高中数学 第一讲二 平行线分线段成比例定理（含解析）4-1(1)

【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第一讲二 平行线分线段成比例定理课时
作业（含解析）新人教A 版选修4-1
1．如图，AB ∥CD ，AC ，BD 相交于点O ，BO ＝7，DO ＝3，AC ＝25，那么AO ＝( )
A ．10
B ．
C ．15
D ．
解析：选D.∵DC ∥AB ，∴CO AO ＝DO BO
， 即25－OA AO ＝37
，得AO ＝. 2．如图，D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，假设BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，那么AE ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B.作DH ∥BC 交AB 于H 点，
由D 为AC 的中点可得，H 为AB 的中点．
∵AG ∶BG ＝1∶3，
∴AG ∶GH ＝1∶1，
∴G 为AH 的中点．
又∵HD ∥AE ，∴AE ＝HD ＝12
BC ＝4. 3．在△ABC 中，点D ，E 别离在AB ，AC 上，以下条件中，不能判定DE ∥BC 的是( )
A ．AD ＝5，A
B ＝8，AE ＝10，A
C ＝16
B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6
C ．AB ＝7，B
D ＝4，A
E ＝4，EC ＝3
D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝A
E ＝8
解析：选C.对应线段必需成比例，才能判定DE 和BC 是平行关系，显然C 中的条件不成比例．
4．已知AD 、BE 为△ABC 的两条中线，AD 、BE 相交于G ，DM ∥AC 交BE 于M ，那么EG ∶GM ∶MB 等于( )
A ．3∶2∶1
B ．2∶1∶3
C ．1∶1∶3
D ．2∶1∶1
解析：
选B.如图，∵DM ∥AC ，
且D 为BC 中点，
∴M 为BE 中点，
∴DM ＝12
EC. 又AE ＝EC ，∴DM ＝12
AE ， ∴MG ＝12EG ，即EG GM ＝21
. ∴EM GM ＝31，即MB GM ＝31
， ∴EG ∶GM ∶MB ＝2∶1∶3.
5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 延长线上一点，AE 别离交BD ，BC 于G ，F ，以下结论：①EC CD ＝EF AF
； ②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AE DE ，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C.在△ADE 中，CF ∥AD ，那么有①和④正确；又由BF ∥AD ，那么有②正确；由BF ∥AD ，有BD DG ＝AF AG ，故③不正确．
6．如图，△ABC 中，AB BE ＝AC EC ，AB AC ＝53，DE ∥AC ，那么AB ∶BD ＝________. 解析：∵AB BE ＝AC EC ，∴AB AC ＝BE EC
. ∵AB
AC ＝53，∴BE EC ＝53
. ∵DE ∥AC ，∴BE EC ＝BD AD ＝53
， ∴AD BD ＝35，∴AD ＋BD BD ＝3＋55
， ∴AB ∶BD ＝8∶5.
答案：8∶5
7．如图，▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于F ，假设BE ∶EC ＝4∶5，那么BF ∶FD ＝________.
解析：∵BE EC ＝45，∴BE BE ＋EC ＝44＋5
， 即BE BC ＝49
. ∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴BF FD ＝BE AD ＝BE BC
. ∴BF ∶FD ＝4∶9.
答案：4∶9
8．梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝4，CD ＝6，E 、F 别离在AB 、CD 上，且EF ∥BC ，四边形ADFE 与四边形BCFE 周长相等，那么AE ∶EB ＝________.
解析：如图．
可设AE＝x，DF＝y，
由题意知：AD＋AE＋EF＋DF＝EB＋BC＋EF＋FC，∴AD＋AE＋DF＝EB＋BC＋FC.
∵AD＝3，BC＝9，AB＝4，CD＝6，
∴3＋x ＋y ＝4－x ＋9＋6－y ，
∴2x ＋2y ＝16，
∴x ＋y ＝8.
∵EF ∥BC ∥AD ，
∴AE AB ＝DF DC ，∴x 4＝y 6
， ∴2y ＝3x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝82y ＝3x
， ∴x ＝165，即AE ＝165，EB ＝4－165＝45
， ∴AE ∶EB ＝4∶1.
答案：4∶1
9．如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15 cm ，AF ＝4 cm ，求BE 和DE 的长． 解：∵DE ∥AC ，
∴∠3＝∠2.
又AD 平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3，
即AE ＝ED.
∵DE ∥AC ，EF ∥BC ，
∴四边形EDCF 是平行四边形．
∴ED ＝FC ，即AE ＝ED ＝FC.
设AE ＝DE ＝FC ＝x cm.
由EF ∥BC ，得AE BE ＝AF FC
.
即x 15－x ＝4x
， 解之得x1＝6，x2＝－10(舍去)．
因此DE ＝6 cm ，BE ＝15－6＝9(cm)．
10．如图，一直线交△ABC 的边AC 、AB 于D 、F 点，交CB 的延长线于E ，假设AD ＝BE ， 求证：AC·DF＝BC·EF. 证明：法一：如图(1)，过D 作DG ∥AB 交BC 于G ，由AD ＝BE ，
则EF DF ＝EB BG ＝AD BG
，① BC BG ＝AC AD ，即AD BG ＝AC BC
.② 由①②得EF DF ＝AC BC
. 即AC·DF＝BC·EF. 法二：如图(2)，过D 作DH ∥BC 交AB 于H ，
则EF FD ＝EB HD ＝AD HD ＝AC BC
， ∴AC·DF＝BC·EF.
11．如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 通过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD.
(1)求证：OE ＝OF ；
(2)求OE AD ＋OE BC
的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF
. 解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，
∴EF ∥AD ∥BC ，
∴OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DF DC ，AE AB ＝ DF DC ， ∴OE BC ＝OF BC
， 即OE ＝OF.
(2)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BE AB . 由(1)知，OE BC ＝AE AB
， ∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB ＝1. (3)证明：由(2)知，
∵OE AD ＋OE BC ＝1，∴2OE AD ＋2OE BC
＝2. 由(1)，知EF ＝2OE ，
∴EF AD ＋EF BC ＝2，∴1AD ＋1BC ＝2EF .。