2020-2021学年湖北省武汉市十五中学联考体高二上学期期中联考数学试题 word版

湖北省武汉市十五中学联考体2020-2021学年高二上学期期中
联考数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．在空间直角坐标系中，点P(1，3，-5)关于yoz 面对称的点的坐标是
A.(1，3，5)
B.(1，-3，5)
C.(—1，3，-5)
D.(—1，-3.5)
2若直线30x y a -+=过圆22
240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为
A.-1
B.5
C.3
D.1
3.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNO 不平行的是 A. B. C. D.
4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A ，若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交
B ，若m∥α，α∥β，则m∥β
C.若α∥β，m∥α，则m∥β
D ，若m∥α，α∥β，则m∥β
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若ΔABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是
A.2 c.3
6.长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在体积为323π的球O 的球面上，其中AA 1=2，底面ABCD 是正方形，则OA 与平面ABCD 所成角的大小为
A.6π
B.3π
C.2π
D.56
π 7.已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(a >b >0))的右焦点是F(3，0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 中点M 的坐标为(1，-1)，则椭圆E 的方程为
A.2211664x y +=
B.221189x y +=
C.2212718x y +=
D.22
14536
x y += 8.设椭圆C 的左右焦点为F 1、F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P 、Q ，若|PF 2|=2c ，且1143PF QF =，则帕圆C 的离心率为
A.12
B.34
C.57
D.23
9.已知动圆Р与圆C 1：22(3)1x y ++=外切，且与圆C 2：22(3)81x y -+=内切，动圆圆心Р的轨迹方程
为C ，则下列说法正确的是
A.轨迹方程C 为22
12516
x y += B.轨迹方程C 的焦距为3 C.轨迹方程C 的长轴为10 D.轨迹方程C 的离心率为35
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

10.如图，M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是
A.MN∥平面ABD
B.异面直线AC与BD所成的角为定值
C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D.三棱锥M-ACN体积的最大值为
2 48
11.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章。

人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相
同的时间内扫过的面积相等。

设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是
A.卫星向径的取值范围是[a-c，a+c]
B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
12.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则
A.直线DD1与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9 8
D 点C 和点G 到平面AEF 的距离相等
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线30x y -=截圆22
(2)4x y -+=所得的弦长为_____________。

14.22
192
x y +=的焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________。

15.在我国古代数学著作《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1是一个“堑堵”，其中AB=BC=BB 1=2，点D 是AC 的中点，则异面直线AB 1与BD 所成角的大小为________。

16.已知正四棱锥P-ABCD 的五个顶点都在球О的球面上，底面ABCD 边长为2，E 为PB 中点，∠AEC=90°，则侧棱PB=_______，球О表面积为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.(本题12分)如图，在三棱锥A 1B 1C 1-ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1⊥B 1D 。

(1)求证：AC 1∥AB 1D ；
(2)求证：AB 1⊥BC 1；
18.(本题12分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD=∠BCD=90°，EC=2，AB=BD=2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°。

(1)证明：平面EFC 上平面BCD ；
(2)求点F 到平面CDE 的距离。

19.求满足下列各条件的椭圆的标准方程。

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)过点(3，-5)，且与椭圆22
1259
y x +=有相同焦点。

20.已知圆O ：221x y +=切线l 与椭圆C ：22
34x y +=相交于A ，B 两点。

(1)求椭圆C 的离心率；
(2)求证：OA ⊥OB 。

21.（本小题12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点。

(1)PB ∥平面AEC ； (2)设PA=1，LABC=60°，三棱锥E-ACD 的体积为36
，求二面角D-AE-C 的余弦值。

22.已知椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)，离心率为12
，点G(0，2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，О为坐标原点，直线OM 、ON 的斜率之积等于34
-，试探求∥OMN 的面积是否为定值，并说明理由。

2020~2021学年度上学期十五中联考体期中考试
高二数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．在空间直角坐标系中，点P(1，3，-5)关于yoz 面对称的点的坐标是
A.(1，3，5)
B.(1，-3，5)
C.(—1，3，-5)
D.(—1，-3.5)
【答案】C.
2若直线30x y a -+=过圆22
240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为
A.-1
B.5
C.3
D.1
【答案】B
3.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNO 不平行的是 A.
B. C. D.
【答案】A. 4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交
B.若m∥α，α∥β，则m∥β
C.若α∥β，m∥α，则m∥β
D ，若m∥α，α∥β，则m∥β
【答案】D.
5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若ΔABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 A.22 B.32 c.23 D.33
【答案】D.
6.长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在体积为
323
π的球O 的球面上，其中AA 1=2，底面ABCD 是正方形，则OA 与平面ABCD 所成角的大小为
A.6π
B.3π
C.2π
D.56π
【答案】A.
7.已知椭圆E ：22
221x y a b
+=(a >b >0))的右焦点是F(3，0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 中点M 的坐标为(1，-1)，则椭圆E 的方程为
A.2211664x y +=
B.221189x y +=
C.2212718x y +=
D.22
14536x y +=
【答案】B.
8.设椭圆C 的左右焦点为F 1、F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P 、Q ，若|PF 2|=2c ，且1143PF QF =，则帕圆C 的离心率为
A.12
B.34
C.57
D.23
【答案】C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全
部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

