第四章：均衡纯保费与营业保费
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(m)
例 7．在 30 岁签发的某种人寿保单，要求 投保人限期 20 年每年年初均衡缴纳纯保 费，保单承诺：被保险人在 30～40 岁之间 死亡，立即提供保额 1000 元；被保险人在 40～50 岁之间死亡， 立即提供保额 2000 元； 被保险人在 50 岁以后死亡，死亡后立即提 供保额 3000 元。试用转换函数表达年缴均 衡纯保费的计算公式。
（2）未来保险金支付现值的期望=未来保费收入现值的期望 （3）趸缴纯保费=期缴纯保费的精算现值=保额的精算现值
第一节 全连续式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡即付（保额为1） 保费按连续型生存年金方式缴纳
1、 全期缴费的普通终身寿险： x ) 购买， 年缴纯保费 P( Ax ) ( 损失函数：
n 年定期寿险
T
0
an ，K n
aK +1 ，K 0,1, 2,, n 1
1 Ax:n M x M x n 1 P ( Ax:n ) ax:n N x N xn
n 年期两全寿 n 险 限期 h 年缴费 T 的终身寿险 T
限期 h 年缴费 T n 年期两全寿 n 险
1 x:n
1 x:n
3、 n 年期两全寿险：
Px:n Ax:n dAx:n M x M x n Dx n ax:n 1 Ax:n N x N xn Ax:n dAx:n M x M x n Dx n ax:h 1 Ax:h N x N xh
解：设所求年缴纯保费为 P ，那么
1 1 30:20 1000 A30:10 200010 A30:10 3000 20 A30 Pa
h
Px:n
例 2．假设 P 0.0420， 20 P 0.0299 ， A55 0.6099 ，求： P1 35 35:20 35:20
1 P35:20 解： 1 A35:20 A35:20 20 E35 20 E35 P35:20 a35:20 a35:20 a35:20
T T
Ax ( Ax ) Var ( ) 2 2 ( ax ) ( ax )
T 2
2
2、全期缴费的 n 年定期寿险：
P( A )
1 x:n
A
1 x:n
ax:n
A
1 x:n
1 Ax:n
M x M xn N x N xn
3、全期缴费的 n 年期两全保险：
Ax ( Ax ) Var ( L) 2 (dax )
2
2
限期 h 年缴费
Ax Mx hP x ax:h N x N x h
2、全期缴费的 n 年定期寿险：
P
1 x:n
A dA ax:n 1 Ax:n M x M xn N x N xn
第四节 每年缴纳数次的年缴纯保费
假设每个保单年度内保费分 m 次等额支付，求年均衡纯保费。 保险类型 给付方式 年末给付（期初缴费） 死亡即付（期初缴费） Ax Ax ( m) ( m) Px ( m) P ( Ax ) ( m) x a ax
A1:n Px1(nm ) (xm ) : ax:n Ax1:n P ( m ) ( Ax1:n ) ( m ) ax:n
L P( Ax )aT
T
由精算等价原理：
E(L) E(T ) P( Ax )E(aT ) 0
即有 故
Ax P( Ax )ax 0
Ax Ax 1 ax M x P ( Ax ) ax 1 Ax ax Nx
1 Var ( L) Var[ P ( Ax )] P ( Ax ) T P ( Ax ) Var[(1 ) ] T P ( Ax ) 2 Var ( ) T [1 ] Var ( ) 2 (1 Ax )
Var ( T ) 解：由 Var ( L) 有 Ax 0.4 ， 2 (1 Ax ) Ax 0.4 故有： P ( Ax ) 0.04 ax 10
第二节 全离散式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡年末付（保额为1） 保费按期初付生存年金方式缴纳
1、全期缴费的普通终身寿险：
T
an ，K n
aK +1 ，K 0,1, 2,, h 1
Ax:n M x M x n Dx n P ( Ax:n ) ax:n N x N xn
