2023-2024学年江苏省南通高一上册阶段测试数学试题(含解析)

2023-2024学年江苏省高一下册3月月考试题模拟数学
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设a 、b 是非零向量，则“a 、b
共线”是“a b a b +=+ ”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3EB DE =
，若(),R AE AD AC λμλμ=+∈
，则（）
A ．12
λμ=
B ．2λμ
=C ．3λμ
=D ．1
3
λμ
=3.已知单位向量a b ，满足14
a b ⋅= ，且2c a b =+ ，则sin ,a c <>
=（
）
A ．
558
B ．
368
C ．
38
D ．
108
4.在ABC 中，若sin 2sin 2sin 2B C A +=，则ABC 的形状为（）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
5.已知()()
11tan sin sin log 34tan ααβαββ
⎛⎫+=
-==
⎪⎝⎭
，则（）
A ．-2
B ．12
-
C ．2
D ．
12
6.如图所示，在平面四边形ABCD 中，BCD △是等边三角形，2AD =，BD =
23
π
BAD ∠=
，则ABC 的面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．7.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为(
)
045
αα<<
且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（
）
A.
45 B.
43+ C.473
- D.
475
-8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()3πsin 24g x x ⎛
⎫=+ ⎝
⎭，若当120x x t ≤<≤时，总有
()()()()1212f x f x g x g x -<-，则正实数t 的最大值为（
）A ．
6
π
B ．
4
πC ．
3πD ．
2
π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题有多项符合题目要求）
9.对于任意两个向量,a b
，下列命题正确的是（
）
A ．a b a b +≤+
B ．a b a b -≤-
C ．a b a b
⋅≤⋅ D ．若a b > ，则a b
> 10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（）
A ．“ABC 为锐角三角形,则sin cos A
B >B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 为等腰三角形C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题
D ．若8a =，10c =，π3
B =，则符合条件的AB
C 有两个
11.G 是ABC 的重心，24120，，
==∠= AB AC CAB ，P 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）
A ．0
GA GB GC ++=
B ．AC
在AB
方向上的投影等于2C ．4
3
GA GB ⋅=
D ．()AP BP CP ⋅+
的最小值为3
2
-
12.已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0ω>）在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（
）
A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点
B ．()f x 的最小正周期可能是2
πC ．ω的取值范围是1317,44⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
D ．()f x 在区间0,
15π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量
()2,3a = ，()4,7b =- ，则向量b 在向量a
的方向上的投影向量的坐标为__．
14.求值：cos10(tan10sin 50
-=
________．15.在ABC 中，8,6,60AB AC A ==∠=︒，M 为ABC 的外心，若AM AB AC λμ=+
，
,R λμ∈，则
4346λμ
λμ
+=-________．
16.在锐角ABC 中，若sin 4sin sin ,A B C =则tan tanB tan A C 鬃的最小值为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
设(2,1),(3,0),(,3)OA OB OC m =-==
．⑴当8m =时，将OC 用OA 和OB
表示；
⑵若A 、B 、C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．
18.（本小题12
分）已知函数4
411()cos cos sin 22
f x x x x x m =-+的最大值为32，
(1)求常数m 的值，并求函数()f x 取最大值时相应x 的集合；(2)求函数()f x 的单调递增区间.
19.（本小题12分）已知02π
α<<，1cos 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
（1）求sin α的值；（2）若02π
β-
<<
，cos 24βπ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，求αβ-的值．20.（本小题12分）设两个向量,a b
满足(
)12,0,2a b ⎛== ⎝⎭
.
(1)求a b +
方向的单位向量；
(2)若向量27ta b +
与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
21.（本小题12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，60D ∠= ．
(1)若3AC =，求ACD 周长的最大值；
(2)若2CD AB =，45BCD ∠= ，求tan DAC ∠的值．
22.（本小题12分）已知函数()()
3log 31x
f x =+.
（1）若()()
3log 541x
x
f x =-+，求x 的值；
（2）若函数()()()3()log 3R x
F x f x x a a
a =--⋅-∈有且仅有一个零点，求实数a 的取
值范围.
