2024北京房山区高三一模数学试题及答案

2024北京房山高三一模
数 学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集{2,1,0,1,2}U =−−，集合{1,2}A =，则
U
A =（ ）
A ．{2,1,0,1}−−
B ．{2,1,0}−−
C ．{2,1,1}−−
D ．{2,1}−− 2．抛物线2
4x y =的准线方程是（ ）
A ．1x =
B ．1x =−
C ．1y =
D ．1y =−
3．已知i 是虚数单位，若复数(i)(3i)z m =−⋅+是纯虚数，则实数m 的值是（ ） A ．3− B ．3 C ．13− D ．13
4．已知角α的终边经过点(3,4)，把角α的终边绕原点O 逆时针旋转π
2
得到角β的终边，则sin β=（ ） A ．45−
B ．45
C ．3
5
− D ．35
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为
A ．12里
B ．24里
C ．48里
D ．96里
6．直线:20l x y ++=截圆222
:(0)M x y r r +=>所得劣弧所对的圆心角为
π
3
，则r 的值为（ ）
A B C 7．“01x <<”是“|(1)|(1)x x x x −=−”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 8．已知,,a b c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a b >，则0.4
0.4a
b >
C ．若a b >，则1122a c
b c
++⎛⎫
⎛⎫< ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
D ．若0,0a b c >>>，则
b b
c a a c
+>+ 9．在平面直角坐标系中，已知(1,0),(1,0)A B −两点．若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，给出下列曲线：
①2221y x −=；②22
21x y +=；③24x y +=．
其中“合作曲线”是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①
D ．②
10．若函数|ln |
ln(1),(,0],() 1
,(0,).e x x x f x x −∈−∞⎧⎪
=⎨∈+∞⎪⎩则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1或3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．双曲线22
122
x y −=的离心率是_________．
12．如图．已知矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，则AM BN ⋅=_________．
13．设2012(1)n n n x a a x a x a x −=+++
+，则0a =________；当89a a =−时，n =_________．
14．若对任意,m n ∈R ，函数()f x 满足()()()f m f n f m n =+，且当m n >时，都有()()f m f n <则函数()f x 的一个解析式是_________．
15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与点A ，1C 不重合）．给出下列结论：
①存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面11AA C ； ②对任意点P ，都有1A P DP =；
③1A DP △面积的最小值为
6
； ④若1θ是平面1A DP 与平面1111A B C D 的夹角，2θ是平面1A DP 与平面11BB C C 的夹角，则对任意点P ，都有12θθ≠．其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（本小题13分）
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，ADE △是正三角形，
2EF =，4AB =，2AD =．
（I ）求证：EF AB ∥；
（II ）求二面角F BC D −−的余弦值． 17．（本小题13分） 在ABC △中，1
cos 2,72
A a =−=，且a c <． （I ）求A ∠的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在且唯一确定，求
ABC △的面积．
条件①：8c C =∠，为锐角； 条件②：2
1cos 49
C =
；
条件③：sin 14
B =
． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m ）（部分摘抄）：
预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25； 乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38； 丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
（I ）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
（Ⅱ）设X 是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X 的数学期望EX ；
（Ⅲ）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m ）如下表：
若丙第6次试跳的成绩为a ，用12,s s 分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当12s s =时，写出a 的值．（结论不要求证明） 19．（本小题15分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的离心率为12，左焦点为1(1,0)F −，过1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两
点，点M 为弦AB 的中点，O 是坐标原点，且M 不与O ，1F 重合． （I ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若P 是OM 延长线上一点，且OP 的长度为2，求四边形OAPB 面积的取值范围． 20．（本小题15分） 已知函数1
()e ax
f x x
=+
． （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）设2
()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值； （Ⅲ）若e a <−，求函数()f x 的零点个数． 21．（本小题15分）
已知无穷数列{}n a 是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
{}**1,n n A k a k a n +=∈<<∈N N ∣．若对于集合A 中的元素k ，数列{}n a 中存在不相同的项
12,,,m i i i a a a ，使得12m i i i a a a k ++
+=，则称数列{}n a 具有性质()N k ，记集合{B k =∣
数列{}n a 具有性质}()N k ．
（I ）若数列{}n a 的通项公式为21,4,
6, 4.n n n a n n −≤⎧=⎨
+>⎩
写出集合A 与集合B ；
（II ）若集合A 与集合B 都是非空集合，且集合A 中的最小元素为t ，集合B 中的最小元素为s ，当3t ≥时，证明：t s =；
（Ⅲ）若{}n a 满足*12,N n n a a n +≥∈，证明：A B =．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
答案 （B ） （D ） （C ） （D ） （C ） （B ） （A ） （D ） （A ） （A ）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）2 （12）6− （13）1,17 （14）答案不唯一，写出一个形如()(01)x f x a a =<<的函数即可. （15）①②③
三、解答题（共6小题， 共85分） （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）证明：
因为四边形ABCD 为矩形，所以AB //CD . 因为AB
平面DCFE ，CD
平面DCFE ，
所以AB //平面DCFE . .......................2分 又因为AB
平面ABFE ，平面ABFE ∩平面DCFE
FE , .......................4分
所以EF //AB . .......................5分
（Ⅱ）取AD 中点O ，作ON //AB ，交BC 于N ，连接EO .
