第三章+误差的合成与分配
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3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
标标准差来评定的，对函数的随机误差，
也是用函数的标准差来进行评定。因此，
函数随机误差的计算就是研究函数y的标
准差与各测量值 的关系。
x1,的x2, 标, 准xn 差之间
2 y
f
(
2 x1
,
2 x21
,...
2 xn
)
3-13
ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
3-14
函数标准差计算
2 y
( f )2 x1
2 x1
( f )2 x2
2 x2
( f )2 xn
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
N
xim x jm
n
y
ai2
2 xi
（3-15）
i 1
一般测量多为独立测量，一些弱相关（很小） 的情况也近似地当作独立测量对待。上式常用。 3-16
函数的极限误差计算公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布,且互不 相关时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限 误差公式
n
lim y
a12
2 y
f x1
2 源自文库
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响
2
2 x2
f xn
23-x2n19
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 l = 500mm。
已知：h 0.005mm ，l 0.01mm 求测量直径的标准差
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型 D l2 h
2、三角函数
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
cos f x1, x2,..., xn
1
sin
n i 1
f xi
xi
3-9
已知直接测得值xi及其已定系统误差xi，求测量结果
1）建立函数式。
负相关
=+1,完全正相关; =-1,完 全负相关.此时两误差之间存 在着确定的线性函数关系.
正相关
线性不 相关
3-24
相关系数
| |越小，X，Y之间线性相关程度越小，| | 取值 越大，X，Y之间线性相关程度越大
值得注意的是:相关系数只表示两误差的线性相关的 密切程度,当很小甚至等于0时,两误差间不存在线性 关系,但并不表示它们之间不存在其他的函数关系.
f xi
第i个直接测得量 xi 对间接量y在该测量点(x1, x2,
, xn )
处的误差传播系数
若定义 ：
N
xim x jm
K ij m1 N
当N时为第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
ij
Kij
xi xj
K ij ij xi xj
2）由直接测得值xi求不考虑系统误差的结果
y0 f (x1, x2 , xn )
3）求函数系统误差。
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
n i 1
f xi
xi
4）经修正，得到消除定值系统误差后的结修果正为
y f (fx1(, xx12 ,x,2x,n.).., xny) -y
3-8
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值 系统误差之和
由两个或多个误差值合并成一个误差值叫做误差的合
成。包括系统误差的合成（已定、未定系统误差的合成） 随机误差的合成、系统误差与随机误差的合成。
给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误
差。这就是误差的分配或分解。
3-3
误差的合成与分配
第一节 函数误差
第二节 随机误差的合成
第三节 系统误差的合成 第四节 系统误差与随机误差的合成 第五节 误差分配 第六节 微小误差取舍准则 第七节 最佳测量方案的确定
4h
D2
( f l
)2l2
(
f h
)2
h
2
52 0.012 242 0.0052 169104 mm
有
D 0.13mm
3-20
三、误差间的相关关系及 相关系数(correlation coefficient)
3-21
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
sin f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为：
1 cos
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
2） 余弦函数形式为:
cos f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为：
1 sin
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
3） 正切函数形式为:
tan f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为： cos2
函数标准差计算
2 y
( f )2 x1
2 x1
( f x2
)2
2 x2
( f xn
)2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
N
xim x jm
m1
N
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij
xi
xj
（3-13）函数 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
2 y
n ( f ) 2 i1 xi
2 xi
（3-14）
或
令
f xi
ai
2 lim
x1
a2 2 2 lim
x2
an2
2 lim
xn
ai2
2 lim
xi
i 1
lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
其置信概率与xi相同
证明
（3-16）函数 极限误差公式
3-17
函数的极限误差计算公式
n
lim y
a 2 2 1 lim
dxn
函数系统误差 y 的计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
f xi (i 1, 2, , n) 为各个直接测量值的误差传递系数
(error propagation coefficient)
x1, x2 ,, xn 为各个直接测量值已定系统误差
当相关系数 ij 0
y
a12
2 x1
a22
2 x2
an2 xn2
当相关系数 ij 1
y a1 x1 a2 x2 an xn
函数随机误差分量则具有线性的传播关系.