h P ( Ax )
ah ，K h
aK +1 ，K 0,1, 2,, h 1
第三节 半连续式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡即付(保额为1) 保费按期初付生存年金方式缴纳
注： （在保险实务中常用）
1、全期缴费的普通终身寿险： ( x ) 购买，年缴纯保费 P( Ax )
L P( Ax )aK +1
T
由精算等价原理：
E(L) E(T ) P( Ax )E(aK +1 ) 0
二、均衡纯保费的定义及分类
1、均衡纯保费：分期缴纳的数额相等的期缴纯保费。
全期缴费 ---- 整个保险期限内缴费 2、分类： 限期缴费 ---- 限定保险期限内的若干年缴费
三、精算等价原理（平衡原理）
（1） E ( L) 0 其中：
L 签单时保险人未来损失现值随机变量 未来保险金支付的现值 未来保费收入的现值
即有
Ax P( Ax )ax 0
Ax M x P( Ax ) ax N x
故
2、其它寿险的年缴纯保费
类型 终身寿险
Z
Y
年缴纯保费
T
aK +1 ，K 0,1, 2,
aK +1 ，K 0,1, 2,, n 1
P( Ax )
Ax M x ax N x
0.04 , i 0.06 , 例 4．设 k qx c(0.96) , k 0,1,2, , 其中c 0.96
k 1
L 是保险人签单损失量。试求： Px 与 Var ( L)
解：
Ax E ( K 1 ) k 1 k qx c k 1 (0.96)k 1 0.4
例 3．证明并解释公式： Px:n n Px P (1 Axn )
1 x:n
证明：
1 x:n Ax:n Ax:n Ax:1 Px:n a n 1 x:n Ax Ax:n Ax:1 Axn nPa x n
以上两式相减：
x:n Ax:1 (1 Axn ) (Px:n n Px )a n Px:n n Px P (1 Axn )
终身寿险
n 年定期寿 险
n 年期两全寿险 P 限期 h 年缴费 的终身寿险 限期 h 年缴费 的 n 年定期 限期 h 年缴费 n 年期两全寿险
(m) x:n
Ax:n (m) ax:n
Ax:n P ( Ax:n ) ( m ) ax:n
(m)
h xPΒιβλιοθήκη ( m)Ax (m) ax:h
第四章：均衡纯保费
教学要求：
★ 掌握均衡纯保费的定义。 ★ 掌握精算等价原理。 ★ 掌握各式寿险模型均衡纯保费的计算。
一、寿险模型的三种方式
一个完整的寿险模型，不仅包含保险金给付方式，而且还包括保费的缴纳方式。 按保险金给付方式与保险费的缴纳方式可将寿险模型划分为三种方式：
保险金死亡即付 （1）全连续式 保费按连续型生存年金方式缴纳 保险金死亡年末付 （2）全离散式 保费按期初付生存年金方式缴纳 保险金死亡即付 （3）半连续式 保费按期初付生存年金方式缴纳 死亡年末付 或 连续缴费
Ax:n 0.804 ，计算 1000P( Ax:n )
1 解： Ax:n Ax:n n Ex 0.204 ；
A
1 x:n
i
1 Ax:n 0.200 （由 UDD 假设）
ax:n
1 ( A1:n n Ex ) x d
5.2 ；
Ax:n 1000 P ( Ax:n ) 1000 154.62 ax:n
5、 限期 h 年缴费的延期 n 年的连续给 付的终身生存年金保险：
ax
h
P ( n ax )
n
ax:h
例 1. ( x ) 投保保额为 1 的全连续式终身寿险,全期均 衡 缴 费 , 且 保 险人 的 签 单 损 失 量 L 满 足
Var ( T ) 0.36 , ax 10 ,计算年均衡净保费。 Var ( L)
( x ) 购买，年缴纯保费 P x
损失函数： L K 1 P aK 1 x
由精算等价原理：
E( L) E(
即有
K 1
) P E(aK 1 ) 0 x
Ax P ax 0 x
故
Ax dAx 1 dax M x Px ax 1 Ax ax Nx
2
例 5．年龄为 25 岁的人购买了限期 20 年缴费的 30 年期的全 离散型两全保险，保险金额 1000 元，试求年缴纯保费。 解：设年缴纯保费为 P 1000 20 P 25:30 ，则
P 1000 20 P25:30
