线平行 ．
解：用直尺和三角尺作出直线AB、CD，得到AB∥CD的理由是同位角相等，两直线平行；
故答案为：同位角相等，两直线平行．
15．（2分）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF ＝34°，则∠BOD的大小为22°．
解：∵∠COE是直角，
∴∠COE＝90°，
∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠COE＝56°，
∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝56°﹣34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为：22°．
16．（2分）当前，“低头族”已成为热门话题之一，为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，应采用的收集数据的方式是D；
A．对学校的同学发放问卷进行调查
B．对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查
C．对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查
D．对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查
并说出你的理由样本具有代表性．
解：为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，应采用的收集数据的方式是对在路
边行走的路人随机发放问卷进行调查， 理由是抽取的样本具有代表性， 故答案为：D ；样本具有代表性．
17．（2分）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a ⊕b ＝2a ﹣3b ．如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13，则不等式x ⊕4＜2的解集为 x ＜7 ． 解：根据题中的新定义化简得：2x ﹣12＜2， 移项合并得：2x ＜14， 解得：x ＜7． 故答案为：x ＜7．
18．（2分）已知△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设 ∠B ≥90° ．
解：用反证法证明：第一步是：假设∠B ≥90°． 故答案是：∠B ≥90°．
三．解答题（共9小题，满分54分，每小题6分） 19．（6分）解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． {5x +2≥3(x −1)1−x−26
＞12
x
解：解不等式5x +2≥3（x ﹣1），得：x ≥−5
2
， 解不等式1−x−26＞1
2x ，得：x ＜2， ∴不等式组的解集为−52
≤x ＜2， 则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1． 20．（6分）化简求值．
（1）[（x +y ）（x ﹣y ）﹣（x ﹣y ）2+2y （x ﹣y ）]÷（﹣2y ），其中x =−12
，y ＝2． （2）已知x 2﹣2x ﹣2＝0，求（x ﹣1）2+（x +3）（x ﹣3）+（x ﹣3）（x ﹣1）的值． 解：（1）原式＝（x ﹣y ）[（x +y ）﹣（x ﹣y ）+2y ]÷（﹣2y ） ＝2y ﹣2x ，
当 x =−12，y ＝2时，原式＝2×2﹣2×（−1
2）＝5；
（2）原式＝x2﹣2x+1+x2﹣9+x2﹣4x+3
＝3x2﹣6x﹣5，
原式＝3（x2﹣2x）﹣5
＝3×2﹣5＝1．
21．（6分）因式分解．
（1）x3﹣2x2y+xy2
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）
解：（1）x3﹣2x2y+xy2，
＝x（x2﹣2xy+y2），
＝x（x﹣y）2；
（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a），
＝m2（a﹣b）﹣n2（a﹣b），
＝（a﹣b）（m2﹣n2），
＝（a﹣b）（m+n）（m﹣n）．
22．（5分）如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°，（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵CD∥AB，∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC＝70°，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝50°，
∵∠EFB＝130°，
∴∠ABF+∠EFB＝50°+130°＝180°，
∴EF ∥AB ；
（2）∵EF ∥AB ，CD ∥AB ， ∴EF ∥CD ， ∵∠CEF ＝70°， ∴∠ECD ＝110°， ∵∠DCB ＝70°，
∴∠ACB ＝∠ECD ﹣∠DCB ， ∴∠ACB ＝40°．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中：A （0，1），B （2，0），将点B 向上平移1.5个单位得到点C ．
（1）求△ABC 的面积．
（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），使得四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？求出P 点的坐标．
解：（1）∵将点B 向上平移1.5个单位得到点C ， ∴点C 的坐标为（2，1.5）， ∴△ABC 的面积=
