秒杀三角函数最大值最小值例题

秒杀三角函数最大值最小值例题
二、例题精析
例1、已知
2
()2cos
2f x x x a
=++，若[0,],2
x π∈且|()|2
f x <，求a 的取值范围.
练习1、函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值-1，则实数a = ，b = .
练习2、已知函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫
⎝
⎛+=πππ,2,
cos 26sin 2)(x x x x f .
（1）若54
sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函
数)(x f 的值域.
例2、求函数sin (0)2cos x y x x π=<<+的最大值. 练习3、求函数sin (0)2sin x y x x
π=<<+的值域. 例3、求函数2
()cos
2sin f x x a x a
=--（a 为常数）的最大
值()g a ；并求出当3()4g a =时，()f x 的最小值. 练习4、求函数2
tan 2tan 1,[,)
43
y x x x ππ
=-++∈-
的最大值与
最小值.
例4、求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++⋅的最大值 练习5、函数(1sin )(1cos )y x x =++的最大值为_________最小值为__________
例5、若,(0,),22
ππ
αβαβ∈+≠，且α和β
满足条件
sin sin cos()
βααβ=⋅+.
（1） 用tan α表示tan β；（2）求tan β的最大值. 练习6、已知
tan ,tan αβ
是关于
x
的方程
227320
mx m x m --+=的两个实根，
求tan()αβ+的最小值.
例6、实数,x y 满足2
24545
x
xy y -+=，设2
2
s x
y =+，则max
min
1
1s s +
的值为 . 例
7、设实数
,x y
满足
225
x y +≤，求
(,)|3||49||7318|
f x y x y y y x =++++--的最值.
练习7、实数,x y 满足方程2
2649
x y x y +=--，则22x y -的
最
大
值
与
最
小值的
和
等
于 . 练习8、求函数()231(01)
f x x x x =+-≤≤的最大、最小
值.
例8、设2
πθ≤≤ ，使不等式2
sin 3cos 640m m θθ+--<成立，
求m 的取值范围. 练习9、定义在
]
3,(-∞上的减函数
)
(x f 使得
)
cos 1()sin (22x a f x a f ++≤-对一切R x ∈成立，求实数a 的范
围.
三、巩固练习：
1、当20π
<<x 时，函数x
x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=
的最小值为
（ ）
（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34
2、已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 ( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1
3、设0a >，对于函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=<<，下列结论正确的是 （ ）
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值
4、已知函数11()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 （ ） (A)[]1,1- (B)
22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
(C)
21,2⎡-⎢⎣⎦
(D)
21,2⎡--⎢⎣⎦
5、函数y=2
1sin2+4sin 2
x,x R ∈的值域是 （ ）
(A)［-21,23］ (B)［-23,21
］ (C)［2
1
22,2122++-］
(D)［2
1
22,2122---
］
6、设函数cos (,y a x b a b =+为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么cos sin y a x b x
=+的最大值
是 .
7、设实数x,y,m,n 满足m 2+n 2=a,x 2+y 2=b(a,b 是常数，且a ≠
b)，那么mx+ny 的最大值
是 .
8、已知函数2
2()sin 2sin cos 3cos f x x x x x
=++，x R ∈.求:
(I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的
集合；
(II) 函数()f x 的单调增区间.
9、求函数y ＝2)4
cos()4cos(π
π-+x x ＋x
2sin 3的值域和最
小正周期．
第五讲 三角函数的最值参考答案
二．例题精析
例1
、解：()cos 2212sin(2)1
6
f x x x a x a π
=+
++=+++
因为02x π≤≤，所以7
2.666
x πππ≤+≤ 所以() 3.a f x a ≤≤+
又因为|()|2f x <，所以[,3](2,2),a a +⊂- 于是
2,
32,
a a >-+<解得2
1.
a -<<-
练习1、解：
22
2
cos sin cos (1cos 2)sin 222
).22
a b
y a x b x x x x a b a
x ϕ=+=
+++=
++
（其中tan b a ϕ=） 当sin(2)1x ϕ+=时，有max
2
y
=2222
a b a
++=， 当sin(2)1x ϕ+=-时，有min
1
y =-，即
221
2
a b a ++=-，
解得1,2a b ==± 练习2、解：（1）53cos ,,2,5
4
sin -
=∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=
x x x ππ ，
x x x x f c o s 2c o s 21s i n 232)(-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=x x c o s s i n 3-=53354+=.
（2）
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=6sin 2)(πx x f ππ
≤≤x 2
6
563
π
π
π
≤-
≤∴
x ，
16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤πx ，
∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[.
例2、解法一：将原函数变形得(2cos )sin ,y x x +=
21sin()2y x y
ϕ+-=（其中ϕ由tan y ϕ=-决
定），
2
sin()1
x y ϕ-=
+，应用|sin()|1x ϕ-≤，解得
33
33
x -
≤≤。