A25:30 1000 a25:20
M 25 M 55 D55 1000 15.27 N 25 N 45
k 0 k 0
Ax dAx Px 0.037736 ax 1 Ax
2
Ax E[( 2 ) K 1 ] ( 2 )k 1 k qx c ( 2 0.96)k 1 0.2445
k 0 k 0
Ax ( Ax )2 2 Ax ( Ax )2 Var ( L) 0.2347 2 2 (dax ) (1 Ax )
1 x:n
上式的经济学含义
保费 Px:n ,
n
Px 都在 ( x ) 活着时支付，且最多支付
n 年。在 n 年内，两种保险都在 ( x ) 死亡的年末提
供 1 单位保险金。如果 ( x ) 活过 n 年，则 Px:n 提供 到期的 1 单位生存保险金，而 n Px 提供以后的终 身寿险：在第 n 年年末的精算现值为 Axn ，因此 差额 Px:n n Px 相当于 1 Ax n 个单位的生存保险 的年缴纯保费。
1 E35 A55 A35 A35:20 20
1 A35 A35:20 20 E35 a35:20 a35:20 A55 1 P35 P35:20 20
A55
，P
1 35:20
P
1 35:20
0.0420
1 0.0299 P35:20
0.6099
0.011
Ax Mx ax:h N x N x h
Ax:n M x M x n Dx n ax:h N x N xh
T
ah ，K h, h 1,, n 1
ah ，K n
h P ( Ax:n )
例 6．设 UDD 假设成立，i 0.04 ，n Ex 0.600 ，
Ax ( Ax ) ( m ) hP ax:h
(m)
A1:n Px1(nm ) (xm ) h : ax:h
(m) h x:n
Ax1:n P ( m ) ( Ax1:n ) ( m ) h ax:h
P
Ax:n (m) ax:h
Ax:n h P ( Ax:n ) ( m ) ax:h
P ( Ax:n ) Ax:n ax:n
Ax:n 1 Ax:n
M x M x n Dx n N x N xn
4、限期 h 年缴费的 n 年期两全保险：
P ( Ax:n ) Ax:n ax:h
h
M x M x n Dx n N x N xh
例 7．在 30 岁签发的某种人寿保单，要求 投保人限期 20 年每年年初均衡缴纳纯保 费，保单承诺：被保险人在 30～40 岁之间 死亡，立即提供保额 1000 元；被保险人在 40～50 岁之间死亡， 立即提供保额 2000 元； 被保险人在 50 岁以后死亡，死亡后立即提 供保额 3000 元。试用转换函数表达年缴均 衡纯保费的计算公式。
（2）未来保险金支付现值的期望=未来保费收入现值的期望 （3）趸缴纯保费=期缴纯保费的精算现值=保额的精算现值
第一节 全连续式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡即付（保额为1） 保费按连续型生存年金方式缴纳
1、 全期缴费的普通终身寿险： x ) 购买， 年缴纯保费 P( Ax ) ( 损失函数：
n 年定期寿险
T
0
an ，K n
aK +1 ，K 0,1, 2,, n 1
1 Ax:n M x M x n 1 P ( Ax:n ) ax:n N x N xn
n 年期两全寿 n 险 限期 h 年缴费 T 的终身寿险 T
限期 h 年缴费 T n 年期两全寿 n 险
1 x:n
1 x:n
3、 n 年期两全寿险：
Px:n Ax:n dAx:n M x M x n Dx n ax:n 1 Ax:n N x N xn Ax:n dAx:n M x M x n Dx n ax:h 1 Ax:h N x N xh
解：设所求年缴纯保费为 P ，那么
1 1 30:20 1000 A30:10 200010 A30:10 3000 20 A30 Pa
h
Px:n
例 2．假设 P 0.0420， 20 P 0.0299 ， A55 0.6099 ，求： P1 35 35:20 35:20
1 P35:20 解： 1 A35:20 A35:20 20 E35 20 E35 P35:20 a35:20 a35:20 a35:20
T T
Ax ( Ax ) Var ( ) 2 2 ( ax ) ( ax )
