北师大版高中数学选修2-1《由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质》教学设计

由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质
一、教学目标：1.初步掌握求曲线的方程的方法；2.能利用方程讨论曲线的简单性质 二、教学重难点：1.初步掌握求曲线的方程的方法；2.能利用方程讨论曲线的简单性质 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：曲线的方程，方程的曲线的概念 （二）、探究新课
1、求解曲线方程的一般步骤.
例1、设A 、B 两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解：设M （x,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合
{}|||| MB MA M P ==.
由两点间的距离公式，点M 所适合条件可表示为：
2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x
将上式两边平方，整理得：x +2y －7=0 ① 我们证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程①的解，即
x +2y 1－7=0 x 1=7－2y 1
点M 1到A 、B 的距离分别是
;
)136(5 )1()28( )1()1(121212121211+-=++-=+++=y y y y y x A M ,
)136(5 )7()24( )7()3(1112
1
212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=
即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.
由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0; （4）化方程f (x,y )=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程. 例2、长为2a (a 是正常数)的线段AB 的两端点,A B 分别在相互垂直的两条直线上滑动，求线段AB 中点M 的轨迹．
解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，设M 的坐标为(,)x y ，∵
ABC ∆是直角三角形，M 为斜边AB 的中点，所以
1
2
OM AB a ==
即
a =两边平方，得
222x y a +=
所以，动点M 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆．
例3、求平面内到两定点,A B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹方程． 解：以,A B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立（如图）直角坐标系x O y ，令2A B a =，则,A B 两点的坐标分别为
(,0),(,0)a a -．设M 点坐标为(,)x y ，依据题意，点M 满足
2MA
MB
=
由MA MB =
=
2=，
化简整理，得2
2
2
331030x y ax a +-+=．
所以，动点M 的轨迹方程为2
2
2
331030x y ax a +-+=． 2、利用方程研究曲线的性质：【例4见教材第85页例题】
（三）小结：本节课我们学习了求曲线的方程的方法以及利用方程讨论曲线的简单性质。

求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y
）
表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0;（4）化方程f (x,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程。

（四）、课堂练习：过)3,1(M 作两互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交x 轴于点A ，2l 与y 轴交于点B ，求线段AB 中点的轨迹方程。

解：（转移法或称相关点法）设),(y x P 是轨迹上任一点，设)0,(A x A ，),0(B y B
∴2A x x =
，2
B y
y =，∴)0,2(x A ，)2,0(y B ，∵21l l ⊥ 若1l 与2l 的斜率都存在（12≠x ），则121-=⋅k k ，且x k 2131-=
，1
3
22--=y k ，
∴
3
21
213-=-y x ， ∴)21(053≠=-+x y x ，
若1l 的斜率不存在，则)0,1(A ，)3,0(B ，则中点)2
3
,21(M 代入方程053=-+y x 适
合，
∴所求轨迹方程为053=-+y x ． （五）、课后作业：练习册66页2、4、5、6 五、教后反思：。