求动点轨迹方程的几种方法

1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
2、求动点轨迹方程的几种方法：
(1)直接法：(2)定义法：(3)相关点代入法：(4)待定系数法；（5）交轨法；（6）参数法：（7）点差法： 典型例题
一：直接法： 此类问题重在寻找数量关系。

当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1．求曲线C 的方程．
二：定义法：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.
1)圆：到定点的距离等于定长；
2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；
3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；
4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.
例1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.
例2： 一条线段AB 的长等于a 2,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？
例3：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方程.
例4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 4
5sin sin C A B =
+求点C 的轨迹。

5:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：
A ：抛物线
B ：圆
C ：椭圆
D ：双曲线一支
三：相关点代入法 “相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
例1：点P (4,－2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
例2：已知抛物线2 4C y x =： 焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 轨迹方程.
3.已知A 为曲线2
:410C x y 上的动点，定点(2,0)M ，若2AT TM ，求动点T 的轨迹方程.
四、交轨法 1.求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程. 2.若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.
例：两条直线10x my --=和10mx y +-=的交点的轨迹方程是（ ）
五、待定系数法
六、参数法
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

注意参数的取值范围。

例1．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

五、点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆
锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)
P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121
y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 例1：已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
2：已知椭圆2
212
x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
3.抛物线y =2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是。