南沙区初中毕业班综合测试(一)数学参考答案与评分标准

南沙区初中毕业班综合测试(一)
数学
参考答案与评分标准
说明：
（一）《答案》中各行右端所注分数表示正确作完该步应得的累加分数，全卷满分150分；
（二）有些题后面附有评分细则，请各位老师评卷前认真阅读； （三）《答案》中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和本《答案》不同，可参照本答案中的标准给分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
B
C
D
A
B
D
C
A
D
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11． 1≥x 12． 1x = 13．x
y
6-=
14．(2)(2)x x -+ 153
．31n + 说明：第13题用其他字母表示也可。

三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分9分）
解：∵0<a ，0a b -< …………1分 ∴
a a -= ，()a
b a b -=-- …………4分
∴2a a b a a b -=+- …………6分 ()a a b =--- …………8分 2a b =-+ …………9分
18．（本小题满分9分）解：⎩⎨
⎧>-<-x
x x 21132
① ②
由①得 2<x …………………2分
由②得 1-<x …………………4分
不等式组的解集为1-<x …………………6分 解集在数轴上的表示略。

…………………9分
19．（本小题满分10分） 解: （1）
平均数 众数
方差 甲 6 乙
7
8
⑵只要学生用统计数据对所持观点说理是合理的即可.
例如，选甲运动员参赛，理由：①从平均数看两人平均成绩一样；②从方差看，甲的方差小于乙的方差，甲的成绩比乙稳定，故选择甲运动员参赛.
或者选乙运动员参赛，理由：①从众数看，乙比甲的成绩好；②从发展趁势看，乙比甲潜能更大，故选择乙运动员参赛.
20．（本小题满分10分） 解：（1）
2
3
…………………………3分 （2）答：该游戏不公平 …………………………4分
C
B A
C B A A B C C
B
A
第二次 第一次
树状图： ………… 7分
∴摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是
4
9， ……………… 8分 摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是5
9
． ……………… 9分
P (小华赢) ＜ P(小明赢) ．
∴此游戏不公平． ……………………………………… 10分
21．（本小题满分12分）
解：（1）由图象可知：点A 的坐标是(2)，4……… 1分
………………………………………6分
………………………………………10分
/A 的坐标是(,2)-4……………… 3分
（2）设直线1l 的解析式是1y k x =，……… 4分
得124k = 即12k = ……… 5分 ∴ 直线1l 的解析式是2y x =……… 6分
设直线1l 绕点O 逆时针旋转0
90后的直线解析式是
2y k x =，……… 7分
把点/
A (,2)-4代入2y k x =，得22k =-4，解得212
k =-
即1
2
y x =-
……… 8分 ∴ 直线2l 的解析式是1
22
y x =-
+ ……………… 9分 说明：可用其他方法求直线2l 的解析式。

(3)满足条件的点P 有三种情形,作出一种得1分. 22．（本小题满分12分）
解：（1）设A B ，两种型号的设备每台的价格分别是,a b 万元则 ……1分
2
326a b b a -=⎧⎨
-=⎩ ……4分 12
10
a b =⎧∴⎨
=⎩ 所以A B ，两种型号的设备每台的价格分别是12万元和10万元 ……6分 （2）设购买污水处理设备A 型设备x 台，B 型设备(10)x -台，则：……7分
1210(10)105x x +-≤ …………………9分
2.5x ∴≤ ………………10分
B
A
D
3
2
1
l
O
C
x 取非负整数 012x ∴=，，
则有三种购买方案：①A 型设备0台，B 型设备10台；②A 型设备1台，B 型设备9台；③A 型设备2台，B 型设备8台； ……12分
23. （本小题满分12分）
（1）证明：连结OC ，直线l
与⊙O 相切于点C
OC l ⊥∴……………… 1分
AD l ⊥ OC ∴∥AD ……………… 2分 12∠=∠∴……………… 3分
又 OA OC =
23∠=∠∴……………… 4分 13∠=∠∴……………… 5分
即AC 平分∠DAB ……………… 6分 （2）解法一：连结BC ，
AB 是直径，
90ACB ADC ∠==∠∴……………… 7分
由（1）知，13∠=∠
ADC ∆∴∽ACB ∆……………… 9分 AD AC
AC AB
=
∴
……………… 10分 22
(23)43
AC AB AD ===
∴直径AB 的长是4．……………… 12分
解法二：在Rt ADC ∆中，AD=3，AC=3∴3
cos 123
∠=
=
……………… 8分
即0
130∠=……………… 9分 由（1）知，0
3130∠=∠= 连结BC ，
AB 是直径， 90ACB ∠=∴……………… 10分
在Rt ABC ∆中，cos 3AC
AB
∠=
……………… 11分
023
cos30AB
=
，4AB = ∴直径AB 的长是4．……………… 12分
评分细则：第2问解法较多，其它解法参照本评分说明分步给分；
24．（本小题满分14分）
解：（1）① ∵ 点E F G H ，，，在四条边上的运动速度相同
∴ AE ＝BF ＝CG ＝DH ……………………1分 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝DA ∴ EB ＝HA ∴△AEH ≌△BFE （S.A.S ）……………………2分 解法一： ∴EH ＝FE (全等三角形的对应边相等)
同理可得：EH ＝FE ＝GF ＝HG
∴四边形EFGH 是菱形。

