2021新教材数学人教B版必修第二册教师用书：6.1 平面向量的概念含解析

教材过关
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
课标解读
课标要求
核心素养
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景.
2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
3.理解平面向量的几何表示和基本要素.(重点)
1.通过具体实例理解向量的概念,培养数学抽象
核心素养. 2.通过向量的表示和关系逐步形成直观想象核心素养.
某航空母舰导弹发射处接到命令:向1200km 处发射两枚巡航导弹(精度10m 左右,射程超过2000km).
问题1:导弹能否击中军事目标? 答案 导弹不一定击中军事目标.
问题2:要使导弹击中目标,还需要知道什么条件? 答案 需要知道目标位于什么方向.
1.向量的概念
既有大小又有①方向的量叫做向量. 2.向量的表示
(1)几何表示:用②有向线段表示向量,有向线段的长度表示向量的③大小,有向线段的方向表示向量的④方向
.
(2)代数表示:用小写字母a,b,c,…表示向量.
特别提醒
(1)小写字母表示向量的注意点:印刷时用黑体,手写时必须加箭头.
(2)有向线段可以表示向量,但是向量不能说成有向线段.
(3)向量可以自由平移,即具有平移性,而有向线段是固定不动的.
(4)一条有向线段对应着一个向量,但一个向量可以对应着无数条有向线段.
3.与向量有关的概念
名称定义记法向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 的
长度
(或称
模)向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |
零向量长度为⑤0的向量0单位向量长度等于⑥1个单位长度的向量
相等向量长度⑦相等且方向⑧相同的向量a=b
平行向量(或共线向量)方向⑨相同或相反的非零向量a∥b 规定:零向量与任意向量平行0∥a
思考:向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗?
提示不一样,向量中的“平行”包括向量所在直线共线和平行,而平面几何中的“平行”指两条直线平行.
探究一向量的有关概念
例1(1)(易错题)下列说法中正确的是()
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
(2)(多选题)下列说法中正确的是()
A.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
B.单位向量的模都相等
C.对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b
D.向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反
答案(1)D(2)BC
解析(1)向量不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D 正确.
(2)因为向量是由大小和方向两个因素来确定的,所以两个向量不能比较大小,故A不正确;
单位向量的模都是1,故B正确;
因为|a|=|b|,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b,故C正确;
若向量a与向量b中有一个是零向量,则其方向不定,故D不正确.
易错点拨
1.判断一个量是不是向量的两个关键条件:
(1)大小;(2)方向.这两个条件缺一不可.
2.特殊向量的特殊性:
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;
(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向;
(3)向量的模是长度,指的是大小,是数量.
3.常因零向量的方向不确定而判断失误.
1-1下列说法中正确的是()
A.零向量的长度为0
B.单位向量都相等
C.向量就是有向线段
D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案 A 零向量的长度等于0,故A 正确;
因为单位向量的方向不一定相同,所以不一定相等,故B 错误;
向量有两个要素:大小与方向,向量可以平移,而有向线段还有起点和终点,不可以平移,故C 错误;
共线向量包括两向量所在直线平行和两向量在同一条直线上,故D 错误. 1-2 下列说法中正确的有( ) ①单位向量的长度大于零向量的长度; ②零向量与任一单位向量平行;
③因为相等向量的相等关系具有传递性,所以平行向量的平行关系也具有传递性; ④因为相等向量一定是平行向量,所以平行向量也一定是相等向量. A.①② B.②③ C.②④ D.①③
答案 A ①正确;②正确,零向量与任一向量平行;③错误,平行向量的平行关系不具有传递性;④错误,平行向量不一定是相等向量.
探究二 向量的表示
例2 在如图所示的坐标纸(每个小方格的边长为1)上,用直尺和圆规画出下列向量:
(1)画向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2,点A 在点O 北偏东45°方向; (2)画向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,点B 在点A 的正东方向; (3)画向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,点C 在点B 北偏东30°方向.
解析 (1)因为点A 在点O 北偏东45°方向,所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2,小方格边长为1,所以点A 距点O 的
横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A 的位置可以确定,画出向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示.