9.已知动圆Р与圆C 1：22(3)1x y ++=外切，且与圆C 2：22
(3)81x y -+=内切，动圆圆心Р的轨迹方程为C ，则下列说法正确的是 A.轨迹方程C 为2212516
x y += B.轨迹方程C 的焦距为3 C.轨迹方程C 的长轴为10 D.轨迹方程C 的离心率为
35
【答案】ACD.
10.如图，M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论正确的是
A.MN ∥平面ABD
B.异面直线AC 与BD 所成的角为定值
C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直
D.三棱锥M-ACN 体积的最大值为2
【答案】ABD.
11.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章。

人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相 同的时间内扫过的面积相等。

设椭圆的长轴长、焦距分别为2a 、2c ，下列结论正确的是
A.卫星向径的取值范围是[a -c ，a +c ]
B.卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】AD.
12.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则
A.直线DD 1与直线AF 垂直
B.直线A 1G 与平面AEF 平行
C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D 点C 和点G 到平面AEF 的距离相等
【答案】BC.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线30x y -=截圆22(2)4x y -+=所得的弦长为_____________。

【答案】23.
14.22
192
x y +=的焦点为F 1、F 2，点Р在椭圆上，若|PF 1|=4，则∠F 1PF 2的大小为_________。

【答案】23
π. 15.在我国古代数学著作《九章算术》中，把底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1是一个“堑堵”，其中AB=BC=BB 1=2，点D 是AC 的中点，则异面直线AB 1与BD 所成角的大小为________。

【答案】3
π.
16.已知正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球О的球面上，底面ABCD边长为2，E为PB中点，∠AEC=90°，则侧棱PB=_______，球О表面积为_________。

【答案】22，22 3π
.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17.(本题12分)如图，在三棱锥A1B1C1-ABC中，AB=AC，D为BC中点，平面ABC⊥平面BCC1B1，BC1⊥B1D。

(1)求证：AC1∥AB1D；
(2)求证：AB1⊥BC1；
【解析】
(1)证明：连接A1B交AB1，于点O，连接OD.
∥ABC-A1B1C1是三棱柱，
∴ABB1A1是平行四边形，
∴O为AB中点
∥D为BC中点，
∴OD∥A1C，
∥AC⊄平面AB1D，OD∥平面AB1D
∴A1C∥平面AB1D
(2）∥AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC
∥平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD∥平面ABC
∴AD上平面BCC1B1
∥B1C⊂平面BCC1B1
∴AD上平面BCC1B1
∥BC1⊂平面BCC1B1
∴AD⊥BC1
∥BC1⊥B1D，AD∩B1D=D
∴BC⊥平面AB1D
∵BC1⊥平面AB1D
∥AB1⊂平面AB1D，
∴AB1⊥BC1
18.(本题12分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，∠ABD=∠BCD=90°，EC=
，AB=BD=2，直线EC与平面ABC所成的角等于30°。

(1)证明：平面EFC上平面BCD；
(2)求点F到平面CDE的距离。

【解析】
(1)F是斜边BD的中点，
∴FC=1
2
BD=1
∥E，F是AD、BD的中点，
∴EF=1
2
AB=1，又∥EC=2
∵EF2+FC2=EC2
∴EF⊥FC
又∥AB⊥BD，EF∥AB
∥EF⊥BD，又BD∩FC=F
∴EF⊥平面BCD
∴平面EFC⊥平面BCD
(2）取AC的中点M，连结EM
∵AB=BD=2且∠ABD=90°，
∴AD=22，又∥EC=2=1
2 AD，
∴ΔACD为直角三角形且∠ACD=90°，
∴DC ⊥AC ，又DC ⊥BC ，
∴AC∩BC=C ，
又∥AC ，BC ⊂面ABC ，
∴DC ⊥面ABC ，
又E ，M 分别为AC ，AD 中点，
∴EM ∥CD
∴EM ⊥平面ABC ，
∴∠ECM 为EC 与平面ABC 所成的夹角，∠ECM=30°，
∴ME=1
2
∴，则S ΔFCD =1
1
1
222⨯=
∥V E-FCD =1
3EF×S ΔFCD =111
1236⨯⨯=，在Rt ΔECD 中，，
∴S ΔECD =1
2=F 到平面CDE 的距离为h ，
∥V E-FCD =V F-FCD ，1
1
63=，解得
即点F 到平面CDE 的距离为.
19.求满足下列各条件的椭圆的标准方程。

