专题01 二次根式选填题压轴训练(解析版)八年级数学下学期期末考试压轴题专练(人教版,尖子生专用)

专题01 二次根式选填题压轴训练
（时间：60分钟总分：120）班级姓名得分
选择题解题策略：（1）注意审题。

把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题。

（2）答题顺序不一定按题号进行。

可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目。

若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目。

这样也许能超水平发挥。

（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目。

（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点。

（5）方法多样，不择手段。

中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。

不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率。

（6）控制时间。

一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”。

填空题解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：
一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；
二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分；
三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。

一、单项选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）．
A．78 cm2B．2cm2
C．cm2D．cm2
【答案】D
【分析】
结合题意，根据二次根式的性质计算，即可求出阴影部分的面积，进而得出答案．
【详解】
从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
∴
=cm
∴cm
∴大正方形的面积是：22
∴留下部分（即阴影部分）的面积是30-48＝2．
故选：D．
【点评】
此题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式的性质，从而完成求解．
2．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n
的代数式表示）（）．
A B C D
【答案】C
【分析】
观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】
由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3故选：C ．
【点睛】
本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
3最接近的整数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【分析】
把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ．
【详解】
解：原式3，
∴49<54<64，
∴78<，
∴27.556.25=， ∴7547.5，
7，
3最接近7-3即4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．
4．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深
入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：S =
其中2
a b c p ++=,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ）
A B C D 【答案】A
【分析】
根据公式解答即可．
【详解】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则
2+349
=
222
a b c
p
+++
==
∴其面积为
4 S===
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
5．设a b则21 b a -
的值为（）
A1B1C1D1
【答案】B
【分析】
首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a，
∴b ，
∴21
b a -， 故选：B ．
【点睛】
该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
6．化简 ）
A B C D 【答案】C
【解析】 根据二次根式有意义的条件可知﹣1x
＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x
故选C ．
7．关于代数式12
a a +
+，有以下几种说法， ①当3a =-时，则12
a a ++的值为-4.
①若12
a a ++值为2，则a = ①若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ）
A ．①
B ．①①
C ．①①
D ．①①①
【答案】C
【分析】 ∴将3a =-代入12a a +
+计算验证即可；∴根据题意12
a a ++=2，解得a 的值即可作出判断；∴若a ＞-2，则a+2＞0，则对12a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】
解：∴当3a =-时，
1134232
a a +=-+=-+-+． 故∴正确；
∴若12
a a +
+值为2， 则122a a +=+， ∴a 2+2a+1=2a+4，
∴a 2=3，
∴a =
故∴错误；
∴若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12
a a ++=1222a a ++-+
=222+-
=2≥0． ∴若a ＞-2，则12a a +
+存在最小值且最小值为0． 故∴正确．
综上，正确的有∴∴．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算
法则是解题的关键．
8．当4x =
） A ．1
B
C ．2
D ．3
【答案】A
【分析】 根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
解：原式2223232323x x x x
1
12323
x x 将4x =代入得， 原式1
1423
423 221
11313
113113 13
33113
1=.
故选：A.
【点睛】
本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
9．如果关于x 的不等式组0,2223
x m x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >，
则
符合条件的所有整数m 的个数是（ ）．
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】C
【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m≤2
值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】 解：解不等式02
x m ->得x ＞m ， 解不等式223
x x --<-得x ＞2， ∴不等式组解集为x ＞2，
∴m≤2，
∴
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m 的个数是3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
10．已知m 、n 是正整数，
则满足条件的有序数对（m ，n ）为（ ） A ．（2，5）
B ．（8，20）
C ．（2，5），（8，20）
D ．以上都不是 【答案】C
【分析】
根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】
解：m 、n 是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m ，n ）为（2，5）或（8，20），
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
11．已知1
2x =⋅，n 是大于1的自然数，那么(n
x -的值是（ ）. A ．12007 B ．12007- C ．()112007n - D ．()112007
n -- 【答案】C
【解析】
【分析】
令a =112x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，2007n a =，进而得到
x
【详解】
令a =112x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，2007n a =，∴x =1111122a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式=111()(1)(1)2007
n n n n a a -=-=-． 故选C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．
==+
12．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，7
除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
x>，
x=>0
由22332 x==+=，解得x=
=
结果为（）
A．5+B．5C．5D．5-
【答案】D
【分析】
可.
【详解】
设x=<，
x<，
∴0
∴266
x=-+，
∴212236
x=-⨯=，
∴x=
=-
5
∴原式5
=-5
=-
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介
绍的方法是解题的关键.
二、填空题
