考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设Ik=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2 ＜I1
C．I2＜I3＜I1
D．I2＜I1 ＜I3
正确答案：D
解析：本题主要考查定积分几何意义，曲线y=sinx如上图，而在(0，+∞)单调增且大于1，则曲线y=sinx如下图．该曲线与x轴围成三块域面积分别为S1，S2，S3，由定积分几何意义知=S1+(S3一S2)＞S1=I1则I2＜I1＜I3故应选(D)．
2．设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt，则
A．x=π是函数F(x)的跳跃间断点．
B．x=π是函数F(x)的可去间断点．
C．F(x)在x=π处连续但不可导．
D．F(x)在x=π处可导．
正确答案：C
解析：
3．设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则
A．α＜一2．
B．α＞2．
C．一2＜α＜0．
D．0＜α＜2．
正确答案：D
解析：则敛，则a+1＞1，即a＞0，故0＜a＜2．
4．下列反常积分中收敛的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：∫2+∞=∫2+∞xe一xdx=一∫2+∞xde一x=一xe一x|2+∞+∫2+∞e 一xdx=一e一x|2+∞=e一2则该反常积分收敛，故应选(D)．
5．知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：则C1=一1+C2．令C1=C，则C2=1+C故应选(D)．
6．反常积分的敛散性为
A．①收敛，②收敛．
B．①收敛，②发散．
C．①发散，②收敛．
D．①发散，②发散．
正确答案：B
解析：=一(0一1)=1则该反常积分收敛．则该反常积分发散，故应选(B)．
填空题
7．曲线y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧长s=________．
正确答案：
解析：
8．设函数f(x)=λ＞0，则∫一∞+∞xf(x)dx=________．
正确答案：
解析：∫一∞+∞xf(x)dx=λ∫0+∞dx=一∫0+∞xde一λx= 一xeλx|0+∞+∫0+∞e一λxdx
9．=________．
正确答案：
解析：这是一个n项和的极限，提出一个的因子知，原式为一个积分和式
10．设函数f(x)=∫一1x则y=f(x)的反函数x=f一1(y)在y=0处的导数|y=0=________．
正确答案：
解析：由f(x)=∫一1x知，当f(x)=0时，x=一1，又
11．设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是________．
正确答案：
解析：由线所围图形面积为
12．∫一∞1=________．
正确答案：
解析：
13．一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x) =一x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=________．
正确答案：
解析：质心的横坐标为
14．设函数f(x)连续，φ(x)=x(t)dt，若φ(1)=1，φ’(1)=5，则f(1)=________．
正确答案：2．
解析：φ(x)=f(t)dt，由φ(1)=1知∫01f(t)dt=1，又φ’(x)=f(t)dt+2x2f(x2)由φ’(1)=5知5=∫01f(t)dt+2f(1)=1+2f(1)则f(1)=2．
15．极限=________．
正确答案：sin1 一cos1．
解析：
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2—2y(y≥)与x2+y2=1(y≤)连接而成．(Ⅰ)求容器的容积；(Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103kg/m3)
正确答案：由对称性，所求的容积为
17．过点(0，1)作曲线L:y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，
区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
正确答案：设切点A的坐标为(x1，y1)，则切线方程为y一y1=(x一x1)将点(0，1)代入，得x1=e2，y1=2．所求面积为= 2e2一e2+1一e2+1=2．所求体积为
18．设D是由曲线y=，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy 分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy=10Vx，求a的值．正确答案：由Vy= 10Vx，即
19．设曲线L的方程为y=(Ⅰ)求L的弧长；(Ⅱ)设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标．
正确答案：(Ⅰ)y’=，则L的弧长所以D的形心的横坐标为
20．设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1．证明：(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤(x一a)，x∈[a，b](Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．
正确答案：(Ⅰ)由0≤g(x)≤1得0≤∫0xg(t)dt≤∫0x1dt=(x一a) x∈[a，b](Ⅱ)令F(u)=∫auf(x)g(x)dx一f(x)dx只要证明F(b)≥0，显然F(a)=0，只要证明F(u)单调增，又F’(u)=f(u)g(u)一f(a+∫aug(t)dt)g(u)=g(u)[f(u)一g(a+∫abg(t)dt)]由(Ⅰ)的结论0≤∫axg(t)dt≤(x一a)知，a≤a+∫axg(t)dt≤x．即a≤a+∫aug(t)dt ≤u又f(x)单调增加，则f(u)≥f(a+∫abg(t)dt)，因此，F’(u)≥0，F(b)≥0．故f(x)dx ≤∫abf(x)g(x)dx．
21．已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2一(2一y)lny，求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=一1旋转所成旋转体的体积．
正确答案：由= 2(y+1)可知，f(x，y) =∫2(y+1)dy = (y+1)2+φ(x)又f(y，y)=(y+1)2一(2一y)lny，则(y+1)2一(2 一y)lny=(y+1)2+φ(y)则φ(y)=一(2 一y)lny，曲线f(x，y)=0的方程为(y+1)2=(2一x)lnx (1≤x≤2)其所围图形绕直线y =一1旋转所成旋转体的体积V=π∫12(y+1)2dx=π∫12(2 一x)lnxdx=(2ln2一)π.
22．设A＞0，D是由曲线段y=Asinx(0≤x≤)及直线y=0，x=所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积，若V1=V2，求A的值．
正确答案：
23．设函数f(x)=∫01|t2一x2|dt(x＞0)，求f’(x)，并求f(x)的最小值．
正确答案：当0＜x≤1时，f(x)=∫0x|t2一x2|dt+∫01|t2一x2|dt=∫0x(x2一t2)dt+∫01(t2—x2)dt当x＞1时，f(x)= ∫01(x2一t2)dt=x2一所以由f’(x)=0求得唯一驻点x=为f(x)的最小值点，最小值为
24．设D是由曲线y=围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．
正确答案：设D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，表面积为S，则
25．已知函数f(x)在的一个原函数，且f(0)=0．(Ⅰ)求f(x)在区间上的平均值；(Ⅱ)证明f(x)在区间内存在唯一零点．
正确答案：(Ⅰ)f(x)在区间上的平均值(Ⅱ)由题意，得f’(x)=当0＜x＜时，因为f’(x)＜0，所以f(x)＜f(0)=0，故f(x)在＜0．由积分中值定理，存在x0∈时，f(x)＜0，所以x0∈根据连续函数介值定理，存在时，f’(x) ＞0，所以f(x)在内至多只有一个零点．综上所述，f(x)在内存在唯一的零点．。