T 2
2
2、全期缴费的 n 年定期寿险：
P( A )
1 x:n
A
1 x:n
ax:n
A
1 x:n
1 Ax:n
M x M xn N x N xn
3、全期缴费的 n 年期两全保险：
Ax ( Ax ) Var ( L) 2 (dax )
2
2
限期 h 年缴费
Ax Mx hP x ax:h N x N x h
2、全期缴费的 n 年定期寿险：
P
1 x:n
A dA ax:n 1 Ax:n M x M xn N x N xn
第四节 每年缴纳数次的年缴纯保费
假设每个保单年度内保费分 m 次等额支付，求年均衡纯保费。 保险类型 给付方式 年末给付（期初缴费） 死亡即付（期初缴费） Ax Ax ( m) ( m) Px ( m) P ( Ax ) ( m) x a ax
A1:n Px1(nm ) (xm ) : ax:n Ax1:n P ( m ) ( Ax1:n ) ( m ) ax:n
L P( Ax )aT
T
由精算等价原理：
E(L) E(T ) P( Ax )E(aT ) 0
即有 故
Ax P( Ax )ax 0
Ax Ax 1 ax M x P ( Ax ) ax 1 Ax ax Nx
1 Var ( L) Var[ P ( Ax )] P ( Ax ) T P ( Ax ) Var[(1 ) ] T P ( Ax ) 2 Var ( ) T [1 ] Var ( ) 2 (1 Ax )
Var ( T ) 解：由 Var ( L) 有 Ax 0.4 ， 2 (1 Ax ) Ax 0.4 故有： P ( Ax ) 0.04 ax 10
第二节 全离散式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡年末付（保额为1） 保费按期初付生存年金方式缴纳
1、全期缴费的普通终身寿险：
T
an ，K n
aK +1 ，K 0,1, 2,, h 1
Ax:n M x M x n Dx n P ( Ax:n ) ax:n N x N xn
h P ( Ax )
ah ，K h
aK +1 ，K 0,1, 2,, h 1
第三节 半连续式寿险模型的期缴纯保费
*** 模型 ***
保险金死亡即付(保额为1) 保费按期初付生存年金方式缴纳
注： （在保险实务中常用）
1、全期缴费的普通终身寿险： ( x ) 购买，年缴纯保费 P( Ax )
L P( Ax )aK +1
T
由精算等价原理：
E(L) E(T ) P( Ax )E(aK +1 ) 0
二、均衡纯保费的定义及分类
1、均衡纯保费：分期缴纳的数额相等的期缴纯保费。
全期缴费 ---- 整个保险期限内缴费 2、分类： 限期缴费 ---- 限定保险期限内的若干年缴费
三、精算等价原理（平衡原理）
（1） E ( L) 0 其中：
L 签单时保险人未来损失现值随机变量 未来保险金支付的现值 未来保费收入的现值
即有
Ax P( Ax )ax 0
Ax M x P( Ax ) ax N x
故
2、其它寿险的年缴纯保费
类型 终身寿险
Z
Y
年缴纯保费
T
aK +1 ，K 0,1, 2,
aK +1 ，K 0,1, 2,, n 1
P( Ax )
Ax M x ax N x
0.04 , i 0.06 , 例 4．设 k qx c(0.96) , k 0,1,2, , 其中c 0.96
k 1
L 是保险人签单损失量。试求： Px 与 Var ( L)
解：
Ax E ( K 1 ) k 1 k qx c k 1 (0.96)k 1 0.4
例 3．证明并解释公式： Px:n n Px P (1 Axn )
1 x:n
证明：
1 x:n Ax:n Ax:n Ax:1 Px:n a n 1 x:n Ax Ax:n Ax:1 Axn nPa x n
以上两式相减：
x:n Ax:1 (1 Axn ) (Px:n n Px )a n Px:n n Px P (1 Axn )
终身寿险
n 年定期寿 险
n 年期两全寿险 P 限期 h 年缴费 的终身寿险 限期 h 年缴费 的 n 年定期 限期 h 年缴费 n 年期两全寿险
(m) x:n
Ax:n (m) ax:n
Ax:n P ( Ax:n ) ( m ) ax:n