3-22
误差间的线性相关关系
（一）误差间的线性相关关系：指两者误差间的线性依 赖关系，这种依赖关系有强有弱。
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5
l 2h 250
直径的系统误差 D f l f h 7.4mm
l h
故修正后的测量结果
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
x1
a22
2 lim
x2
an2
2 lim
xn
ai2
2 lim
xi
i 1
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim xi 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
值
3-10
【例 题】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。
如图所示，车间工人用一把卡尺量得
弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂
检验部门又用高准确度等级的卡尺量
得弓高 h 50.1mm，弦长l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
l
D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
第3章 误差的合成与分配
3-1
基本概念
直接测量(direct measurement)
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
量值的变换与计算。
间接测量(indirect measurement)
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
3-25
相关系数的确定
1、直接判断法
可判断ij 0 的情形
当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然
xi 与x j 属于完全不相干的两类体系分量， 如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起 的误差分量 xi 与x j 虽相互有影响，但其影响甚微，视为 可忽略不计的弱相关
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
1300mm
3-11
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
误差传播系数为
3-6
一、函数(已定）系统误差计算
间接测量的数学模型
y f (x1, x2,..., xn )
x1, x2, , xn 为各个直接测量值 y为间接测量值
3-7
一、函数(已定）系统误差计算
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy
f xi
dx1
f x2
dx2
f xn
用游标卡尺测 量小尺寸轴工 件的直径时， 游标卡尺的读 数即是被测工 件的直径
用游标卡尺测大 尺寸轴工件的直 径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数， 故称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-4
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
m1
N
2 y
( f )2 x1
2 x1
( f )2 x2
2 x2
( f )2 xn
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij
xi
n ( f )2 i1 xi
2 xi
定量
（二）相关系数 ，两误差之问相关性的强弱由相关系 数来反映。
3-23
相关系数
定义
K ( )( )
1 1
表示了两个变量间线性相 关的程度
当0 1 ，X与Y正相关， 当 1 ，X0与Y负相关
线性 相关
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
4） 余弦函数形式为:
cot f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为： sin 2
f x1
2
2 x1
f x2
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
标标准差来评定的，对函数的随机误差，
也是用函数的标准差来进行评定。因此，
函数随机误差的计算就是研究函数y的标
准差与各测量值 的关系。
x1,的x2, 标, 准xn 差之间
2 y
f
(
2 x1
,
2 x21
,...
2 xn
)
3-13
ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
3-14
函数标准差计算
2 y
( f )2 x1
2 x1
( f )2 x2
2 x2
( f )2 xn
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
N
xim x jm
n
y
ai2
2 xi
（3-15）
i 1
一般测量多为独立测量，一些弱相关（很小） 的情况也近似地当作独立测量对待。上式常用。 3-16
函数的极限误差计算公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布,且互不 相关时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限 误差公式
n
lim y
a12
2 y
f x1
2 源自文库
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响
2
2 x2
f xn
23-x2n19
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 l = 500mm。
已知：h 0.005mm ，l 0.01mm 求测量直径的标准差
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型 D l2 h
2、三角函数
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi
xi
cos f x1, x2,..., xn
1
sin
n i 1
f xi
xi
3-9
已知直接测得值xi及其已定系统误差xi，求测量结果
1）建立函数式。
负相关
=+1,完全正相关; =-1,完 全负相关.此时两误差之间存 在着确定的线性函数关系.
正相关
线性不 相关
3-24
相关系数
| |越小，X，Y之间线性相关程度越小，| | 取值 越大，X，Y之间线性相关程度越大
值得注意的是:相关系数只表示两误差的线性相关的 密切程度,当很小甚至等于0时,两误差间不存在线性 关系,但并不表示它们之间不存在其他的函数关系.
