西安电子科技大学《电磁场与电磁波基础》全套课件10

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由唯一性定理的保证，猜测解可以成为确定场分布的方 法，只要猜测的结果满足拉普拉斯方程以及边界条件。
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σ →∞
q
h
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镜像法

[模型I]求置于无限大接地平面导体上方距导体面 h处的点 电荷q的电位 [解] 导体上半空间的电位是两部分之和：φ=φq+φs 由于感应面电荷的分布与空间电场有关，无法得知 感应面电荷的分布。 在 上 半 空 间 仅 有 点 电 荷 q ， 其 产 生 的 电 位 在 (0,0,h) 外满足拉普拉斯方程 在导体表面，点电荷以及所有感应电荷产生的电位 为零； 在无穷远，所有电荷产生的总电位为零。
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唯一性定理


对任意的静电场当空间各点的电荷分布与整个边界上的 边界条件已知时，空间各处的场就唯一确定。 以泊松方程第一类边值问题为例：

场方程

边界条件

令φ=φ1-φ2
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ρ (r ) ∇ ϕ1 = − ε
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第10讲 静态场的解(I)

边值问题的分类 唯一性定理 镜象原理
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边值问题的分类

用来决定场方程的解中所含常数的条件统称为边界条件； 边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问题；
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唯一性定理

一个定解问题是否符合实际情况，必须依靠实践来证明， 然而从数学角度来看，对于偏微分方程需要从三个方面加 以考证： 解的存在性：即看所归结出来的定解问题是否有解； 解的惟一性：即看是否只有一个解； 解的稳定性：即看定解条件有微小变动时解是否相应地 只有微小的变动；

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镜像法

数学描述

=0
S
ϕ1 = ϕ2
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唯一性定理


唯一性定理是电磁场理论中最重要的定理之一：
如何能得到一个空间的场确定的解 只要能得到满足唯一性定理条件的场解，这个解一定是场的 正确解，无论它是采用什么方法得到的：


根据唯一性定理可以建立电磁场问题求解的等效原理，而 这些等效原理可以大大简化电磁问题。
ρ (r ')
R
电场分布
V
dV '
µ0 J (r ') × R B(r ) = dV ' 3 ∫ V 4π R µ0 J A= dV ∫ V 4π R
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磁场分布
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第10讲 静态场的解(I)


静电场问题可分为两类：
一类是前面讨论的已知源分布求解场的分布型问题； 一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已 知条件来求解场的边值型问题。

在静电场中，若已知分布电荷的体密度，对于无解空间 即可通过积分公式计算任意点电位； 对于有限区域的电位问题，须使用讨论区域边界上的电 位值(边值)来确定积分常数； 对于场域中有不同介质的情况，还须在介质分界面上的 电位边界条件来确定场的分布情况。
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难点：

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边值型问题的空间场分布可化为求解给定边界条件下位 函数的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。 拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，可用解析法、数值计 算法、实验模拟法及图解法等方法求解。
3º区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值 混合问题
∇ 2ϕ = − ρ ε ϕ = ϕ , ∂ϕ 0 Γ1 lexu@ ∂n =ψ 0
Γ2
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Note1 ：以上证明表明，只要给定了介质分布和电荷 分布以及边界上电位满足的边界条件，则场被 唯一确定，不会有两组不同的解满足同样的场 方程和边界条件。 Note2 ：对于第二类和第三类边值问题可以用类似的 方法证明其场解的惟一性。 Note3：对于第二类边值问题，其位函数可以不唯 一 ， 彼此相差常数，但对应场解仍然唯一。
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唯一性定理

第二种情况（Neumann问题）：
ρ (r ) ∇ ϕ1 = − ε
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∇ 2ϕ 2 = −
∂ϕ1 ∂n
∂ϕ2 ∂n
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第10讲 静态场的解(I)

静态场问题
电荷分布
电流分布
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ϕ (r ) =
1 4πε 0
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1 R E (r ) = ρ (r ')dV ' 3 ∫ V 4πε 0 R
∫
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若确实如此，此解便称为稳定，不稳定的解是没有实用价值的 定解问题通常是利用实验方法得到，因而其结果与实际必有一 定误差，若因定解条件微小变化导致方程的解变化很大，那么 这样的解显然不能符合客观实际的要求。
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唯一性定理