(m)
h xPΒιβλιοθήκη ( m)Ax (m) ax:h
第四章：均衡纯保费
教学要求：
★ 掌握均衡纯保费的定义。 ★ 掌握精算等价原理。 ★ 掌握各式寿险模型均衡纯保费的计算。
一、寿险模型的三种方式
一个完整的寿险模型，不仅包含保险金给付方式，而且还包括保费的缴纳方式。 按保险金给付方式与保险费的缴纳方式可将寿险模型划分为三种方式：
保险金死亡即付 （1）全连续式 保费按连续型生存年金方式缴纳 保险金死亡年末付 （2）全离散式 保费按期初付生存年金方式缴纳 保险金死亡即付 （3）半连续式 保费按期初付生存年金方式缴纳 死亡年末付 或 连续缴费
Ax:n 0.804 ，计算 1000P( Ax:n )
1 解： Ax:n Ax:n n Ex 0.204 ；
A
1 x:n
i
1 Ax:n 0.200 （由 UDD 假设）
ax:n
1 ( A1:n n Ex ) x d
5.2 ；
Ax:n 1000 P ( Ax:n ) 1000 154.62 ax:n
5、 限期 h 年缴费的延期 n 年的连续给 付的终身生存年金保险：
ax
h
P ( n ax )
n
ax:h
例 1. ( x ) 投保保额为 1 的全连续式终身寿险,全期均 衡 缴 费 , 且 保 险人 的 签 单 损 失 量 L 满 足
Var ( T ) 0.36 , ax 10 ,计算年均衡净保费。 Var ( L)
( x ) 购买，年缴纯保费 P x
损失函数： L K 1 P aK 1 x
由精算等价原理：
E( L) E(
即有
K 1
) P E(aK 1 ) 0 x
Ax P ax 0 x
故
Ax dAx 1 dax M x Px ax 1 Ax ax Nx
2
例 5．年龄为 25 岁的人购买了限期 20 年缴费的 30 年期的全 离散型两全保险，保险金额 1000 元，试求年缴纯保费。 解：设年缴纯保费为 P 1000 20 P 25:30 ，则
P 1000 20 P25:30
A25:30 1000 a25:20
M 25 M 55 D55 1000 15.27 N 25 N 45
k 0 k 0
Ax dAx Px 0.037736 ax 1 Ax
2
Ax E[( 2 ) K 1 ] ( 2 )k 1 k qx c ( 2 0.96)k 1 0.2445
k 0 k 0
Ax ( Ax )2 2 Ax ( Ax )2 Var ( L) 0.2347 2 2 (dax ) (1 Ax )
1 x:n
上式的经济学含义
保费 Px:n ,
n
Px 都在 ( x ) 活着时支付，且最多支付
n 年。在 n 年内，两种保险都在 ( x ) 死亡的年末提
供 1 单位保险金。如果 ( x ) 活过 n 年，则 Px:n 提供 到期的 1 单位生存保险金，而 n Px 提供以后的终 身寿险：在第 n 年年末的精算现值为 Axn ，因此 差额 Px:n n Px 相当于 1 Ax n 个单位的生存保险 的年缴纯保费。
1 E35 A55 A35 A35:20 20
1 A35 A35:20 20 E35 a35:20 a35:20 A55 1 P35 P35:20 20
A55
，P
1 35:20
P
1 35:20
0.0420
1 0.0299 P35:20
0.6099
0.011
Ax Mx ax:h N x N x h
Ax:n M x M x n Dx n ax:h N x N xh
T
ah ，K h, h 1,, n 1
ah ，K n
h P ( Ax:n )
例 6．设 UDD 假设成立，i 0.04 ，n Ex 0.600 ，
Ax ( Ax ) ( m ) hP ax:h
(m)
A1:n Px1(nm ) (xm ) h : ax:h
(m) h x:n
Ax1:n P ( m ) ( Ax1:n ) ( m ) h ax:h
P
Ax:n (m) ax:h
Ax:n h P ( Ax:n ) ( m ) ax:h
P ( Ax:n ) Ax:n ax:n
Ax:n 1 Ax:n
M x M x n Dx n N x N xn
4、限期 h 年缴费的 n 年期两全保险：
P ( Ax:n ) Ax:n ax:h
h
M x M x n Dx n N x N xh