初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习

第十四章 整式的乘除与分解因式
一、知识框架:
二、知识概念：
1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()
n
m mn a
a = ⑶积的乘方：
()
n
n n ab a b =
2.整式的乘法：
⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：
⑴平方差公式：()()2
2
a b a b a b -⨯+=-
⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2
222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=
⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.
5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
6.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：
①平方差公式：()()2
2
a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2
222a ab b a b ±+=±
③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：
3322
()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2
x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法
常考例题精选
1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3
C.(-a3)2=a5÷a2=a3
2.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6
÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+4
3.(2015·遵义中考)计算(−1
2ab2)
3
的结果是( )
3 23
2
1
8
1
8
4.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2
·3y5=15y8÷b3=b3
5.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )
=(−a)2=(−a)3
=|−a2|=|a3|
6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .
7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .
8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .
9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .
10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .
11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .
12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .
13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .
14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .
15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .
16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.
17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)
18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.
19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.
1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )
A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a2
2．下列计算错误的是( )
A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2
C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－15
3．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋1
4
＝(x－
1
2
)2
C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8
5．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )
A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定
6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )
A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9
C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋9
8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把
余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)
D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 2
9．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，5
10．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3
(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4
(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …
请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．66
11．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．
12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．
13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．
14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．
15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋1
4
，则此正方形的周长为 ．
16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．
17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，
则c为．
18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．
19．计算：
(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．
20．用乘方公式计算：
(1)982; (2)899×901＋1.
21．分解因式：
(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.
22．先化简，再求值：
(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；
(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.
23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．
25．阅读材料并回答问题：
课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．
(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；
(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；
(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．
26. 定义2
a b a b *=-，则(12)3**= ．。