格林公式

再看散度定理
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静磁场Review

重点：

磁通的连续性原理、安培环路定律、静磁场基本方程和边界 条件的数学表达式及其含意，矢量磁位和标量磁位的定义及 应用。 静磁场的计算方法、电感的计算。
电磁场与电磁波基础
主讲：徐乐
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静磁场Review


磁感应强度；磁通的连续性原理、磁场的散度；安培环路定律、 磁场的旋度；恒定磁场的基本方程；矢量磁位；矢量泊松方程； 磁偶极子及其产生的场；磁介质中的场方程；磁场的边界条件； 标量磁位；互感和自感；恒定磁场的能量、能量密度；磁场力。 基本要求 熟练掌握磁通的连续性原理、安培环路定律、恒定磁场的基 本方程、矢量磁位和磁场的边界条件。 掌握电流分布已知时磁感应强度和磁场强度的计算，矢量泊 松方程和磁偶极子及其产生的场，标量磁位、互感和自感、 磁场能量、能量密度、磁场力的概念和求解
∇ ⋅ FdV =
∫
S
F ⋅ dS
∫
V
∇ ⋅ FdV =
∫
S
(ϕ∇Ψ ) ⋅= dS
∂Ψ ∫ S ϕ ∂n dS
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唯一性定理

格林第一恒等式 n是面元的正法向，即闭合面的外法向
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格林第二恒等式
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∫
V
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∂ϕ ∫V (ϕ∇ ϕ + ∇ϕ ⋅ ∇ϕ )dV = ∫S ϕ ∂n dS
∂ϕ dS ∇ϕ dV = ∫ ϕ S ∂n
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ϕ |S = 0
∫
V
∇ϕ dV = 0
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唯一性定理

Note：对任意函数φ，| ▽φ |≥0，由上式可知：
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ρ (r ) ε
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S S
∇ ϕ′ = 0
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∫
V
∂ϕ ′ ′ ∇ϕ dV = ∫ S ϕ ′ ∂n dS
2
ϕ ′ = ϕ1 − ϕ2 = C
=ψ 0
若选取参考点相同
=ψ 0
∂ϕ ′ ∂ϕ ∂ϕ = 1 − 2 ∂ n S ∂n S ∂n
若令F =φ▽Ψ, 则 ∇ ⋅ F = ∇ ⋅ (ϕ∇Ψ ) = ϕ∇ 2 Ψ + ∇ϕ ⋅∇Ψ 2 ∇ ⋅ FdV = ( ϕ ∇ Ψ + ∇ϕ ⋅∇Ψ )dV ∫ ∫
V V
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∫
V
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镜像法是唯一性定理的典型范例。
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镜像法
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平面镜像法
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Note：在整个求解区域内φ=0
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∫
V
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∇ϕ dV = 0
∇ϕ = 0
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ϕ =C
ϕ |S = 0
ϕ =0
ϕ1 = ϕ2
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唯一性定理
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∂ψ ∫V (ϕ∇ ψ + ∇ϕ ⋅ ∇ψ )dV = ∫S ϕ ∂n dS
∂ϕ ∫V (ψ∇ ϕ + ∇ψ ⋅ ∇ϕ )dV = ∫Sψ ∂n dS
∂ϕ ∂ψ −ψ ϕ dS ∫V (ϕ∇ ψ −ψ∇ ϕ )dV = ∫S ∂n ∂n
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镜像法

镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法，主要用来求解分布 在导体附近电荷产生的场。

对于架设在地面上的双线传输线的电场分布可以采用镜像法来 分析，此时，地面可作为无穷大导体平面。

采用镜像法分析问题时，位于导体上方的电荷和导体面上的感 应电荷共同作用，激励导体上方的场。
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ρ (r ) ∇ ϕ2 = − ε
ϕ1 |S = f = 0
∇ 2ϕ = 0
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唯一性定理

在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，则
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∇ϕ= 0
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边值问题的分类

边值问题按其边界条件不同可分为三类：
∇ 2ϕ = − ρ ε (或 0 ) 1º已知区域边界上的位函数值： ϕ |Γ = ϕ 0 荻利克莱（Dirichlet）问题 ∇ 2ϕ = − ρ ε 2º已知待求函数在区域边界上的法向导数值 ∂ϕ ∂n = ψ 0 Γ Neumann问题