信号的运算

−∞ −∞
∞
∞
三．单位冲激信号
（3）与阶跃信号的关系 ）
d u(t) = δ (t) dt
f (t )
1
−1
0
∫
t
−∞
δ(τ)dτ = u(t)
df (t ) dt 1
(1)
2
t
1
−1
2
t
−1
0
1
(-2)
四．冲激偶信号
称为冲激偶信号 冲激信号导数 称为冲激偶信号
δ '(t)
δ ' (t)
∫
∞
−∞
f (t)δ(t −t0 ) = f (t0 )δ(t −t0 )
∫
∞
−∞
f (t)δ(t)dt = ∫ f (0)δ(t)dt = f (0)∫ δ(t)dt = f (0)
−∞ −∞
∞
∞
∫
∞
−∞
f (t)δ(t −t0 )dt = ∫ f (t0 )δ(t −t0 )dt = f (t0 )∫ δ(t −t0 )dt = f (t0 )
例: 解:
已知 f (t)，求 f (-3t-2)。 。
时间滞后2 时间滞后 时间压缩3倍 时间压缩 倍 时间反折
f (t) → f (t − 2) → f (3t − 2) → f (−3t − 2)
f (t )
f (t − 2)
−2
0
1
t
0
2
3
t
f (3t − 2)
f (−3t − 2)
t
t f (t) → f ( ) 2
比较: 比较
t →t 2
波形扩展
三个波形相似， 的一次函数。 三个波形相似，都是t 的一次函数。
压缩， 压缩，保持信号的时间缩短 a >1 f (t) → f (at) 扩展， 0 < a <1 扩展，保持信号的时间增长
例：展缩又称为尺度变换变换后语音信号的变化
δ (t − t 0 )
(1)
∞ δ (t −t )dt =1 ∫−∞ 0 (t ≠ t0 ) δ (t −t0 ) = 0
0
t0
延时的冲激信号
t
三．单位冲激信号
冲激信号的性质 冲激信号的性质: 性质 （1）冲激信号是偶函数 ） （2）筛选性质 ）
δ (t) = δ (−t)
f (t)δ(t) = f (0)δ (t)
sin(Ω t ) ⋅ sin(8 Ω t )
t
t
信号与系统
1.4阶跃信号与冲激信号
一．单位斜变信号
Ramp (t )
单位斜变信号的定义为 单位斜变信号的定义为
1
0 Ramp(t) = t
(t < 0) (t ≥ 0)
0
1
单位斜变信号
t
顶部截平的斜变信号 顶部截平的斜变信号
R(t )
K
0 K R(t) = t τ K
延时的单位阶跃信号 延时的单位阶跃信号
∫
t
−∞
u(τ )dτ = Ramp(t)
u (t − t0 )
1
0 u(t −t0 ) = 1
( t < t0 ) ( t > t0 )
0
t0
延时的阶跃信号
t
二．单位阶跃信号
单位矩形脉冲的定义 单位矩形脉冲的定义
G (t) = u(t + ) −u(t − ) τ 2 2
f (t)
1 f (t + 1)
−1 O
1
t
−1 O
1
t
一、移位、反褶与尺度变换
2．反褶 ．
f (t) → f (−t)
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。
例：
f (t )
1
f ( −t )
1
−2
O
1
t
−1 O
2
t
一、移位、反褶与尺度变换
3．信号的展缩 ．信号的展缩(Scale Changing)
（2）与冲激信号的关系 ）
∫
δ ′(t)dt =δ (t) −∞
t
（3）包含面积为零 ）
∫
δ ′(t)dt = 0 −∞
∞
五．例题
1 ∫−∞δ (t − 4)sin(πt)dt
∞
1 π 2 ∫−∞δ(t − 4)sin(πt)dt = sin(πt) t=1 = sin 4 = 2 4
∞
∫
∞
−∞
4(t 2 + 1)δ (1 − t )dt
f(t) f(2t) f(t/2)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hz
一、移位、反褶与尺度变换
f (t)δ '(t)dt = ∫ f (t)dδ (t)
−∞ ∞
0
∞ −∞
t
=δ (t) f (t) −∞ − ∫ δ (t) f '(t)dt =− f '(0)
激 信 冲 偶 号
∞
四．冲激偶信号
冲激偶信号的性质 冲激偶信号的性质: 性质 （1）筛选性质 ）
∞
∫
−∞
f (t)δ ′(t)dt =− f ′(0)
(b)
信号的积分
三. 两信号相加和相乘
f1 (t )
f 2 (t )
1
0
1 (a )
t
0
1 (b)
t
f1 (t ) + f 2 (t )
2
f1 (t ) f 2 (t )
1
0
1
1 (c )
t
0
1 (d )
t
三. 两信号相加和相乘
sin(Ω t )
sin(8 Ω t )
t
t
sin(Ω t ) + sin(8 Ω t )
0
2 1 3
t
−1
2 − 3
0
t
一、移位、反褶与尺度变换
或
f (t) → f (−t) → f (−3t) → f (−3t − 2)