1
2
×1.5×2=1.5； （2）∵四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等， ∴1
2×2×1+
12
×1×|a|=
12
×2×1.5，
解得：a ＝±1，
∵在第二象限内有一点P （a ，1）， ∴a ＝﹣1，
所以点P 的坐标（﹣1，1）．
24．（7分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走的步数，记录如下：
56406430652067987325
84308215745374466754
76386834732668308648
87539450986572907850对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理．
（1）请完成下面频数分布统计表；
组别步数分组频数
A5500≤x＜65002
B6500≤x＜750010
C7500≤x＜85004
D8500≤x＜95003
E9500≤x＜105001
（2）在上图中请画出频数分布直方图；
（3）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
解：（1）补全频数分布表如下：组别步数分组频数
A5500≤x＜65002
B6500≤x＜750010
C7500≤x＜85004
D8500≤x＜95003
E9500≤x＜105001（2）频数分布直方图如下：
（3）根据题意得：200×2+4+10
20
=160（人），
则估计一天行走的步数少于8500步的人数约为160人．
25．（5分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套280元，430元，且每种型号健身器材必须整套购买．若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过16000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？
解：设购进x套A种型号健身器材，则购进（50﹣x）套B种型号健身器材，
依题意，得：280x+430（50﹣x）≤16000，
解得：x≥110 3．
又∵x为正整数，
∴x的最小值为37．
答：A种型号健身器材至少要购买37套．
26．（7分）根据题意解答：
（1）如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，求∠GFB的度数（用关于a的代数式表示），并说明理由．
（2）如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1+∠2的度数，并说明理由．
（3）如图3，若∠3＝40°，∠5＝50°，∠7＝70°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8＝160度．
解：（1）∵CD平分∠ECB，FG∥CD，
∵∠ECD＝∠DCF＝∠GFB=1
2（180°﹣∠ECA），
∵∠ECA＝α，
∴∠GFB=1
2（180°﹣a）＝90°−
1
2a，
答：∠GFB的度数为90°−1
2α．
（2）如图，过点B作BM∥AE，则BM∥AE∥CD，
∴∠1+∠CBM＝180°，∠MBA+∠BAE＝180°，
∵AB⊥AE，
∴∠BAE＝MBA＝90°，
∴∠1+∠2+∠BAE＝180°×2，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠BAE＝360°﹣90°＝270°，
答：∠1+∠2的度数为270°．
（3）分别以各个角的顶点，作∠2的长边的平行线，
根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可得，
∠3+∠5+∠7＝∠2+∠4+∠6+∠1+∠8＝40°+50°+70°＝160°．故答案为：160．
27．（6分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不
等式组的“关联方程”．如：方程x ﹣1＝0就是不等式组{x +1＞0x −2＜0
的“关联方程”． （1）试判断方程①3x +2＝0，②x ﹣（3x ﹣1）＝﹣4是否是不等式组{2x −7＜04x −3＞0
的关联方程，并说明理由；
（2）若关于x 的方程2x +k ＝1（k 为整数）是不等式组{x −1＜12x −2≥−3x −1
的一个关联方程，求整数k 的值；
（3）若方程9﹣x ＝2x ，9+x ＝2（x +52）都是关于x 的不等式组{x +m ＜2x x −m ≤2的关联方程，求m 的取值范围．
解：（1）解方程3x +2＝0得：x =−23，
解方程x ﹣（3x ﹣1）＝﹣4得：x =52，
解不等式组{2x −7＜04x −3＞0得：34＜x ＜72， 所以不等式组{2x −7＜04x −3＞0
的关联方程是②； （2）解方程2x +k ＝1（k 为整数）得：x =1−k 2
解不等式组{x −1＜12x −2≥−3x −1得：14≤x ＜32，
∵关于x 的方程2x +k ＝1（k 为整数）是不等式组{x −1＜12x −2≥−3x −1的一个关联方程， ∴14≤1−k 2＜32
， 解得﹣2＜k ＜12
∴整数k ＝﹣1，0；
（3）解方程9﹣x ＝2x 得：x ＝3，
解方程9+x ＝2（x +52）得：x ＝4，
解不等式组{x +m ＜2x x −m ≤2
得：m ＜x ≤2+m ， ∵方程9﹣x ＝2x ，9+x ＝2（x +52）都是关于x 的不等式组{x +m ＜2x x −m ≤2的关联方程， ∴2≤m ＜3，
即m 的取值范围是2≤m ＜3．。