2023-2024学年上海南模中学高二上学期数学周测及答案(2023.12)

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南模中学2023学年第一学期高二年级数学周测

2023.11

一、填空题

1．棱长为2的正方体的外接球的表面积为__________．

2．正四棱柱1111A BCD A B C D −的底面边长为2，高为4，O 为面11A D D A 的对角线的交点，则四棱锥11O BCC B −的体积为____________． 3．已知空间三个点()()2,0,2,1,1,2P Q −−和()3,0,4R −，设,a PQ b PR =

，若ka b + 与

2ka b −

互相垂直，则k =______．

4．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑．如图，若四面体A BCD 为鳖臑，且A B ⊥平面,BCD A

B B

C C

D ==，则A D 与平面A BC 所成角的大小为__________．（结果用反三角函数值表示）

（第4题） （第7题）

5．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，则这个正四棱柱的表面积是______． 6．已知圆锥的高与母线的夹角是30°，底面圆中圆心角为60°的弦长为4，则此圆锥的体积是__________．

7．如右图，正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，

高为则它的体积为______． 8．抛掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为a ，则,4,5a 能够构成钝角三角形的概率是__________．

9．从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，该球是黑色的概率为___________．

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10．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动。已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换A,,B C 三种商品的概率分别为111

,,236；乙兑换

A,,B C 三种商品的概率分别为111

,,263

，且他们兑换何种商品相互独立，则甲、乙两人兑换

同一种商品的概率为______．

11．若两个相交平面,αβ所成的锐二面角的大小为θ，则称平面,αβ成θ角，已知平面,αβ成70°角，则过空间一点V 且与,αβ都成55°角的平面γ的个数为______个．

12．已知123,,e e e 是空间中3个单位向量，12233112

e e e e e e ⋅=⋅=⋅= ，若空间向量a

满足，

()12,a xe ye x y =+∈

，2a = ，则3a e ⋅ 的最大值是__________．

二、选择题

13．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ） A ．大量的试验中，出现正面的频率为

1

2

B ．不管试验多少次，出现正面的概率始终为12

C ．试验次数增大，出现正面的经验概率为12

D ．以上说法均不正确

14．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=，设,αβ是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()()12

,Q f f P Q f f P βααβ == ，恒有12PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直

B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C ．平面α与平面β平行

D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

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三、简答题

15．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆周长为C ．

（1）求球冠所在球的半径R （结果用,h r 表示）

； （2）已知球冠表面积公式为2S R h =π，当65000,500S C =π=π时，求r

R

的值及球冠所在球的表面积．

16．如图，在三棱锥P A BC −中，PC ⊥底面A BC ，A C BC ⊥，D 是A B 的中点，1,02A C BC PD C π

==∠=θ<θ<

．

（1）求证：平面PA B ⊥平面PCD ；

（2）记三棱锥P A BC −的体积为V

，当V ∈时，求θ的取值范围．

4

17．已知平面向量中有如下两个结论：

结论1：若,OA OB

是不共线的两个平面向量，OC OA OB =λ+µ ，则,,A B C 三点共线的

充要条件是1λ+µ=；

结论2：若,OA OB

是不共线的两个平面向量，OP OA OB =λ+µ ，若点P 在与A B 平行

的直线上，则k λ+µ=（k 为定值）

． 将上述两个结论推广至空间向量（无需写出推广结论）解决以下问题： 已知,,OA OB OC

是两两垂直的单位向量，P 是空间中一点．

（1）若OP xOA yOB zOC =++

且241x y z ++=

，求OP OA OB −− 的最小值； （2）若OP xOA yOB zOC =++ 且满足0,,1

12

x y z x y z ≤≤ ≤++≤ ，求动点P 的轨迹所围成的区域

的体积．

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参考答案

一、填空题 1.12π；

2. 163；

3.522−或；

4.；

5.576；

；

7.

； 8. 16； 9.35； 10. 1336； 11.3

11．若两个相交平面,αβ所成的锐二面角的大小为θ，则称平面,αβ成θ角，已知平面,αβ成70°角，则过空间一点V 且与,αβ都成55°角的平面γ的个数为______个． 【答案】3

【解析】过V 点分别作,αβ的垂线,a b ，设所求平面γ的垂线为l ，则原问题等价于：相交于V 点的直线,a b 的夹角为70°，过V 点能且只能作几条直线与,a b 所成的角均为55°. 设直线,a b 所确定的平面为ξ，则l 在ξ上的射影必是,a b 所成的角（一个为70°，另一个为110°）的角平分线，这样的直线l 有3条，故符合条件的平面γ有且仅有3个，故答案为

3.

12．已知123,,e e e 是空间中3个单位向量，12233112

e e e e e e ⋅=⋅=⋅= ，若空间向量a

满足

()12,a xe ye x y =+∈

，2a = ，则3a e ⋅ 的最大值是__________．

【解析】空间向量a

满足()12,a xe ye x y =+

∈ ，12233112

e e e e e e ⋅=⋅=⋅= . 由2a = ，整理得24a a a =⋅=

，即224x y xy ++=. 又(

)

312312

a e xe ye e x y ⋅+⋅+ ，由于222x y xy +≥，所以由224x y xy ++=，整理得

34xy ≤，即43xy ≤

，所以22222

4162433

x y x y xy x y xy xy +=++=+++≤+=，

故x y +≤

，所以312a e x y ⋅=+≤ ，故答案为

.

二、选择题

13.B 14.A