线性代数试题及答案二

线性代数（试卷一）
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若
122
21
12
11=a a a a ，则=1
6
030
322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则1
B -= 。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX
b =有唯一解的充分要条件是_________
5. 设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_
6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=-1230120011
A
，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是
8.已知五阶行列式1
23453
2011
11111
2
1403
54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T
-的模（范数）______________。

10.若()T
k
11=α与()T
121-=β正交，则=k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r =
Ｂ．s r ≤
Ｃ．r s ≤
Ｄ．r s <
2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)
Ａ．8 Ｂ．8-
Ｃ．
3
4
Ｄ．3
4-
3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )
Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <
Ｃ．)()(A R B R =
Ｄ．)()(A R B R ≥
4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*
kA 等于_____。

5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B 三、计算题（本题总计60分。

1-3每小题8分,4-7每小题9分）
1. 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2
12
2
2-n
n 2
222。

2．设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且2
1=A ，求*A A 2)3(1--.
3．求矩阵的逆
4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

6.已知向量组()T 32011=α、()T
53112=α、()T
13113
-=α、
()T 94214=α、()T
52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该
最大无关组线性表示．
7. 求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量．
四、证明题（本题总计10分）
设η为b AX =()0≠b 的一个解，12
,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，
证明12
,,n r ξξξη-线性无关。

（答案一）
一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）
1~15；2、3；3、CA ；4、()n b A R A R ==),(；5、2；6、⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛123012001；7、()n A R <；8、0；9、3；10、1。

.
二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B
三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）
1、
解：D
),,4,3(2n i r r i =-00021 00022 00122
03022-n 2
00
22-n ------3分 122r r - 00001 00022 - 0
0122
- 030
22--n 20022--n -------6分
)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n ----------8分 （此题的方法不唯一，可以酌情给分。

）
解：（1）⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11111111124121311211111111112A AB ------1分
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222222
602222464⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=420004242------5分
（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1711116102395113111311
2
2B A ⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-------=16128711
3084--------8分 3. 设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且21=
A ，求*A A 2)3(1--. 因*
A A ＝E E 2
1=A ，故411=
=-n A *A 3分 **
A A A
211==-A 5分 27164
1
34342322)3(3
1
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=--****
A A A A A 8分
4、解： ⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100111010011001001),(E A 1
31
2r r r r ++⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---10111001101000100
1---3分 23r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112100011010001001)1()1()1(321-÷-÷-÷r r r ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------11210001101000
1001---6分
故⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-11201100
11A -------8分 （利用*-=
A A A 11
公式求得结果也正确。

） 5、解；⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=21111111),(λλλλλb A 13
1
231r
r r r r r λ--↔⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛------322
2111011011λλλλλλλλλ23r r + ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+---)1()1()1)(2(00110112
2
2
λλλλλλλλλλ---------3分
（1）唯一解：3),()(==b A R A R 21-≠≠λλ且 ------5分
（2）无穷多解：3),()(<=b A R A R 1=λ --------7分
（3）无解：),()(b A R A R ≠
2-=λ --------9分 （利用其他方法求得结果也正确。

） 6、解：⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=522011113221111),(b A −→−
r ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---000003111052201--------3分 ⎩⎨⎧=--=++0022432431x x x x x x 基础解系为 ⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=01121ξ，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=10122ξ-----6分 ⎩⎨⎧-=--=++3522432431x x x x x x 令043==x x ，得一特解：⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=0035η---7分 故原方程组的通解为： ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++101201120035212211k k k k ξξη，其中R k k ∈21,---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给
分。

）
7、解：特征方程2110430(2)(1)1
2A E λ
λλλλλ
---=
--=--- 从而1232,1λλλ=== (4分)
当12λ=时，由(2)0A E X -=得基础解系1(0,0,1)T
ζ=，即对应于12λ=的全部特征向量为11k ζ1(0)k ≠ (7
分)
当231λλ==时，由()0A E X -=得基础解系2(1,2,1)T
ζ=--，即对应于231λλ==的全部特征向量为
22k ζ2(0)k ≠
四、证明题（本题总计10 分） 证： 由12
,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，则12,n r ξξξ-线性无关。

(3分)
反证法：设12,,n r ξξξη-线性相关，则η可由12,n r ξξξ-线性表示，即：r r ξλξλη++= 11 (6
分)
因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故η必是0=AX 的解。