13．已知y ﹣x +3，当x 分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y 值的总和是_____．
【答案】2023．
【分析】
依据二次根式的性质化简，即可得到y ＝|x ﹣2|﹣x +3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y 值的总和．
【详解】
解：∴33|2|3y x x x x ++=--+，
∴当x ＜2时，y ＝2﹣x ﹣x +3＝5﹣2x ，
即当x ＝1时，y ＝5﹣2＝3；
当x ≥2时，y ＝x ﹣2﹣x +3＝1，
即当x 分别取2，3，…，2021时，y 的值均为1，
综上所述，当x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y 值的总和是3+2020×1＝2023， 故答案为：2023．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
14．已知|2||1|9x x ++-=x y +的最小值为__．
【答案】3-．
【分析】
先对|2||1|9x x ++-=根据绝对值的意义得到|2||1|x x ++-和|1||5|y y ++-为最小值时x 、y 的取值，进而得到x y +的最小值．
【详解】
解：|2||1|9x x ++-=
|2||1||1||5|9x x y y ∴++-+++-=，
|2||1|x x ++-可理解为在数轴上，数x 的对应的点到2-和1两点的距离之和；|1||5|y y ++-可理解为在数轴上，数y 的对应的点到1-和5两点的距离之和， ∴当21x -，|2||1|x x ++-的最小值为3；
当15y -时，|1||5|y y ++-的最小值为6， x 的范围为21x -，y 的范围为15y -，
当2x =-，1y =-时，x y +的值最小，最小值为3-．
故答案为：3-．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x 、y 的取值是解题关键．
15____．
1
【分析】
先把6-()0a a =≥化简即可求解．
【详解】
解：原式
=
=
1=．
1．
【点睛】
本题考查了双重二次根式的化简，把6-化为平方的形式是解题关键．
16＝__． 【答案】
12 【分析】
先利用完全平方公式得到4﹣
1）2
2
(1
2
【详解】
解：∴4﹣
1）2，
4
2
+
＝
2
(1
2
，
∴
＝
1
2
．
故答案为
1
2
．
【知识点】
本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算，适当的把有关式子变成完全平方的形式是解题关键．
17
=
，利用上述方法化简：
1＝_____．
【分析】
根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．
【详解】
1
=
1
=
1
=+
11
=
【点睛】
此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．
18．已知y＝＋18
_____．
【答案】
【分析】
首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．
【详解】
解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，则y＝18，
∴x＞0，y＞0，
∴
把x＝8，y＝18代入
＝
＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x 、y 的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．
19．12211112a =++，22211123a =++，32211134
a =++，，22111(1)n a n n =+++，其中n
2020a +__________． 【答案】20202020
2021
【分析】 根据题目条件，先求出1a ，2a ，3a ，n a 的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式
()11111
n n n n =-++进行化简与计算，即可求解． 【详解】 解：2
1221131122a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
， 22221171236a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
， 2322111313412a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭
， ⋯⋯ ()()()2
221111111n n n a n n n n ⎡
⎤++=++
=⎢⎥+
+⎢⎥⎣⎦
， ··
3713202020211 (261220202021)
⨯+=++++⨯， 1111111?··112233*********
=++++++++⨯⨯⨯⨯， 111111120201?··2233420202021⎛⎫=+-+-+-++- ⎪⎝⎭
， 1202012021
=+-， 202020202021
=． 故答案为20202020
2021． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出1a ，2a ，3a ，n a 的值的规律，再用裂项法求出结果．
20732x y -=-，则2x ﹣18y 2＝_____． 【答案】22
【分析】
直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】
解：
∴x ≥11，
|7﹣x 3y ﹣2，
x +7+x ﹣9＝3y ﹣2，
3y ，
∴x ﹣11＝9y 2，
则2x ﹣18y 2＝2x ﹣2（x ﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
21．若a ，b ，c
是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．
【答案】21
【分析】
结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．
【详解】
∴10a b c ++=
∴100a b c ---=
∴222
1490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∴2221)2)3)0++=
∴123
===
∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩
∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴2251121b c +=⨯+=．
【点睛】
本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
22．实数a 、b
10-b 4-b-2=+，则22a b +的最大值为_________．
【答案】52．
【分析】
10-b 4-b-2=+，可得|a -2|+|a -6|+|b+4|+|b -2|=10，然后根据|a -2|+|a -6|≥4，|b+4|+|b -2|≥6，判断出a ，b 的取值范围，即可求出22a b +的最大值．
【详解】
解：10-b 4-b-2=+，
1042b b =-+--， ∴261042a a b b -+-=-+--， ∴264210a a b b -+-+++-=，
∴264a a -+-≥，426b b ++-≥，
∴ 264a a -+-=，42=6b b ++-，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，
∴22a b +的最大值为()2
26452+-=，
故答案为52．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：∴把被开方数分解因式；∴利用算术平方根的性质，把被开方数中
能开得尽方的因数（或因式）都开出来；∴化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或
因式）的指数都小于根指数2．
23．观察下列各式：
112⨯123⨯134⨯，…… 请利用你所发现的规律，
______．
【答案】20202020
2021
【分析】
根据已知等式将各式分别化简，得到1+
112
⨯+1+123⨯+1+134⨯+…+1+120202021⨯，再将等式写成12020⨯+（112⨯+123⨯+134⨯+…+120202021⨯）进行计算得到答案. 【详解】
112⨯123⨯134⨯，……，
∴ =1+
112
⨯+1+123⨯+1+134⨯+…+1+120202021⨯ =12020⨯+（112⨯+123⨯+134
⨯+…+120202021⨯） =2020+（1-12+12-13+13-14++1120202021
-） =2020+1-12021
=202020202021
， 故答案为：202020202021. 【点睛】
此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.
24．设12211112S =++，22211123S =++，32211134
S =++，设...S =，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 【答案】221
n n n ++ 【分析】
n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．
【详解】
解：∴1221191=124S =++，311122
===+-；
∴222114912336S =++=，
7111116623
===+=+-； ∴32211169134144S =+
+=，
1311111121234===+=+-； …… ∴()()()2
22222111111n n n S n n n n ++=++=++，
()()2111111111n n n n n n n n ++=
==+=+-++
+；
∴...S =1111111112231
n n =+-++-++-+…+ 111
n n =+-+． 221
n n n +=+ 故答案为：221
n n n ++ 【点睛】
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111
n n n n =-++的理解．。