(2)因为点B 在点A 的正东方向,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B 的位置可以确定,画出向量AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示. (3)因为点C 在点B 北偏东30°方向,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3,纵向小方格数为3√3≈5.2,于是点C 的位置可以确定,画出向量BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示.
思维突破
用有向线段表示向量的步骤
2-1 已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达B 地,再从B 地按南偏东30°的方向飞行 2000km 到达C 地,再从C 地按西南方向飞行1000√2km 到达D 地.
(1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ;
(2)问:D 地在A 地的什么方向?D 地距A 地多远? 解析 (1)由题意,作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示.
(2) 依题意知,△ABC 为正三角形,所以AC=2000km.又因为∠ACD=45°,CD=1000√2km,所以△ACD 为等腰直角三角形,所以
AD=1000√2km,∠CAD=45°,所以D 地在A 地的东南方向,距A 地1000√2km.
探究三 相等向量与平行向量
例3 如图,△ABC 和△A'B'C'是在各边的1
3处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC 的边长为a,图中画出了长度均为a
3的若干个向量,则
(1)与向量GH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)与向量GH
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行,且模相等的向量有 ; (3)与向量EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行,且模相等的向量有 . 答案 (1)LB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,HC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)EC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,LE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,LB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,HC ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,HA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,HK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,KB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 思维突破
寻找平行向量或相等向量的方法
(1)平行向量:看方向,先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量.
提醒:不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)相等向量:先看大小再看方向,先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
3-1 如图所示,△ABC 中,三边长均不相等,E,F,D 分别是AC,AB,BC 的中点. (1)写出与EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (2)写出与EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 长度相等的向量; (3)写出与EF
⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量.
解析 (1)∵E,F 分别是AC,AB 的中点, ∴EF ∥BC,
∴与EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)∵E,F,D 分别是AC,AB,BC 的中点, ∴EF=1
2
BC,BD=DC=1
2
BC,
∴EF=BD=DC. ∵AB,BC,AC 均不相等,
∴与EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 长度相等的向量有FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)与EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
1.若a 为任一非零向量,b 为单位向量,则下列正确的是( ) A.|a|>|b| B.a ∥b C.|a|>0 D.a
|a|∥b
答案 C |a|不一定大于1,|b|=1,∴A 不正确;a 与b 不一定平行,故B 不正确;易知C 正确;a
|a|是a 方向上的单位向量,不一定平行于b,故D 不正确.
2.下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a|=|b|,则a=b; ②若a=b,则a ∥b 且|a|=|b|;
③若a 与b 方向相同且|a|=|b|,则a=b; ④若a ≠b,则a 与b 方向相反且|a|≠|b|. A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
答案 B 两个向量相等需同向等长,反之也成立,故①错误,②③正确;两向量不相等,可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等,故④错误.
3.如图,在▱ABCD 中,点E,F 分别是AB,CD 的中点,图中与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C 题图中与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FC
⃗⃗⃗⃗⃗ ,共3个. 4.在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组成 . 答案 一个圆
解析 在平面上把所有模长相等的向量的起点平移到同一点P,各向量的终点到P 点的距离都相等,所以它们的终点组成一个圆.
5.如图所示的是中国象棋的半个棋盘,“马走日(两个有公共边的小方格)”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A 处跳到A 1处,用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示马走了“一步”,也可以从A 处跳到A 2处,用向量AA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示马走了“一步”.请在图中画出马在B,C 处走了“一步”的所有情况.
解析 如图,马在B 处只有3种走法,马在C 处有8种走法.
直观想象——图形与向量的关系转化
如图所示,已知在四边形ABCD 中,M,N 分别是BC,AD 的中点,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:CNMA.
审:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒▱ABCD ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒▱AMCN ⇒CN MA.
联:利用平行四边形的判定与性质证明. 证明:由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知AB=DC 且① , 所以四边形ABCD 为平行四边形,从而② . 又M,N 分别是BC,AD 的中点,所以③ , 所以AN=MC 且④ , 所以四边形AMCN 是平行四边形, 所以CN=MA 且CN ∥MA,即CN
MA.