又0x π<<，则3
03
y <≤
，故欲求函数
3
解法二：设t a n ,2x t =则原函数变成2
23t
y t
=
+，得2230(0).
y t t y y -+=>
利用判别式2
4120,
y ∆=-≥即2
31,
y
≤又0,y > 解得303
y <≤
，故y 的最大值为
33。

此时，13,
t y ==即2tan 3,.23
x
x π
=
=
解法三：由解法二，设t a n ,2
x t =则2
2(0),
3t y t t
=>+
即2
(0),
3y t t
t
=>+
易知函数
3()f t t t
=
+
在区间为减
函数，在
)
+∞上为增函数，故()f t 的
最小值为
f =
y 3
323
=
，此时3t =，即
2tan
3,23
x x π==。

解法四：y 的值可看作是过点)s i n ,(c o x x A 和)
0,2(-B 两点的直线的斜率，点A 在半圆
)
0(122>=+y y x 上运动，作图可知y 的范围是].3
3
,
0(所以y 的最大值为
3
3。

练习3、解答：1(0,]3 例3、解：2
22()1sin
2sin (sin )1
f x x a x a x a a a =---=-++-+，
故当|sin |x a +最小时，()f x 最大。

（1）若1a >，则当sin 1x =-时，|sin |x a +最小，所以()g a a =；
（2）若11a -≤≤，则当sin x a =-时，|sin |x a +最小，此时2
()1g a a a =-+；
（3）若1a <-，则当sin 1x =时，|sin |x a +最小，此时()3g a a =-。

练习4、解：2
2
tan 2tan 1(tan 1)2,y x x x =-++=--+
[,),t a n 1,3).43
x x ππ∈-∴∈- 当t a n 1
x =，即4
x π
=时，m a x
2
y =，
当t a n 1
x =-，即4
x π
=-时，m i n
2
y =-。

例4、解：令sin cos 2)
4
t x x x π
=+=
+，则[2,2]
t ∈
21
sin cos 2
t x x -⋅=
211
()()22
f x
g t t t ==+-
，()f x 的最大值为122
+练习5、解：最大值为322+0。

例5、解：（1）
2222222
sin sin cos cos sin sin ,sin (1sin )sin cos cos .cos 0,tan (1sin )sin cos ,sin cos sin cos tan tan .1sin 2sin cos 2tan 1
βααβαββαααβββααααααααβαααα=⋅⋅-⋅+=⋅⋅≠+=⋅⋅⋅∴=
==+++
（2）令
tan (0)
x x α=>，则
2tan 21
x y x β==
+，即
220.
yx y x +-=
2180
y ∆=-≥且0y >，解得204
y <≤。

故tan β2。

练习6、解法一：由2
73
tan tan tan tan 2,m αβαβ-+=⋅= 及
tan tan tan(),
1tan tan αβ
αβαβ
++=
-⋅可得
273
tan()m αβ-+=
①
2(420,
m m ∆=--⋅≥
另外，由题意还可知 730,
m -≥
0.
m ≠
解得1 3.2m ≤≤ ② 再由①可得22
371749
tan()3().612m m m
αβ+=--
+=---+
结合②，可知，当6
7m =时，tan()αβ+有最小值7
3.3
例6、解：填85。

