高一数学(人教A版)直线与平面垂直的概念及判定

请同学们观察：
A
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与
BD
C
桌面垂直呢？为什么呢？
通过实验操作，我们不难发现，
A
AD所在直线与桌面所在平面垂直的 B
充要条件是折痕AD是BC边上的高．
C
D
A
这个时候，由于翻折后垂直关
系不变，所以直线AD与平面内的
两条相交直线BD，DC都是垂直的．
l P
的射影所成的角，叫做这条直线和 这个平面所成的角．
A
O
例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1B在平面AC上的射影为AB，
D1
故A1B与平面AC所成的角为∠A1BA； A1
A1C在平面AC上的射影为AC，
故A1C与平面AC所成的角为∠A1CA． D
同学们可以仿照着再举出几个 A
线面角的例子，加深对线面角的认识．
的两条平行直线垂直，那么无法保证该
l
直线与此平面的所有直线都垂直，如图
所示，直线与平面可能垂直，也可能不
垂直．
如果改为“无数条直线”可不可以呢？
“无数条直线”不等同于“任意一条直线”．
若“无数条直线”彼此相互平行，
l
则也无法判定直线是否与该平面垂直．
如图所示：
选一选 若一条直线与三角形的两边同时垂直，则这条
直线与三角形第三边的位置关系是（ B ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 不确定
由直线与平面垂直的判定定理知，该直线与三角形 所在平面垂直，进而与三角形第三边垂直，所以答案为 B，同学们选对了吗？
想一想 某旗杆高24m，在它的顶端系两条长26m的绳
子，拉紧绳子并把它们固定在地面上两点（两点与 旗杆脚不共线），请问这两点与旗杆距离多少米 时，旗杆与地面垂直？
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间 的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离．如图所示：
线段PO的长
度即为点P到
的距离．
P
O
棱锥的高---就是顶点到底面的距离．
算一算： 若棱锥P-ABC的体积是18， A
底面ABC面积为9，那么顶点P到 底面ABC的距离为__6____．
l
直线l叫做平面α的垂线．
平面α叫做直线l的垂面．
P
直线与平面垂直时，它们唯一的公共
点P叫做垂足．
思考：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直．若将这一结论推广到空间，那么过一点垂直于已
知平面的直线有几条呢？为什么呢？
P
通过直观观察，我们可以发
现，过一点垂直于已知平面的
直线有且只有一条．
C
练习 如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足
为D．PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，
求证：AB⊥PC．
P
思路：要证AB⊥PC ， 只需证AB⊥平面POC．
A
C
DO
B
证明：∵ PO⊥底面ABC， 线面垂直
且AB 底面ABC，由线面垂直定义，
∴ PO⊥AB．
线线垂直
P
∵ CD⊥AB，且CD PO O ，
l P
线PA与直线AB所成的角和直线PA
这个平面所成的角 的大小关系
是什么？
A
O B
比较两个角的大小关系，一般地，
我们把角放到三角形中，利用三角
函数值的大小关系比较角的大小，
所以我们这样来研究，由O向直线
AB作垂线，垂足记作B，
连接PB．
想一想，AB⊥PB吗？
l P
A
O B
∵ PO⊥α，且AB α，
n
m
又∵ m α，n α，m，n是两条相交直线，
∴ b⊥α．
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？
证明：在平面α内任取一条直线m．
∵ 直线a⊥α，
ab
∴ a⊥m．
∵ b//a， ∴ b⊥m．
m
∵ m是平面α内任意一条直线，
∴ b⊥α．
练习 设 l，m，n均为直线，其中m，n 在平面α内，
∴ PO⊥AB． ∵ AB⊥OB，且OB PO=O， 根据线面垂直判定定理，
∴ AB⊥平面PBO．
∵ PB 平面PBO，
∴ AB⊥PB．
l P
A
O B
在Rt△POA中， cos AO ．
AP
在Rt△ABO中， cos BAO AB ．
在Rt△ABP中， AO
cos PAB AB ．
AP
l P
BC1 平面BCC1B1 ， A1B1 BC1 ．
A1
D A
C1 B1
O C
B
BC1 B1C ，B1C A1B1 B1， BC1 平面A1DCB1 ．
A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上
D1 A1
的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1
所成的角．
D
A
C1 B1
O C
B
