2025高考数学一轮复习-7.3-直线、平面平行的判定与性质【课件】
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应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一 不可．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内的两条 判 ___相__交_______直线与另 定 定 一个平面平行，那么这两 理 个平面平行(简记为“线
面平行⇒面面平行”)
符号语言
_____a_∥__β____
【解析】 根据面面平行的判定定理可知 A 错误，D 正确；根据面面平行的定义可 知 B 错误，C 正确．故选 BC.
4．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位 置关系为__平__行____．
【解析】 连接 BD，则 AC∩BD＝O，连接 OE(图略)，则 OE∥BD1，OE⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE，∴BD1∥平面 ACE.
(1)证明：MN∥平面 C1DE； (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离．
【解】 (1)证法一：连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 ME∥ B1C，且 ME＝12B1C.
又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND＝12A1D.
由题设知 A1B1 綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND，
第七章 立体几何与空间向量
第三节 直线、平面平行的判定与性质
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
平面外一条直线与 判 ___此__平__面__内___的一条直 定 定 线平行，则该直线与此平 理 面平行(简记为“线线平
行⇒线面平行”)
符号语言
l∥a
___a_⊂__α______
___l_⊄_a_______
⇒l∥α
续表 文字语言
一条直线与一个平面平 性 行，如果过该直线的平面 质 与此平面相交，那么该直 定 线与交线平行(简记为 理 “线面平行⇒线线平
行”)
图形语言
符号语言
l∥α
____l⊂__β______
____α_∩__β_＝_b___
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条．( × ) (3)若直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 β，a∥b，则 α∥β.( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
2．下列说法中，与“直线 a∥平面α”等价的是( D ) A．直线 a 上有无数个点不在平面α内 B．直线 a 与平面α内的所有直线平行 C．直线 a 与平面α内无数条直线不相交 D．直线 a 与平面α内的任意一条直线都不相交
【解析】 若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内的直线要么异面，要么平行，即 直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交，故选 D.
易错点睛：(1)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件． (2)对面面平行性质定理理解不深致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 直线与平面平行的判定与性质 角度 1：直线与平面平行的判定 【例 1】 如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．
_____α_∥__β____
□10 α∩γ＝a
___□1_1_β_∩__γ_＝_b__
⇒a∥b
提醒：(1)平面与平面平行还有如下判定： ①如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，那么这两 个平面互相平行． ②如果两个平行平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (2)平面与平面平行还有如下性质： ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． ③两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN∥ED.又 MN⊄平面 C1DE，ED⊂平面 C1DE， 所以 MN∥平面 C1DE.
证法二：连接 A1M 延长交直线 AB 于点 F，
∵M 为 BB1 的中点， 又 ABCD－A1B1C1D1 为四棱柱， ∴A1B1∥BF， ∴△A1B1M≌△FBM， ∴A1B1＝BF，A1M＝MF，
易错易混 5．设平面 α，β，直线 a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 a，b 是平面 α 内两条相交直 线，且有“a∥β，b∥β”，则有“α∥β”；当“α∥β”，若 a⊂α，b⊂α，则有“a∥β，b ∥β”，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选 B.
3．(多选)下面命题中正确的是( BC ) A．若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
_____b_∥__β____
_____a_∩__b_＝__P_
_____a_⊂__α____
_____b_⊂__α____
⇒α∥β
续表
文字语言
两个平面平行，如果 性 另一个平面与这两个 质 平面_____相__交_____， 定 理 那么____两__条__交__线__平
行
图形语言
符号语言
6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为_平_行 __四__边__形____．
【解析】 ∵平面 ABFE∥平面 DCGH，又平面 EFGH∩平面 ABFE＝EF，平面 EFGH∩ 平面 DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理 EH∥FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果一个平面内的两条 判 ___相__交_______直线与另 定 定 一个平面平行，那么这两 理 个平面平行(简记为“线
面平行⇒面面平行”)
符号语言
_____a_∥__β____
【解析】 根据面面平行的判定定理可知 A 错误，D 正确；根据面面平行的定义可 知 B 错误，C 正确．故选 BC.
4．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位 置关系为__平__行____．
【解析】 连接 BD，则 AC∩BD＝O，连接 OE(图略)，则 OE∥BD1，OE⊂平面 ACE， BD1⊄平面 ACE，∴BD1∥平面 ACE.
(1)证明：MN∥平面 C1DE； (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离．
【解】 (1)证法一：连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 ME∥ B1C，且 ME＝12B1C.
又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND＝12A1D.
由题设知 A1B1 綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND，
第七章 立体几何与空间向量
第三节 直线、平面平行的判定与性质
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
平面外一条直线与 判 ___此__平__面__内___的一条直 定 定 线平行，则该直线与此平 理 面平行(简记为“线线平
行⇒线面平行”)
符号语言
l∥a
___a_⊂__α______
___l_⊄_a_______
⇒l∥α
续表 文字语言
一条直线与一个平面平 性 行，如果过该直线的平面 质 与此平面相交，那么该直 定 线与交线平行(简记为 理 “线面平行⇒线线平
行”)
图形语言
符号语言
l∥α
____l⊂__β______
____α_∩__β_＝_b___
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)若直线 a∥平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条．( × ) (3)若直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 β，a∥b，则 α∥β.( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
2．下列说法中，与“直线 a∥平面α”等价的是( D ) A．直线 a 上有无数个点不在平面α内 B．直线 a 与平面α内的所有直线平行 C．直线 a 与平面α内无数条直线不相交 D．直线 a 与平面α内的任意一条直线都不相交
【解析】 若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α 内的直线要么异面，要么平行，即 直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交，故选 D.
易错点睛：(1)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件． (2)对面面平行性质定理理解不深致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 直线与平面平行的判定与性质 角度 1：直线与平面平行的判定 【例 1】 如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD ＝60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．
_____α_∥__β____
□10 α∩γ＝a
___□1_1_β_∩__γ_＝_b__
⇒a∥b
提醒：(1)平面与平面平行还有如下判定： ①如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，那么这两 个平面互相平行． ②如果两个平行平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． (2)平面与平面平行还有如下性质： ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． ③两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN∥ED.又 MN⊄平面 C1DE，ED⊂平面 C1DE， 所以 MN∥平面 C1DE.
证法二：连接 A1M 延长交直线 AB 于点 F，
∵M 为 BB1 的中点， 又 ABCD－A1B1C1D1 为四棱柱， ∴A1B1∥BF， ∴△A1B1M≌△FBM， ∴A1B1＝BF，A1M＝MF，
易错易混 5．设平面 α，β，直线 a，b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 由平面与平面平行的判定定理可知，若直线 a，b 是平面 α 内两条相交直 线，且有“a∥β，b∥β”，则有“α∥β”；当“α∥β”，若 a⊂α，b⊂α，则有“a∥β，b ∥β”，因此“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选 B.
3．(多选)下面命题中正确的是( BC ) A．若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行
_____b_∥__β____
_____a_∩__b_＝__P_
_____a_⊂__α____
_____b_⊂__α____
⇒α∥β
续表
文字语言
两个平面平行，如果 性 另一个平面与这两个 质 平面_____相__交_____， 定 理 那么____两__条__交__线__平
行
图形语言
符号语言
6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为_平_行 __四__边__形____．
【解析】 ∵平面 ABFE∥平面 DCGH，又平面 EFGH∩平面 ABFE＝EF，平面 EFGH∩ 平面 DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理 EH∥FG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．