因为ADE △为正三角形,
所以OE ⊥AD . 因为平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE ∩平面ABCD AD ,
OE
平面ADE ，
所以OE ⊥平面ABCD . 因为,OA ON ⊂平面ABCD ， 所以OE ⊥OA ,OE ⊥ON . 因为ON //AB , AB ⊥AD ，
所以ON ⊥AD . 分别以OA ，ON ，OE 所在直线为x 轴, y 轴, z 轴，
建立如图所示空间直角坐标系, 则 .......................8分 (1,0,0)A ，(1,0,0)D ，(1,4,0)B ，(1,4,0)C .
因为ADE △为正三角形，2AD , 所以3OE
，(0,0,3)E .
由（Ⅰ）知EF //AB , 所以(0,2,3)F .
x
y z
E
N D A B
C
F
O
因为OE ⊥平面ABCD ,
所以平面ABCD 的法向量为OE =. .......................10分 设平面FBC 的法向量为(,,)n x y z ，则 (2,0,0)BC
，(1,2,3)BF
.
由0,0.
BC n BF n 得
20,230.
x x y z
令3y
，则0x
，2z
.
所以(0,3,2)n . .......................12分
设面二面角F BC D −−的大小为，(0,)2θπ
∈，
因为cos OE n <>=
，， 所以27
cos
7
. .......................13分 (17)（本小题13分）
解：（Ⅰ）在ABC △中，因为a c <， 所以A C <. 所以02
A π
<<
. 所以02A <<π.
因为1
cos 22
A =−，
所以223
A π=. 所以3
A π
=
. .......................5分 （Ⅱ）选条件①： .......................6分 因为3
A π∠=
，
所以sin A =
又因为7a =，8c =， 由
sin sin a c
A C =8sin C =.
所以sin C =
. .......................8分
因为22sin cos 1C C +=，C 为锐角，
所以1
cos 7
C ==. .......................9分 由2222cos c a b ab C =+−得2221
87277
b b =+−⨯⨯.
整理得22150b b −−=，解得5b =或3b =−（舍）. 所以5b =. .......................11分
所以ABC △
的为面积为11sin 5822ABC S bc A ==⨯⨯=△......................13分
选条件③： .......................6分 因为3
A π
=
，
所以sin A =
又因为7a =
，sin 14
B =， 由
sin sin a b
A B =
=. 所以3b =. . .......................8分
由2222cos a b c bc A =+−得2221
73232
c c =+−⨯⨯
. 整理得23400c c −−=，解得8c =或5c =−（舍）. 所以8c =. .......................11分
所以ABC △
的为面积为11sin 3822ABC S bc A ==⨯⨯=△ .......................13分
选条件②：不满足题目要求，得0分.
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）设事件A 为“甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员”.
根据题中数据，甲在10次比赛中，有4次成绩达到二级及二级以上运动员． 所以()P A 估计为
42
105
=. .......................4分 （Ⅱ）设事件B 为“乙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员”， 事件C 为“丙在此次
跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员”.
根据题中数据，()P B 估计为
3162=，()P C 估计为21
42
=. .......................5分 根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,且 (0)()()()()P X P A B C P A P B P C ==⋅⋅=；
X
()()()P A P B P C =+()()()P A P B P C +()()()P A P B P C ；
()()()P A P B P C =+()()()P A P B P C ()()()P A P B P C +；
(3)()()()()P X P A B C P C P B P C ==⋅⋅=.
所以(0)P X =估计为320，(1)P X =估计为25
； (2)P X =估计为
7
20
，(3)P X =估计为110. .......................10分
32712870123.2052010205
EX =⨯+⨯+⨯+⨯== .......................11分
（Ⅲ） 5.81a =或 5.87a =. .......................14分 (19) （本小题15分）
解：
（Ⅰ）由题意可知2221,
1
,2.