在 RtA1BO中，
A1B 1 BO
2
BA1O
2a ，BO A1B ． 30 ．
2a， 2
D1 A1
直线A1B和平面A1DCB1所成的 D
角为30°．
A
C1 B1
O C
B
练习 判断：如果两条直线和一个平面所成的角 相等，那么这两条直线一定平行吗？
不一定，可能平行、可能相交、也可能异面．
B
D
C
同学们，通过这个实验，结合图形，你能否总结 一下：当一条直线满足什么条件时，可以判断它与某 个平面是垂直的？
由基本事实的推论2，平面α可以看成由两条相交 直线BD，DC所唯一确定，所以当直线AD垂直于这两 条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂 直．
直线与平面垂直判定定理
定理 如果一条直线与一个平面内的两条
相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
l
a
bO
la
lb
符号语言： a
l
b
a b O
线面垂直与线线垂直具有怎样的关系呢？ 由判定定理可知，直线与直线垂直可以得到直线与平
面垂直，而由线面垂直定义，直线与平面垂直又可得到直
线与直线垂直，所以说，线线垂直与线面垂直是可以相互
转化的
直线与直线垂直 判定定定义理 直线与平面垂直
A
O B
cos PAB cos cos BAO
0 cos BAO 1，
cos PAB cos ．
l P
PAB ．
由AB的任意性可知：
斜线与平面所成的角，
A
O
B
是它与平面内所有直线所成的角中最小的角．
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．D1
两条相交直线．
V
K
C
B
证明：∵ VA=VC，
∴ △VAC是等腰三角形．
∵ K是AC的中点，
V
∴ VK⊥AC．
又 ∵ BA=BC， ∴ BK⊥AC． ∵ VK BK K ，
A
K
C
B
∴ AC⊥平面VKB．
练习 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底
面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1？
如图，当一条直线l与一个平面α相交，但不与这个
平面垂直时，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．
l P
过斜线上斜足以外的一点P向平面α引
垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO
A
叫做斜线在这个平面上的射影．
O
那么，直线与平面所成的角怎么
定义呢？
直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上
大桥的桥墩与海面的位置关系．
相邻墙面的交线与地面，门轴所在直线与地面的 位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
那么，究竟该怎样定义 直线与平面垂直呢？ 让我们来看一个实际例子．
如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地
面的影子BC．随时间的变化，影子BC的位置在不断地变
化，旗杆AB所在直线与影子BC所在
A1
研究空间中两条直线的垂直关 B1 系，通常借助线面垂直关系，所
C1
D1
A
以本题考虑研究直线B1D1与平面 B
D
A1CC1垂直．
C
解：当AC⊥BD时，A1C⊥B1D1，理由如下：
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
∵ BB1//DD1，且BB1=DD1，
A1
D1
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形．B1 ∴ B1D1//BD．
分析：要求直线A1B和平面A1DCB1 所成的角，关键先找到直线A1B在 平面A1DCB1上的射影，而要找射 影，需要先找到平面的垂线．
A1
D A
C1 B1
C B
解：连接BC1，与B1C相交于点O，连接A1O．
设正方体的棱长a ．
D1
A1B1 B1C1 ，A1B1 B1B ，
B1C1 B1B B1 ， A1B1 平面BCC1B1 ．
P
C
O
B
同学们，现在我们得到了直线和平面垂直 的概念，那么，如何判断直线与平面垂直呢？ 依据定义可以判断吗？
依据定义，你怎样验证一条直线与一个平 面内的所有直线都垂直呢？
你还有其他的方法吗？
如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶
点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置
在桌面上（BD，DC与桌面接触）．
直线与平面垂直的概念及判定
高一年级 数学
北京市顺义牛栏山第一中学