思:利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法:
(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(或模)相等. (2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线. 答案 ①AB ∥DC ②AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC
⃗⃗⃗⃗⃗
③AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ④AN ∥MC
如图,在等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则( )
A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗
B.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C.PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗
D.EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF
⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 D 由平面几何知识知,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等而方向相反,故PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ;EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等且方向相同,所以EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF
⃗⃗⃗⃗⃗ .
1.(2020山东泰安高一同步练习)下列说法正确的是( ) A.若a 与b 平行,b 与c 平行,则a 与c 一定平行 B.终点相同的两个向量不共线 C.若|a|>|b|,则a>b D.单位向量的长度为1 答案 D
2.如图,在正方形ABCD 中,AC 与BD 交于点O,则图中与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )
A.OC ⃗⃗⃗⃗⃗
B.OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C.OB
⃗⃗⃗⃗⃗ D.CO ⃗⃗⃗⃗⃗
答案 D
3.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形 答案 A
4.设O 是△ABC 的外心,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量
答案 B 因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心,所以点O 到三个顶点A,B,C 的距离相等,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO
⃗⃗⃗⃗⃗ ,CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 是模相等的向量. 5.(2020广东广州高一期末)已知在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC=60°,则|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A.1 B.√3 C.2 D.2√3
答案 D 易知AC ⊥BD,且∠ABD=30°,设AC 与BD 交于点O,则AO=1
2AB=1.在Rt △ABO 中,易得|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,则|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3. 6.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,O 为其中心,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .
答案 √2
解析 因为正方形的对角线长为2√2,所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.
7.如果在一个边长为5的正三角形ABC 中,一个向量所对应的有向线段为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中D 在边BC 上运动),则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 长度的最小值为 . 答案
5√3
2
解析 在正三角形ABC 中,有向线段AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度最小时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 应与边BC 垂直,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 长度的最小值为正三角形ABC 的高,为
5√3
2
. 8.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= . 答案 0
解析 因为A,B,C 不共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线.又m 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都共线,所以m=0. 9.如图所示的是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个?与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?
解析 依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反方向的向量都和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2.因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.易知与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个.
10.已知D 为平行四边形ABPC 的两条对角线的交点,则|PD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为( ) A.1
2 B.1
3 C.1 D.2
答案 C 因为四边形ABPC 是平行四边形,D 为对角线BC 与AP 的交点,所以D 为PA 的中点,所以|PD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
的值为1. 11.(多选题)下列说法中正确的是( ) A.若a ≠b,则a 一定不与b 共线
B.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A,B,C,D 四点是平行四边形的四个顶点
C.在▱ABCD 中,一定有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗
D.若a=b,b=c,则a=c
答案 CD 两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a 与b 有共线的可能,故A 不正确;A,B,C,D 四点可能在同一条直线上,故B 不正确;在▱ABCD 中,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且方向相同,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 正确;若a=b,则|a|=|b|,且a 与b 方向相同,若b=c,则|b|=|c|,且b 与c 方向相同,所以a 与c 方向相同且模相等,故a=c,故D 正确.
12.如图,在△ABC 中,∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1,则DB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为 .
答案 3
2
解析 如图,延长CD,过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 易知△ADE ∽△BDC,
则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 故|DB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3
2
. 13.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.
(1)与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 ; (2)若|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 (1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)6
解析 (1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6.
14.在平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AD,BC 的中点,如图. (1)在每两点所确定的向量中,写出与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量; (2)求证:BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
解析 (1)由共线向量的定义得与向量FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)证明:在▱ABCD 中,ADBC. 又E,F 分别为AD,BC 的中点, 所以ED
BF,
所以四边形BFDE 是平行四边形, 所以BE
FD,
所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ .
15.如图,A1,A2,…,A8是☉O上的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径的向量有多少个?模等于半径的√2倍的向量有多少个?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i=1,2,…,8),共8个;另一类是
解析模等于半径的向量只有两类,一类是OA i
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i=1,2,…,8),也有8个.两类共计有16个.
A i O
以A1,A2,…,A8中四点为顶点的☉O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径的√2倍,故模等于半径的√2倍的向量共有4×2×2=16(个).。