……………………3分 又 ∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∠AEH ＝∠BFE ∴∠BEF ＋∠AEH ＝90° ∴∠FEH ＝90°
∴四边形EFGH 为正方形。

（有一个角是直角的菱形是正方形）……………4分 解法二： ∴∠AEH ＝∠BFE (全等三角形的对应角相等)
又 ∵∠BEF ＋∠BFE ＝90° ∴∠BEF ＋∠AEH ＝90° ∴∠FEH ＝90°
同理可得∠FEH ＝∠GFE ＝∠HGF ＝90°
∴ 四边形EFGH 是矩形。

……………………3分 由 △AEH ≌△BFE ，可得EH ＝FE
∴四边形EFGH 为正方形。

（有一组邻边相等的矩形是正方形）……………4分 ② 解法一：由题意知：111
210B C D S S cm ==1正方形A 正方形EFGH …………………5分
又 2
16S cm =正方形ABCD ……………………6分
F
C
H
E
G
D N
∴ 四个直角三角形的面积之和是2
16106cm -= ……………………7分 ∴ 正方形E 1F 1G 1H 1的面积为2
1064cm -= ……………………8分 解法二：设直角三角形的两条直角边的长分别为a 、b （设a b >），
则有22
410
a b a b +=⎧⎨+=⎩，……………………6分（列对一个给1分） 得6ab =，……………………7分
∴ 正方形E 1F 1G 1H 1的面积为2
2
2
()24a b a ab b -=-+=2
cm …………………8分
解法三：设直角三角形的两条直角边的长分别为a 、b （设a b >），
则有22
410a b a b +=⎧⎨+=⎩
，……………………6分（列对一个给1分） 得3
1
a b =⎧⎨
=⎩，……………………7分
∴ 中间小正方形的面积为2
2
()(31)4a b -=-=2
cm ……………………8分
（2）四边形EFGH 的面积存在最小值，理由如下：……………………9分
由条件，易证AEH CGF △≌△，EBF GDH △≌△． 作HM AE ⊥于M ，作FN EB ⊥，交EB 的延长线于N ， 设运动t 秒后，四边形EFGH 的面积S 取最小值，则 AE t =，4AH t =-，又Rt AMH △中，30HAM ∠=，
11
(4)22
HM AH t ∴==-．
同理得11
22
FN BF t ==．
∴11(4)24
AEH
S
AE HM t t =
=-△·，………………………10分 11
(4)24EBF S EB FN t t ==-△·． ·
······················· 11分 又428ABCD S =⨯=正方形，………………………12分
∴四边形EFGH 的面积2
184(4)484
S t t t
t =--=-+·．………………………13分
∴2
(2)
4S t =-+，
当2t =秒时，四边形EFGH 的面积取最小值等于42
cm ………………………14分
25、（本小题满分14分）
解：(1)设抛物线的解析式为：2
(1)4y a x =-+ …………………… 1分
把A （3,0）代入解析式求得1-=a …………………… 2分 所以2
2
(1)423y x x x =--+=-++ …………………… 3分
设直线AB 的解析式为：y kx b =+
由2
23y x x =-++求得B 点的坐标为)3,0( …………………… 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入y kx b =+中
解得：3,1=-=b k ……………………… 5分
所以, 直线AB 的解析式为3y x =-+ ……………………… 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)，设D 的坐标为1(1,)y 则12y = ……………………… 7分 所以CD ＝4-2＝2 ……………………… 8分
3232
1
=⨯⨯=
∆CAB S (平方单位) ……………………… 9分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ， 则2
2
(23)(3)3h x x x x x =-++--+=-+ ……… 11分 由S △P AB =8
9
S △CAB 得：
38
9
)3(3212⨯=+-⨯⨯x x ……………………… 12分 化简得：091242
=+-x x 解得，2
3
=
x ……………………… 13分
将2
3=
x 代入2
23y x x =-++中， 解得P 点坐标为)4
15
,23( ……………………… 14分。