直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情 况，它是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平 面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，具 有承上启下的作用．
首先，让我们来认识一下什么是直线与平面垂直．
日常生活中，直线与平面垂直的例子有很多． 比如，广场上的旗杆与地面的位置关系．
如图，若要旗杆AB与地面
A 24m
垂直，只需AB垂直地面两条相
交直线BC、BD．在Rt△ABC 26m
26m
中，由勾股定理：
BC AC2 AB2 262 242
B
C 10m
D
10
所以两点与旗杆距离10米时，旗杆与地面垂直．
自然语言
例题 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一
个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
“自然语言”
“图形语言” “符号语言”
符号语言
例题 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α．
分析：要证明直线b⊥α，根据 直线与平面垂直的判定定理可 知，只需证明直线b垂直于平在平面α内取两条相交直线m，n．
∵ 直线a⊥α，
ab
∴ a⊥m，a⊥n． ∵ b//a， ∴ b⊥m，b⊥n．
C1 A
D
同理，A1C1//AC．
B
∵ AC⊥BD，
C
∴ B1D1⊥A1C1．
又 ∵ 侧棱CC1⊥平面A1B1C1D1，
且B1D1平面A1B1C1D1，
∴ CC1⊥B1D1．
A1
D1
∵ A1C1 CC1 C1 ， ∴ B1D1⊥平面A1CC1．
B1
C1
A
D
∵ A1C平面A1CC1，
B
∴ B1D1⊥A1C．
由线面垂直判定定理，
∴ AB⊥平面POC．
A 线面垂直
D
O
C
∵ PC 平面POC，
B
∴ AB⊥PC．
线线垂直
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊
情况，当直线与平面相交但不垂直时，不同的直线
与平面相交，情况也是不同的， b a
那么，如何刻画这种不同
情况呢？
我们知道，角度，常用来刻画几何对象的相 对位置，前面我们学习了异面直线成角，刻画了 异面直线的相对位置，类似地，直线与平面所成 的角该如何定义呢？让我们来研究一下．
任意一条直线 BC，总能在地面上找到过点B的一
条直线与之平行，根据异面
A
直线垂直的定义，可知旗杆
AB所在直线与直线 BC 也垂
直．因此我们可以说，旗杆 AB所在直线与地面上任意一
C B B
条直线都垂直．
直线与平面垂直的概念
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都
垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
A
直线是否保持垂直呢？
C
B
事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位
置在不断变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子
BC所在直线垂直．也就是说，
A
旗杆AB所在直线与地面上任
意一条过点B的直线都垂直．
C
B
那么，对于不过点B的任意一条直线 BC，
它与旗杆AB所在直线垂直吗？
A
C B B
我们说，它们也是垂直的，因为对于不过点B的
则“l⊥α”是“l⊥m”且“l⊥n”的（ A ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
练习 在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是 AC的中点．求证：AC⊥平面VKB．
分析：要证AC⊥平面VKB，
由线面垂直判定定理可知， 只需证明AC垂直平面VKB内 A
思考： 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线
也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直 线”可以改为“两条平行直线”吗？
你能从向量的角度解释一下原因吗？
改为“两条平行直线”不可以．
由平面向量基本定理可知，对于平面内的任意一
个向量，可由不共线的两个向量唯一表示． l
因此，如果一条直线与一个平面内
C1 B1
C B
请同学们观察图形，随着直线 l 的变化，你能说出直线与平面所
l P
成角的范围吗？
A
O
l
l
l
当直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°； 当直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的
角是0°．
直线与平面所成的角的取值范围是：
0 90
观察图形并思考：
如果AB是平面α内的任意一条 不与直线AO重合的直线，那么直