f (t )
f (−t )
时间反折
时间压缩3倍 时间压缩 倍
时间超前2/3 时间超前
−2
0
1
t
−1 0
2
t
f (−3t )
−1
2 f [−3(t + )] = f (−3t − 2) 3
信号与系统
1.3信号的运算
一、移位、反褶与尺度变换
1．信号的平移 ． 将信号 f (t) 沿
f (t) → f (t −τ )
t 轴平移 τ 即得时移信号 f (t −τ ) ， τ
为常数
滞后) τ > 0，右移(滞后 ， 滞后 τ < 0，左移(超前 ， 超前) 超前
例：
f (t )
1
f (t+1)的波形？
(t < 0) (t ≤τ ) (t >τ )
0
τ
截顶的斜变信号
t
二．单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为 单位阶跃信号的定义为
u (t )
1
0 u(t) = 1
( t < 0) ( t > 0)
0
t
单位阶跃信号
单位阶跃信号与单位斜变信号的关系 单位阶跃信号与单位斜变信号的关系
d Ramp(t) = u(t), dt
⋅ 0 + ∫ e −τ δ (τ )dτ
−∞
t
= e δ (t ) + ∫ e −0δ (τ )dτ
−∞
= δ (t ) + u (t )
f (t ) f (t )
0
a
b
t
0
(a )
t0
t
(b)
0 (c )
t1
t
三．单位冲激信号
单位冲激信号的狄拉克 单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义 定义
∞ δ(t) =1 dt ∫−∞ δ(t)= 0 (t ≠ 0)
从下面三点来理解冲激信号 之外取值处处为零 处处为零； δ (t) 除了 t = 0之外取值处处为零； (2) δ (t) 在 t = 0 处为无穷大； 处为无穷大 无穷大； (3) 在包含 δ (t)出现的位置的任意区间范围内面积为 1。 出现的位置的任意区间范围内面积为 (1)
f (t) → f (at)
t f ( ) 的波形。 的波形。 2
f (2t )
2
例：已知 f (t) ，画出 f (2t) 和
f (t )
2
1
O
T
1
t
O
f (t) → f (2t)
t→2t，波形压缩。 → 波形压缩。
T 2
t
一、移位、反褶与尺度变换
f (t )
2 2
t f( ) 2
1
O
T
1
t
O
2T
τ →∞
]}
δ ( t ) = lim
[ 21τ e τ→∞
−
t
τ
]
其他函数演变的冲激脉冲
钟形脉冲的极限 抽样脉冲的极限
k
δ (t ) = lim [τ e
1
− π ( τt ) 2
τ →∞
] δ (t ) = τlim [π Sa ( kt ) ] →∞
三．单位冲激信号
延时的单位冲激信号 延时的单位冲激信号
10 − 3
2 3
t
−
2 0 3
t
二．微分和积分
d f (t) 微分： 微分：f ′(t) = dt
f (t )
2
积分： 积分：
∫
t
−∞
f (τ )dτ
f (t )
E
0
1
(a)
4
5
t
0
1
t
(a)
d f (t ) dt
2
4
∫
5
t
t
−∞
f (τ )dτ
0
−2
1 E 2 E t2 2
0
1
1
t
(b)
信号的微分
∞ −∞
= ∫ u (2 − 3)δ (t − 2)dt = u (−1) ∫ δ (t − 2)dt
−∞ ∞
= u (−1) =0
五．例题
∫
t
−∞
e δ (τ )dτ
'
−τ t −∞
−τ
= e δ (τ ) |
−t
− ∫ (−e )δ (τ )dτ
−∞
t
−τ
= e δ (t ) − e
−0
+∞ t
∫
0+
0−
δ (t)dt = ∫ δ (t)成冲激函数
定义：矩形面积不变，宽趋于0时的极限
δ (t ) = lim
[u (t + τ2 ) − u (t − τ2 ) ] τ →0 τ
1
0
t
其他函数演变的冲激脉冲
三角脉冲的极限 双边指数脉冲的极限
1 δ (t ) = lim{τ (1 − τ )[u (t + τ ) − u (t − τ ) t
用单位阶跃函数来表达分段区间函数
τ
τ
Gτ (t )
1
a<t<b
t > t0
f (t) = f (t)[u(t − a) −u(t −b)] − τ 0
τ
2
t
f (t) = f (t)u(t −t0 )
2
单位矩形脉冲
t < t1
f (t )
f (t) = f (t)[1−u(t −t1)] = f (t)u(−t +t1)
∞ −∞
= ∫ 4(t 2 + 1)δ (t − 1)dt = 4(1 + 1) ∫ δ (t − 1)dt
2 −∞ ∞
=8
五．例题
sin(πt) ∫−∞ 2δ(t) t dt
∞
sin(πt) sin(πt) ∫−∞ 2δ(t) t dt = lim2 t = 2π t→ 0
∞
∫
∞
−∞
δ (t − 2)u (t − 3)dt