c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩
所以2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆E 的方程为22
143
x y +=. .......................5分
（Ⅱ）解法1：
由题意可知，直线AB 不与坐标轴垂直，
设直线AB 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠． .......................6分 由22 1.(31),
4
x y k y x ⎧⎪
⎨+==+⎪⎩得2222(3)120484k k x k x ++−+=． .......................7分
判别式22222(8)4(43)(412)144(1)0k k k k ∆=−⨯+−=+>. 设11(,)A x y ， 22(,)B x y ，则
2
122843
k x x k −+=+，212241243k x x k −⋅=
+. .......................8分 设AB 的中点00(),M x y ，则
2
12024243
x x k x k +−==+，002
3(1)43k y k x k =+=+. 所以222434343
k k
M
k k −++（，）. .......................9分 所以34OP OM k k k
==−
. (1)()()()
P X P A B C P A B C P A B C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅(2)()()()
P X P A B C P A B C P A B C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
所以直线OP 的方程为3
4y x k
=−
，即340x ky +=. .......................10分 点11(,)A x y 到直线OP
的距离为1d =
点22(,)B x y 到直线OP
的距离为2d =
， .......................11分
因为1122(34)(34)x ky x ky +++=2212(43)()8k x x k +++
2
2
228(43)8043
k k k k −=++=+，
所以12d d +=
．
又因为
21x x −=
=
所以
2121234k d d ++=
=
．
所以四边形OAPB 面积()121
2
S OP
d d =
⋅+
== .......................13分 因为0k ≠， 所以21699k +>. 所以2110169
9
k <
<+. 所以3 4.<< 所以四边形OAPB 面积的取值范围是(3,4). .......................13分 解法2：
由题意可知，直线AB 不与坐标轴垂直，
设直线AB 的方程为1x my =−(0)m ≠． .......................6分 由224
113,.x y y x m ⎪==−⎧⎪
⎨+⎩得22(0364)9m m y y +−−=． .......................7分
判别式222(6)4(34)(9)144(1)00m m m ∆=−−⨯+⨯−=+>>. 设11(,)A x y ， 22(,)B x y ，则
122634
m
y y m +=
+， 12
2934y y m −⋅=+. .......................8分 设AB 的中点00(),M x y ，则
12023234
y y m y m +=
=+，00
24134x my m −=−=+. 所以2243(
)3434
m
M m m −++，. .......................9分
所以34
OP OM m
k k ==−
. 所以直线OP 的方程为34
m
y x =−
，即340mx y +=. .......................10分 点11(,)A x y 到直线OP
的距离为1d ，
点22(,)B x y 到直线OP
的距离为2d =
.......................11分
因为211212(34)(34)(34)()6mx y mx y m y y m +++=++−
226(34)
60,
34
m
m m m =+−=+
所以12d d +=
．
又因为
2134
y y m −=
=+
， 所以
2121234m d d ++=
=
所以四边形OAPB 面积()121
2
S OP d
d =
⋅+
==分 因为0m ≠，
所以291616m +>，211
0916
16
m <
<+，
所以34<<. 所以四边形OAPB 面积的取值范围是(3,4). .......................15分
(20) （本小题15分） 解: （Ⅰ）当0a =时，1
()1f x x
=
+. 因为2
1
()f x x '=−
， .......................1分 所以(1)1f '=−，(1)2f =. .......................3分 所以曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程为21(1)y x −=−⨯−， 即3y x =−+. .......................5分
（Ⅱ）因为22
2
22
e 1()()e 1ax ax ax g x
f x x x ax x
−='⋅=⋅=−， 所以函数()g x 的定义域为(,0)
(0,)−∞+∞. .......................6分
所以2()e (2)ax g x a ax x '=⋅⋅+. .......................7分
当0a =时，()1(0)g x x =−≠，所以()g x 无极大值； .......................8分 当0a <时，令2()e (2)0ax g x a ax x '=⋅⋅+=，则10x =，22
0x a
=−
>.
所以()g x 无极大值； .......................10分 当0a >时，令2()e (2)0ax g x a ax x '=⋅⋅+=，122
0,0x x a
=−
<=.
所以()g x 的极大值为224
()1e
g a a −=−. .......................12分
综上所述，当0a >时，2()()g x f x x ='⋅ e 有极大值224
()1e g a a −=−.
（Ⅲ）当e a <−时
当0x >时，因为1()e 0ax f x x
=+>，所以函数无零点； .......................13分 当0x <时，因为1()ax f x e x
=+单调递减，
因为(1)e 10a f −−=−>，1
()e 0f a a
=+<， .......................14分
所以函数()f x 有一个零点. .......................15分 (21)（本小题15分）
}2n a ，，，，由题可知M
A =∅，N M
A *=.
；当n M ∈时，存在a ，n a =.
②若1k A +∈，则存在1m m a a M +∈，，11m m a k a ++＜＜，.
则112m m m m m m k a a a a a a k ++−−−=≤≤＜， 则1m k a k +−＜，且1m m k a a +−＜. 由归纳假设可知， 当1m
kAa
+−∈
时，存在正整数12t i i i ⋅⋅⋅，，
，，且12t i i i ⋅⋅⋅＜＜＜， 使得121t i i i m m a a a k a a ++⋅⋅⋅+=+−<，
则有121t i i i m a a a a k ++⋅⋅⋅++=+，且12t i i i m a a a a ⋅⋅⋅<，，
，. 则1k B +∈. 当1m
kMa
+−∈时，存在q a M ∈，1mqm
kaaa
+−=<
， 即存在不相同两项q a ，m a ，使+1q m a a k =+. 则1k B +∈.
由(1)(2)可知，命题对于N n *∈都成立. .................14分 所以对于任意n A ∈，n B ∈，所以A B ⊆. 所以A B =. .................15分。