函数的零点与方程的解

有零点
√A.(－2，－1)
C.(0,1)
B.(－1,0)
√D.(1,2)
f(－2)＝e12>0，f(－1)＝1e－1<0， f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0， f(2)＝e2－4>0， 因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点.
解得x＝－2或x＝e.
3.方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是__(3_,_6_)_.
设f(x)＝2x＋x， ∴f(x)在(1,2)上单调递增， 又f(1)＝3，f(2)＝6， ∴3<k<6.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必
函数f(x)＝2x|log2x|－1的零点个数为
A.0
B.1 √C.2
D.4
令 f(x)＝0，得|log2x|＝12x，分别作出 y＝|log2x|与 y＝12x 的图象(图略)， 由图可知，y＝|log2x|与 y＝12x 的图象有两个交点，即原函数有 2 个零点.
பைடு நூலகம்
思维升华
求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图 象的交点个数得出函数的零点个数.
(2) 已 知 2<a<3<b<4 ， 函 数 y ＝ logax 与 y ＝ － x ＋ b 的 交点 为 (x0 ， y0) ， 且 x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__2_.
依题意x0为方程logax＝－x＋b的解， 即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点， ∵2<a<3<b<4， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(2)＝loga2＋2－b<0， f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2,3)，即n＝2.
教师备选
(2022·湖南雅礼中学月考)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x) A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B.在区间1e，1，(1，e)内均无零点 C.在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
√D.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
f(x)的定义域为{x|x>0}， f′(x)＝13－1x＝x－3x3， 令f′(x)>0⇒x>3，f′(x)<0⇒0<x<3， ∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
D.11
因为f(x＋1)＝－f(x)， 所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数， 因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2， 所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示.(注意拓展它的区间)
再作出函数 g(x)＝|elxg，x|x，<0x>0， 的图象， 容易得出交点为12个.
(2)函数 f(x)＝ 36－x2·cos x 的零点个数为__6__.
(函2)数(2y0＝222·泉f 2(州x)模－拟3f()x设)＋定1义的域零为点R的的个函数数为f(x)＝|－lgxx2|－，2xx>，0，x≤0，则关于x的
A.3
√B.7
C.5
D.6
根据题意，令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0， 得 f(x)＝1 或 f(x)＝12. 作出f(x)的简图： 由图象可得当 f(x)＝1 和 f(x)＝12时，分别有 3 个和 4 个交点， 故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解， 可以取的一个区间是
A.(0,1)
√C.(2,3)
B.(1,2) D.(3,4)
设f(x)＝log3x－3＋x， 当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2， 又∵f(2)＝log32－1<0， f(3)＝log33－3＋3＝1>0， 故f(2)·f(3)<0， 故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解， 即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是 (2,3).
√D.(0,4－2 3)
画出f(x)的函数图象， 设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象， 若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切， 联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0， Δ＝(a＋2)2－12a＝0， 得 a＝4－2 3(a＝4＋2 3舍)， 若 f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，则 0<a<4－2 3.
作出二次函数y＝x2＋2x的图象，如图.
因为1k≠0，由图可知，当1k>－1 时， 函数 y＝x2＋2x 的图象与直线 y＝1k有 两个交点，不满足条件. 当1k＝－1，即 k＝－1 时满足条件. 当1k<－1 时，函数 y＝x2＋2x 的图象与直线 y＝1k无交点，不满足条件.
2.若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区 间(1,2)内，则m的取值范围是__14_，__21___.
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， f(5)f(7)<0， ∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点.
2.已知函数f(x)＝ x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，，则f(x)的零点为_－__2_，__e__.
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
由于函数 y＝3x，y＝－1x在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数 g(x) 在(－∞，－1)上单调递增.
当 x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－1x<3－1＋1＝43， 又 g(x)＝3x－1x>0， 所以函数 g(x)在(－∞，－1)上的值域为0，43. 因此实数 a 的取值范围是0，43.
第二章
考试要求
1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解.
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 零点 ⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有 公共点.
m≠2，
依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知，m 需满足f－1·f0<0， f1·f2<0，
1.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
345
6
7
f(x)
－4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为
√ √ √ A.(1,2) B.(2,3) C.(5,6) D.(5,7)
由所给的函数值表知，
x
1
2
345
6
7
f(x)
－4 －2 1 4 2 －1 －3
令36－x2≥0，解得－6≤x≤6， ∴f(x)的定义域为[－6,6]. 令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0， 由36－x2＝0得x＝±6， 由 cos x＝0 得 x＝π2＋kπ，k∈Z， 又x∈[－6,6]， ∴x 为－32π，－π2，π2，32π. 故f(x)共有6个零点.
教师备选
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.( × ) (3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.( × ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点.( √ )
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
|x2＋2x|，x≤0，
例 3 (2022·武汉模拟)已知函数 f(x)＝1x，x>0，
若关于 x 的方
程 f(x)－a(x＋3)＝0 有四个不同的实根，则实数 a 的取值范围是
A.(－∞，4－2 3)
B.(4＋2 3，＋∞)
C.[0,4－2 3]
命题点2 根据函数零点范围求参数
1＋ax 例 4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数 f(x)＝3x－ x .若存在 x0∈
(－∞，－1)，使得 f(x0)＝0，则实数 a 的取值范围是
A.－∞，43
√B.0，43
C.(－∞，0)
D.43，＋∞
由 f(x)＝3x－1＋xax＝0， 可得 a＝3x－1x， 令 g(x)＝3x－1x，其中 x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.
教师备选
1.函数f(x)＝x＋x 2－kx2有两个零点，则实数k的值为_－__1_.
由 f(x)＝x＋x 2－kx2＝xx＋1 2－kx， 函数 f(x)＝x＋x 2－kx2 有两个零点，即函数 y＝x＋1 2－kx 只有一个零点 x0，且 x0≠0. 即方程x＋1 2－kx＝0 有且只有一个非零实根. 显然 k≠0，即1k＝x2＋2x 有且只有一个非零实根. 即二次函数 y＝x2＋2x 的图象与直线 y＝1k有且只有一个交点(横坐标 不为零).
跟踪训练2 (1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)
＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为
A.6
√B.7
C.8
D.9
令f(x)＝x2－x＝0， 所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0， f(－1)＝0，f(－3)＝0. 所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为7.
又 f 1e＝31e＋1>0，f(1)＝13>0， ∴f(x)在1e，1内无零点. 又 f(e)＝3e－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点.
思维升华
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b] 上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝ f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区 间上是否有交点来判断.
(3)函数零点存在定理 如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 且 有 __f(_a_)_f(_b_)_<_0_，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内至少有一个零点，即存 在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断 地把它的零点所在区间一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 零点 ， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
题型二 函数零点个数的判定
例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且
x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝|elxg，x|x，<0x，>0，则函数h(x)＝f(x) －g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为
A.14
√ B.13 C.12
(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两 个零点分别位于区间
√A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c， 则a－b<0，a－c<0，b－c<0， 因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0. 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点.