这与已知条件η为
b AX =()0≠b 的一个解相矛盾。

(9分). 有上可知，12
,,n r ξξξη-线性无关。

(10分)
线性代数(试卷二)
一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分） 1. 排列6573412的逆序数是 ．
2.函数()f x = 211
1
2
x
x
x x x
---中3x 的系数是 ． 3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1
()A -= ． 4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ．
5．设向量(1,2,1)T
α=--，β=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22λ正交，则λ= ．
6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝ ．
7. 设1
121021003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则_________A *=.
8. 设A 为8×6的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为___ 9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1
*1()3
A A --
+= ．
10．已知20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于12B y -⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪⎝
⎭
，则=x ，=y ． 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）
1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于 ． (A) (5)n
D - (B)-5D (C) 5D (D)1
(5)n D --
2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .
(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A 有n 个特征值 (C) 矩阵A 的行列式0A ≠ (D) 矩阵A 的特征方程没有重根 3．A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是 ．
(A)(,)R A b m < (B)()R A m < (C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =< 4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ) (A)．)()(A R B R ≤
(B)．)()(A R B R <
(C)．)()(A R B R = (D)．)()(A R B R ≥ 5. 向量组12,,
,s ααα线性相关且秩为r ，则 ．
(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤ 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）
1. 计算n 阶行列式: 22221 =D 22222 22322 2
12
2
2-n
n 2
222 .
2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.
3. 设n 阶方阵A 满足0422
=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1
(3)
A E --.
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:
5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
6．已知二次型：3231212
32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=，
用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ． 四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）
设11b a =, 212b a a =+
,
, 12r r b a a a =++
+, 且向量组r a a a ,,,21 线性无关，证
明向量组r b b b ,,,21 线性无关.
(答案二)
一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）
1. 17
2. -2 3．13A 4．()R A n <5．2λ=-6．-27．116
A -或12110216003-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
8．
29、21n
）（－10、2,0-==y x 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）
三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）
1、
解：D
),,4,3(2n i r r i =-00021 00022 00122
03022-n 2
00
22-n ------4分 122r r - 00001 00022 - 0
0122
- 030
22--n 20022--n -------7分
)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n ---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。

） 2．求解AX A X =+，其中 解：由AX A X =+得
()
1
X A E A -=- (3分)
()120220,203213011010A E A ⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪-⎝⎭
(6分)
100226010203001213r
-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
(8分)
所以 226203213X -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
(10分)
3．解：利用由0422
=--E A A 可得：0))(3(=-+-E E A E A --------5分 即 E E A E A =+-))(3( ------7分 故E A 3-可逆且)()
3(1
E A E A +=----------10分
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．
解：1112321388()3219501234A b ⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪---- ⎪---⎝⎭1112
3012340011200000r ⎛⎫ ⎪
--- ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
(2分) 100210
1010001120
0000r ⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
(4分)则有
142434
2102x x x x x x +=⎧⎪
-=⎨⎪+=⎩ (6分) 取4x 为自由未知量，令4x c =，则通解为：12
3421101210x x c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
c R ∈ (8分)
对应齐次线性方程组的基础解系为：21
11-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
(10分)
5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解：
()
1234αααα=212321232123413501110111201201110000⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
1101201110000⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(2分) 12,αα为一个极大无关组. (4分) 设 31122x x ααα=+， 41122y y ααα=+
解得 12121
x x ⎧=⎪
⎨⎪=⎩，
1211
y y =⎧⎨=⎩. (8分) 则有 3
121
2ααα=+， 412ααα=+
6 解 3
231212
32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
f 的矩阵 ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222
A (2分)A 的特征多项式 )10()1()(2---=λλλϕ
(4分)
121==λλ的两个正交的特征向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101p , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1142p 103=λ的特征向量 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=2213p
正交矩阵 ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡--=32
23121322312
1312
340
Q 8分) 正交变换y Q x =：标准形2
3222110y y y f ++=
四、证明题（本题总计 10分）若设,2121211,,,r r a a a b a a b a b +++=+== 且向量组r a a a ,,,21 线性无关，证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明：设存在12λ,λ,
,λr R ∈，使得 1122r r b +b +
+b =0λλλ
也即 1121212()()0r r a a a a a a λλλ+++++=
化简得 12122()()0r r r r a a a λλλλλλ++
+++++
+=
又因为
12,,
,r
a a a 线性无关，则1220
r r r λλλλλλ+++=⎧⎪++=⎪⎨
⎪⎪=⎩
(8分)解得 120r λλλ====
所以，12r b , b ,, b 线性无关.。