理由：易知2
20,
s x
y =+>设
o s
x s θ=，
代入2
24545
x
xy y -+=，
y s θ=
得810sin 2,5s s θ-=于是810||1,5s s -≤得1010
133
s ≤≤，从而 max min 1010
,.313
s s =
=故max
min
1
18
5
s s +
=。

例7、解：设cos ,sin (0,02)x r y r r θθθπ==>≤<，得2
5
r
≤，即
05
r <≤，
则55,55
x y -≤≤-≤≤ 于是494(5)90,
y +≥-
+>
2273187sin 3cos 18
73)1855818290180
y x r r r θθθα--=--=+--≤-=-<
从而
(,)|3|497318
|3|3()27
3|cos sin |3(cos sin )27
32|sin()|32sin()27
44
f x y x y y y x x y x y r r r r r r θθθθππ
θθ=+++-++=++-+=++-+=++-+
（1）当sin()04πθ+≥时，即304πθ≤≤或72,4π
θπ≤< (,)32[sin()sin()]276cos 27
44
f x y r r ππ
θθθ=+--+=+，
因此，当cos 1θ=时，max
(,)65272765
f x y =+=+ 当2
cos 2
θ=-
时，min
2
(,)
65()2727310.2
f x y =-
+=-
（2）当sin()04πθ+<时，即3744ππ
θ≤≤
时， (,)32[sin(
)sin(
)]276sin 27
4
4
f x y r r π
π
θθθ=--++=-+，
因此，当2sin θ=
时，min
2
(,)
65
27273102
f x y =-+=-；
当sin 1θ=-时，max
(,)65(1)272765
f x y =--+=+ 综上可知，max
(,)
2765
f x y =+min
(,)
27310.
f x y =-
练习7、解：填24。

理由：题设方程配方为
22(3)(2)4
x y -++=，于是可设
32cos ,22sin x y θθ
-=+=，即32cos ,22sin x y θθ=+=-+，
则234cos 6sin 12213)12
x y θθθϕ-=-+=++，
故min
max (23)
12213,(23)12213.
x y x y -=--=+
练习8、解：因01x ≤≤，可令2
sin
,[0,]2
x π
θθ=∈，则原函
数式变为
()()2sin 3cos )
f x
g θθθθϕ==+=+，其中ϕ由3tan 2
ϕ=确定，从而max
min ()
13,()2
f x f x ==
例8、解：由题意得
23cos 3(0)
cos 22
m θπ
θθ+>≤≤-恒成立，
所以
2[0,]2
3cos 3
3max{}.
cos 2
2m πθθθ∈+>=--
所以m 的取值范围为1{|}2
m m >- 练习9、解：只要3
sin cos
122
≤-≤++x a x a 恒成立，由
x
a x a sin cos 122-≤++得
22)2
1(sin 49--≥--x a a ，由x
a x a
sin 3,3sin 22
≤-≤-，只要
4
9
2-
-a a 不小于2
)2
1(sin --x 的最大值0和3
2
-a
不大于x
sin 的最小值1-，解
⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≥--1
304
922
a a a ，得
.2
1012-≤
≤-a
三、巩固练习：1、D 2、A 3、B
4、解析：cos (sin cos )11
()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22
x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨
<⎩
即等价于min
{sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

5、解：2142sin 22212cos 212sin 21sin
2sin 2
12
+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+-=+=πx x x x x y ，
故选择C 。

6、5 7
8、 (I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222)224
x x f x x x x x π
-+=++=++=++
∴
当2242x k πππ+=+,即()8
x k k Z π
π=+∈时, ()
f x 取得最大值
22
+函数
()
f x 的取得最大值的自变量x 的集合为
{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈. 解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=++22)
4x π
=++
∴
当2242x k πππ+=+,即()8
x k k Z π
π=+∈时, ()
f x 取得最大值
22
+函数
()
f x 的取得最大值的自变量x 的集合为
{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈. 9、解 2cos()cos()3sin244
y x x x
ππ=+-
22112(cos sin )3sin222cos23sin22sin(2)
6
x x x
x x
x π=-==+
∴ 函数2cos()cos()3sin244
y x x x
ππ=+-的值域是[2,2]-,最
小正周期是π；。