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)过点，，且与椭圆22
1259y x +=有相同焦点。

【解析】
(1)若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)
∥长轴是短轴的3倍
∴a=3b
又∥椭圆经过点A(3，0)
∴
22
22
30
1
a b
+=，得到a=3
∴b=1，所以
2
21 9
x
y
+=
若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)
∥长轴是短轴的3倍，∴a=3b
又∥椭圆经过点A(3，0)
∴
22
22
03
1
a b
+=，得到b=3，
∴a=9
∴
22
1 819
y x
+=
所以椭圆的标准方程为。

2
21
9
x
y
+=或
22
1
819
y x
+=.
(2）椭圆
22
1
259
y x
+=的焦点为(0，±4)
设该椭圆方程为22
221x y a b +=(a >b >0)，因此2216a b -= ∥
∥椭圆过
，
225
31a b +=(a >b >0) ∥
联立∥∥式，解得a 2=20，b 2=4. 因此该椭圆方程为22
1204x y +=.
20.已知圆O ：221x y +=切线l 与椭圆C ：2234x y +=相交于A ，B 两点。

(1)求椭圆C 的离心率；
(2)求证：OA ⊥OB 。

【解析】(1）将椭圆C 方程化为标准形式：22
1443
x y +=
∴24a =，24
3b =，2224
8
433c b a =-=-=
∴离心率c e a ===
(2）若切线l 的斜率不存在，即l 为x=±1，
联立椭圆C 的方程可解得：A(1，1)，B(1，-1)或者A(-1，1)，B(-1，-1).
此时0OA OB ⋅=即OA ⊥OB 成立；
若切线l 的斜率存在，设其方程为y =kx +m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)
∥切线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切
∴1=221k m +=
联立22
34y kx m
x y =+⎧⎨+=⎩，得到222(31)6340k x kmx m +++-= ∴122631km x x k +=-+，2
12234
31m x x k -=-+
∴22
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
∴2
212121212(1)()OA OB x x y y k x x km x x m ⋅=+=++++ 将122631km x x k +=-+，212234
31m x x k -=-+代入上式得：
2
2
2
2222346(1)3131m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++
又∵221k m += ∴22224242
42
22222(34)63466320
032323232m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=-+===----
∴OA ⊥OB
综上所述，OA ⊥OB 一定成立。

21.（本小题12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点。

(1)PB ∥平面AEC ；
(2)设PA=1，LABC=60°，三棱锥E-ACD
D-AE-C 的余弦值。

【解析】(1)连接BD 交AC 交于点O ，连接OE ，
∥O ，E 分别为BD ，PD 中点，
∴PB ∥OE
∵OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC
∴PB ∥平面AEC.
(2)V P-ABCD =2V P-ACD =4V E-ACD =23，设菱形边长为a ，则 V P-ABCD
=11233132a a ⨯⨯⨯⨯=，所以a =4 取BC 中点M ，连接AM.以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
D(0，4，0)，A(0，0，0)，E(0，2，12)，C(23，2，0)，AE =(0，2，12
)，AC =(23，2，0)设平面AEC 的法向量为(,,)m x y z =，由m AE m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即12022320y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
则(1,3,43)m =-
同理平面ADE 的法向量为(1,0,0)n =
13cos ,1348
m n
m n m n ⋅===++，即二面角二面角D-AE-C 的余弦值为1326.
22.已知椭圆C：
22
22
1 x y
a b
+=
(a>b>0)，离心率为
1
2
，点G(0，2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形。

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y kx m
=+与椭圆C交于M、N两点，О为坐标原点，直线OM、ON的斜率之积等于
3
4
-，试探求∥OMN的面积是否为定值，并说明理由。

【解析】(1)设椭圆的左右顶点分别为A、B
依题意得OA=OG=2，∴a=2
∵
1
2
c
e
a
==
∴c=1，223
b a c
=-=
椭圆C的方程为：
22
1
43
x y
+=
(2）设M(x1，y1)、N(x2，y2)则有：
2222
22(43)84(3)0
1
43
y kx m
k x kmx m
x y
=+
⎧
⎪
⇒+++-=
⎨
+=
⎪⎩
2222
6416(34)(3)0
m k k m
∆=-+->
∴22
34
m k
<+
∴
122
8
43
km
x x
k
-
+=
+
，
2
122
4(3)
43
m
x x
k
-
=
+
∵3
4OM ON k k ⋅=- ∴12
1234
y y x x =- 即222223(4)
3
43
4(3)443
m k k m k -+=--+
∴22243m k =+
12MN x =-=把122843km x x k -+=+和21224(3)
43m x x k -=+代入可得
MN =
设О到直线MN
的距离为：d =
∴1122S d MN =⋅==。