答案和解析
1.B
2.B2B
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.B
9.AC 10.AC
11.ACD 12.BC
13.()
23，14.
-2
15.7
16.16
17.⑴当8m =时，(8,3)OC = ，设OC xOA yOB =+ 则
(8,3)(2,1)(3,0)(23,)x y x y x =-+=+-3
2381433x x y x y =-⎧+=⎧⎪
∴∴⎨⎨-==⎩⎪⎩；
1433
OC OA OB
∴=-+
⑵ A 、B 、C 三点能构成三角形,AB AC ∴
不共线
又(1,1),(2,4)AB AC m ==-
141(2)0,6m m ∴⨯-⨯-≠∴≠.
18.解：（1
）4
411()cos cos sin 22
f x x x x x m
=-+()(
)22221cos sin cos sin 22x x x x x m =
+-+(
)221cos sin 22x x x m =
-
+1cos 222x x m =
+πsin 26x m ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
当πsin 216x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，函数()f x 取到最大值32，
所以3
12
m +=
，即12m =，
令ππ
22π,62
x k k +
=+∈Z ，得ππ,6x k k =+∈Z ，
所以当函数()f x 取到最大值时x 的集合为ππ,6x
x k k ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.（2）由（1）得π1()sin 262f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
所以令222,26πππ
ππ2
k x k k -
≤+≤+∈Z ，得,3πππ6
π
k x k k -
≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z .19.（1）因为02
π
α<<
，34
4
4
ππ
π
α∴<+
<
，又1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，
∴
14sin sin sin cos cos cos 4444442336ππππππαααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.（2
）因为cos 243
βπ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，211sin cos cos 22cos 1212242433πβπβπββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
又因为02
π
β-
<<
，所以cos 3
β=，由（1
）知，
4cos cos cos cos sin sin 4444446ππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
所以
(
)441cos cos cos sin sin 63632αβαβαβ-⎛⎫-=+=
⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．因为02
π
α<<
，02
π
β-
<<，则0αβπ<-<，所以4
αβ-=
π
．20.解（1）由已知(
)152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以a b+=
所以
1414
a b+=
⎭
，
即a b+
方向的单位向量为1414
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
；
（2）由已知1
a b⋅=
，2,1
a b
==
，
所以()()()
22
22
2722772157
ta b a tb ta t a b tb t t
+⋅+=++⋅+=++
，
因为向量27
ta b
+
与向量a tb
+
的夹角为钝角，
所以()()
270
ta b a tb
++<
，且向量27
ta b
+
不与向量a tb
+
反向共线，设()()
270
ta b k a tb k
+=+<
，则
2
7
t k
kt
=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
2
t=-，
从而
2
21570
2
t t
t
⎧++<
⎪
⎨
≠-
⎪
⎩
，
解得
1
7,,
222
t⎛⎛⎫
∈--⋃--
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
.
22.解：（1）原方程等价于431
55x x
⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
43(),()(2)1
552
x x
x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴=令则是减函数，又.(若直接写出答案扣2分)
（2）令()0F x =得33log (31)log (31)x
x
x a +=+-，
∴(31)0x a ->，且2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-，整理得23(1)310x x a a ⋅-+-=，令3x t =，则2()(1)1g t at a t =-+-有且仅有一个零点，(0)10g =-<，(1)20g =-<，①当0a >时，0x >，此时，(1,)t ∈+∞且()g t 开口向上，∴()g t 在(1,)+∞上有且仅有一个零点；
②当a<0时，0x <，此时，(0,1)t ∈且()g t 开口向下且对称轴方程为11(12x a
=
+，(0)10g =-< ，(1)20g =-<，故要使()g t 在(0,1)上有且仅有一个零点，
只要110112a ⎛⎫<
+< ⎪⎝⎭
且22
(1)4610a a a a ∆=++=++=，可得3a =--符合条件；
综上.{3(0,)
a ∈--⋃+∞。