f xi
第i个直接测得量 xi 对间接量y在该测量点(x1, x2,
, xn )
处的误差传播系数
若定义 ：
N
xim x jm
K ij m1 N
当N时为第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
ij
Kij
xi xj
K ij ij xi xj
2）由直接测得值xi求不考虑系统误差的结果
y0 f (x1, x2 , xn )
3）求函数系统误差。
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
n i 1
f xi
xi
4）经修正，得到消除定值系统误差后的结修果正为
y f (fx1(, xx12 ,x,2x,n.).., xny) -y
3-8
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... an xn
系统误差公式 y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1
y x1 x2 ... xn
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值 系统误差之和
由两个或多个误差值合并成一个误差值叫做误差的合
成。包括系统误差的合成（已定、未定系统误差的合成） 随机误差的合成、系统误差与随机误差的合成。
给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误
差。这就是误差的分配或分解。
3-3
误差的合成与分配
第一节 函数误差
第二节 随机误差的合成
第三节 系统误差的合成 第四节 系统误差与随机误差的合成 第五节 误差分配 第六节 微小误差取舍准则 第七节 最佳测量方案的确定
4h
D2
( f l
)2l2
(
f h
)2
h
2
52 0.012 242 0.0052 169104 mm
有
D 0.13mm
3-20
三、误差间的相关关系及 相关系数(correlation coefficient)
3-21
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
sin f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为：
1 cos
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
2） 余弦函数形式为:
cos f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为：
1 sin
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
3） 正切函数形式为:
tan f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为： cos2
函数标准差计算
2 y
( f )2 x1
2 x1
( f x2
)2
2 x2
( f xn
)2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
N
xim x jm
m1
N
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij
xi
xj
（3-13）函数 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
2 y
n ( f ) 2 i1 xi
2 xi
（3-14）
或
令
f xi
ai
2 lim
x1
a2 2 2 lim
x2
an2
2 lim
xn
ai2
2 lim
xi
i 1
lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
其置信概率与xi相同
证明
（3-16）函数 极限误差公式
3-17
函数的极限误差计算公式
n
lim y
a 2 2 1 lim
dxn
函数系统误差 y 的计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
f xi (i 1, 2, , n) 为各个直接测量值的误差传递系数
(error propagation coefficient)
x1, x2 ,, xn 为各个直接测量值已定系统误差
当相关系数 ij 0
y
a12
2 x1
a22
2 x2
an2 xn2
当相关系数 ij 1
y a1 x1 a2 x2 an xn
函数随机误差分量则具有线性的传播关系.
3-22
误差间的线性相关关系
（一）误差间的线性相关关系：指两者误差间的线性依 赖关系，这种依赖关系有强有弱。
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5
l 2h 250
直径的系统误差 D f l f h 7.4mm
l h
故修正后的测量结果
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
x1
a22
2 lim
x2
an2
2 lim
xn
ai2
2 lim
xi
i 1
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim xi 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
值
3-10
【例 题】
用弓高弦长法间接测量大工件直径。
如图所示，车间工人用一把卡尺量得
弓高 h 50mm，弦长l 500mm ，工厂
检验部门又用高准确度等级的卡尺量
得弓高 h 50.1mm，弦长l 499mm 试问 车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
l
D 2
【解】建立间接测量大工件直径的函数模型
第3章 误差的合成与分配
3-1
基本概念
直接测量(direct measurement)
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
量值的变换与计算。
间接测量(indirect measurement)
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
3-25
相关系数的确定
1、直接判断法
可判断ij 0 的情形
当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈 正负交替变化，反之亦然
xi 与x j 属于完全不相干的两类体系分量， 如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起 的误差分量 xi 与x j 虽相互有影响，但其影响甚微，视为 可忽略不计的弱相关
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
D0
l2 4h
h
1300mm
3-11
计算结果
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm l 500 499 1mm
误差传播系数为
3-6
一、函数(已定）系统误差计算
间接测量的数学模型
y f (x1, x2,..., xn )
x1, x2, , xn 为各个直接测量值 y为间接测量值
3-7
一、函数(已定）系统误差计算
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy
f xi
dx1
f x2
dx2
f xn
用游标卡尺测 量小尺寸轴工 件的直径时， 游标卡尺的读 数即是被测工 件的直径
用游标卡尺测大 尺寸轴工件的直 径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数， 故称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-4
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
m1
N
2 y
( f )2 x1
2 x1
( f )2 x2
2 x2
( f )2 xn
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij
xi
n ( f )2 i1 xi
2 xi
定量
（二）相关系数 ，两误差之问相关性的强弱由相关系 数来反映。
3-23
相关系数
定义
K ( )( )
1 1
表示了两个变量间线性相 关的程度
当0 1 ，X与Y正相关， 当 1 ，X0与Y负相关
线性 相关
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
4） 余弦函数形式为:
cot f x1, x2,, xn
函数随机误差公式为： sin 2
f x1
2
2 x1
f x2